Логико-дидактический анализ темы "Многоугольники"

 

Умножим (1) на b – a:

a(b – a) > (b – a)b, ab – a² > b² – ab, 0 > a² – 2ab – b², 

0 > (a – b)².

Однако (a – b)², где a ¹ b, есть число положительное, так как квадрат числа, отличного от 0, положителен.

Соотношение (2) позволяет утверждать, что положительное число меньше 0.

Или другой пример мотивации:

Какое из выражений принимает большее  значение при всех значениях переменной:

6m(m – 2) + 4(m + 3) или (3m + 2) (2m – 4)?

Как сравнить два выражения? Укажите основные операции сравнения.

Третий пример: Укажите значения площади боковой поверхности  прямоугольного параллелепипеда, если его линейные измерения найдены в границах

1,5 £ а £ 1,6;

2,3 £ b £ 2,4;

4,1£ c £ 4,2.

 

В технике используются понятие «допуски», допускаемые отклонения числовой характеристики каких-либо параметров (например, в деталях машин и механизмов) от их расчетного значения в соответствии с заданным классом точности. Допуски широко используются в машиностроении, строительстве и многих других областях. Вычисление допусков требует знания действий с числовыми неравенствами, которые выполняются на основании свойств числовых неравенств.

Кроме указанных познавательных мотивов, очень важны для учащихся этого  возраста узкие социальные мотивы, в частности, может быть использован мотив овладения способом налаживания сотрудничества в учебном труде.

2. Известно, что неравенства, как условные, так и безусловные, широко используются в трудовой деятельности человека, а также в самой математике. Исходя из этого перед учащимися ставится у ч е б н а я   з а д а ч а: сформировать общие и специфические учебные действия доказательства безусловных неравенств, решения линейных неравенств и их систем для получения общего способа выяснения интервалов знакопостоянства, возрастания и убывания изучаемых функций.

Эту задачу можно считать решенной, если будут решены такие учебные  подзадачи:

• выяснить способ доказательства безусловных неравенств, выделив специфические учебные действия;
• раскрыть характеристики оценки результатов действий над переменными, значения которых находятся в заданных границах;
• определить компоненты учебного действия «перевод задания числового промежутка с одного «языка» на другой»;
• раскрыть алгоритм решения линейного неравенства с одной переменной;
• выявить алгоритм решения системы линейных неравенств с одной переменной;
• сформировать предписание, которое позволяло бы устанавливать промежутки знакопостоянства, возрастания, убывания функций определенного вида.

3. Решение названных подзадач будет осуществляться в ходе выполнения учащимися соответствующих учебных действий, общих и специфических.

 Такими специфическими действиями, характерными для сформулированных задач, будут:

— составление разности выражений, стоящих в левой и правой частях неравенств;

— выполнение тождественных преобразований;

— установление знака разности выражений;

— подведение под понятия «больше», «меньше»;

— изображение промежутка, заданного его концами, на координатной прямой и запись промежутка на «языке» неравенств;

— алгоритм решения линейного неравенства с одной переменной;

— алгоритм решения системы линейных неравенств с одной переменной;

— определение границ выражения, если переменные заданы своими границами.

Операционный состав этого действия может быть фиксирован в такой последовательности:

а) установить границы каждой переменной, входящей в выражение;

б) выяснить, с помощью каких  действий над переменными и числами  получено выражение;

в) определить порядок действий;

г) вычислить последовательно границы результата каждого действия, используя свойства неравенств; 

д) записать, в каких границах находится  данное выражение;

— установление характера изменения функции при заданных значениях аргумента.

Операционный состав этого действия следующий:

а) выбрать два произвольных значения аргумента из указанного промежутка;

б) сравнить значения х₁ и х₂ (*);

в) найти значения f(х₁) и f (х₂) (**);

г) сравнить соответствующие  значения функции (**);

д) выяснить одинаковость смысла числовых неравенств (*) и (**);

е) получить вывод о характере  изменения функции на указанном промежутке;

— найти промежутки знакопостоянства.

Здесь отмечены только специфические  учебные действия, однако при решении подзадач будут использоваться и такие учебно-познавательные действия, как, например, распознавание, выведение следствий, сравнение и сопоставление, конкретизация общего способа решения для данной задачи и др.

4. Логический анализ темы «Неравенства»  дает основание сделать вывод, что тема организована дедуктивно-индуктивно, так как дано определение понятий «больше», «меньше»; свойства числовых неравенств сформулированы в виде теорем, которые доказаны;

сформулированные теоремы равносильности (названные свойствами) не доказываются. Алгоритмы доказательства безусловных неравенств, решения линейных неравенств с одной переменной и решения систем линейных неравенств введены индуктивно на конкретных примерах, анализ решения которых и позволяет учителю, сделав обобщение, сформулировать алгоритмы. Структура вводимых определений (решения неравенств, равносильных неравенств, решения системы неравенств) одинакова, а следовательно, их изучение может осуществляться по одному плану, т. е. на уровне теоретического обобщения. Теоремы о свойствах неравенств имеют одну и ту же структуру: А /\ В ==> С, а это позволяет осуществить перенос знаний, так как с теоремами такой структуры учащиеся работали уже в предыдущем классе.

Вводятся понятия нестрогого и  строгого неравенств, линейного неравенства, системы неравенств.

5. «Ядерным» материалом темы являются:

— понятия «больше», «меньше», неравенства, решения неравенства, решения системы неравенств, равносильных неравенств;

— свойства числовых неравенств, равносильных неравенств;

— операции над числовыми неравенствами;

— алгоритмы решения неравенств с одной переменной и решения системы неравенств;

— прием доказательства безусловных неравенств и прием использования неравенства для выяснения возрастания, убывания функции.

Изложение материала опирается  на алгебраические операции, тождественные  преобразования, понятие координатной прямой, законы арифметических действий.

При доказательстве свойств числовых неравенств используются логические правила  вывода, определения «больше», «меньше».

При изучении темы могут быть информационно-словесный, репродуктивный методы, а в некоторых случаях – метод проблемного изложения (например, решения системы неравенств с одной переменной).

6. К средствам обучения математике можно отнести все, что будет способствовать реализации целей обучения данной теме, в первую очередь серии задач (вопросов). (Здесь задачи могут выступать и как средство обучения, и как цель изучения) Так, учебная подзадача «Выяснить способ доказательства безусловных неравенств, выделив специфические учебные действия» может быть решена обобщением решения типичной конкретно-практической задачи. Учащимся предлагается типичная задача:

«Докажите неравенство a² +(a – 3)² > 3a(a – 2) – 2a²».

Учащиеся знают, что сравнить выражения  возможно, составив разность и определив  знак этой разности, что для этого  следует упростить полученную разность, выполнив тождественные преобразования.

В данном случае разность тождественно равна выражению а² + 9, значение которого при всех значения а положительно.

Значит, при любых значения а  верно данное неравенство, т.е.

а² +(a – 3)² > 3a(a – 2)+ 2a².

Анализ решения задач дает возможность  установить операции и их последовательность.

Решение одной задачи не позволяет  говорить о сформированности умения доказывать неравенства; поэтому учащимся предлагается серия задач, которая может быть, например, такой:

а) (3 + b) (2 – b) + (a² – b) £ 2a (a – b);

б) (6a – 1) (a + 2) < (3a + 4) (2a + 1);

в) a² + b² + 2 ³ 2 (a + b);

г) (x + 1)² < 4x.

 

Предложенный набор задач охватывает все возможные случаи а следовательно, можно утверждать, что позволяет сформировав учебное действие «доказывать неравенства».

При решении учебных подзадач «Определить  компоненты учебного действия ,,перевод  задания числового промежутка с одного языка на другой" и «Выявить алгоритм решения системы линейных неравенств с одной переменной» может быть использован, магнитная координатная прямая с двумя-тремя прозрачными цветными полосками (целлофан, лавсан, полиэтилен).

Естественно, что решения можно  показать, пользуясь только доской и мелом, но магнитная координатная прямая имеет ряд; преимуществ: не надо вычерчивать координатную прямую, не над( заштриховывать. переход к новому заданию не занимает много времени (не надо стирать с доски и вычерчивать новый чертеж). Кроме того, яркий зрительный образ позволяет повысить активность и внимательность.

Здесь же может быть использована подвижная модель координатной прямой с двумя цветными полосками. Такая модель индивидуального пользования может быть изготовлена самими учащимися и использована на уроке при фронтальной работе.

Смена средств обучения способствует активизации деятельности учащихся, что в свою очередь позволяет улучшить усвоение материала.

При решении учебных задач «Установление  характера изменения функции при заданных значениях аргумента», «Нахождение промежутков знакопостоянства» целесообразно использовать рабочие таблицы с подвижной координатной осью. Такие таблицы позволяют активизировать внимание учащихся, улучшить запоминание. Применение таких таблиц способствует интенсификации обучения, так как учитель не тратит время на вычерчивание графиков, а сразу приступает к работе с классом. Аналогом таблицы может служить кодопозитив, на котором изображена кривая, а координатная плоскость, выполненная на оргстекле, накладывается на изображение кривой. Такое пособие дает возможность предлагать учащимся серию задач (вариации получаются за счет перемещения координатной плоскости).

При изучении этой темы целесообразно  использовать диафильм «Числовые неравенства и их свойства» (07-3-094), который является важным средством обучения, так как дает возможность иллюстрировать объяснение учителя, организовывать учебную деятельность учащихся, проверку их знаний, уровня сформированности умений.

7. При изучении темы «Неравенства» можно использовать различные приемы организации учебной деятельности учащихся. Укажем некоторые из них.

(А) Прием заполнения пустых  мест таблицы (табл. 18).

Таблица 18

 

№ п/п	Неравенство	Изображение решения на координатной прямой	Запись решения
1	3 < x < 6		(3; 6)
2	–2 £ x £ 4
3	7 < x £ 10		…; 10 ]
4   5	… x < 5		[–3; …   [4; ¥)
6	–4 < x …3

 

(Б) Сравнение решения задачи с помощью алгоритма и без него. Этот прием дает возможность воспитывать творческий подход, показывать важность анализа условия задачи.

Например, доказать неравенство

(3х + 4)² – 8 < 9х² + 24х + 11.

Р е ш е н и е

(3х + 4)² – 8 < (3х + 4)² – 5, или 9х² + 24х + 8 <.9х² + 24х + 11.

(В) Прием составления серии  задач с нарастающей сложностью  преобразований. Этот прием может  быть использован при формировании  умения решать линейные неравенства.

Например, можно предложить учащимся такую серию задач:

5(х – 2) > 2; 2у – 3(у – 1) < –2;  (t – 3)² + 1 £ t (t – 5);  (4x – 1) ´ (x + 5) £ (2x – 1) (2x + 1);

(2u + 0,3) (0,3u – 1) + 2,7 ³ (u = 3) (0,6u – 0,5)–1,3.

(Г) Прием поиска ошибки в данном «решении» позволяет воспитывать критичность мышления, более глубоко осознавать теоретический материал.

Например, найти ошибку в «решении»  и сформулировать правила или  свойства неравенств, на которые допущены ошибки: