Логическое высказывание

                                      Министерство образования и науки РК

                                           Казахстанско - Российский университет

 

 

  Кафедра: Информатики и дизайна

  Специальность: Вычислительная техника и программное обеспечение

  Дисциплина: Дискретная математика

    

        Курсовая работа

     На тему: Логическое 

           Высказывание                              

 

 

                                                                Выполнил студент 2 курса, группы  РК Вт и ПО 1109-01  Кенжебаев А.К.

                                                                       Принял: Жанысова А.Б.

 

                                                                                     

 

                                                                                                                                                                 <10 > Апрель    2013  г.

                                                                 Астана 2013 г.

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

ВВЕДЕНИЕ 2

ГЛАВА 1. ЯЗЫК КВАНТОРОВ И ОСНОВАНИЯ  МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ 4

1.1. Алгебра  высказываний 4

1.2. Высказывания  и булевы функции 9

1.3. Логика  высказваний 11

1.4. Логика  первого и второго порядка 15

ГЛАВА 2. ПОНЯТИЕ ПРЕДИКАТА 20

2.1. Предикаты  и кванторы 20

2.2. Кванторы 25

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 30

СПИСОК  ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 31

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Логическое высказывание - упрощение термина «Суждение» из формальной логики, используется в математической логике. Высказыванием является повествовательное предложение, которое формализует некоторое выражение мысли. Это утверждение, которому всегда можно поставить в соответствие одно из двух логических значений: ложь (0, ложно, false) или истина (1, истинно, true). Логическое высказывание принято обозначать заглавными латинскими буквами.

Высказывательной формой называется логическое высказывание, в котором один из объектов заменён переменной. При подстановке вместо переменной какого-либо значения высказывательная форма превращается в высказывание. Пример: A(x) = «В городе x идет дождь.» A - высказывательная форма, x - объект.

Высказывание обычно имеет  только одно логическое значение. Так, например, «Париж - столица Франции» - высказывание, а «На улице идет дождь» - не высказывание. Аналогично, «5>3» - высказывание, а «2+3» - не высказывание. Как правило, высказывания обозначают маленькими латинскими буквами.

Логические высказывания принято подразделять на два вида: элементарные логические высказывания и составные логические высказывания.

Составное логическое высказывание - это высказывание, образованные из других высказываний с помощью логических связок.

Логическая связка - это любая логическая операция над высказыванием. Например, употребляемые в обычной речи слова и словосочетания "не", "и", "или", "если... , то", "тогда и только тогда" являются логическими связками.

Элементарные логические высказывания - это высказывания не относящиеся к составным.

Примеры: "Петров - врач", "Петров - шахматист" - элементарные логические высказывания. "Петров - врач и шахматист" - составное логическое высказывание, состоящие из двух элементарных высказываний, связанных между собой при помощи связки "и".

Целью курсовой работы является рассмотрение высказываний и предикатов в начальном курсе математики.

Задачами курсовой работы является:

- рассмотрение языка кванторов и оснований математической логики;

- анализ понятия предиката.

Курсовая работа состоит  из введения, двух глав, заключения и  списка использованной литературы.

 

 

ГЛАВА 1. ЯЗЫК КВАНТОРОВ И  ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

В связи с тем, что элементы логики представляют собой неотъемлемую составную часть школьного обучения математике, они должны изучаться  в единстве с собственно математическим материалом на всех этапах обучения. Соответствующий  язык необходимо вводить постепенно для обозначения уже разъясненных математических и логических понятий, чтобы в дальнейшем он становился необходимым компонентом обиходного математического языка.

1.1. Алгебра высказываний

а) Отрицание (знак ù ). Если а – высказывание, то ùа (читается: «не а») также высказывание; оно истинно или ложно в зависимости от того, ложно или истинно высказывание а.

Таким образом, операция отрицания  описывается следующей таблицей:

a	ùa
и	л
л	и

Мы видим, что операция ù в теории высказываний вполне соответствует  понятию отрицания в обыденном  смысле слова. Если, например, а –  высказывание «Число три делит число  шесть», то отрицанием ùа этого высказывания будет «Число три не делит число  шесть». Высказывание а при этом истинно, высказывание ùа, – ложно.

Если же в качестве высказывания а взять какое-нибудь ложное высказывание, например «Число три делит число  пять», то его отрицание ùа будет  высказывание «Число три не делит  число пять» - истинное высказывание.

б) Конъюнкция. В качестве знака для конъюнкции мы будем употреблять знак Ù (можно также &).

Если а и b - высказывания, то а Ù b (читается: «а и b») – новое  высказывание; оно истинно тогда  и только тогда, когда а истинно  и b истинно.

В отличие от операции отрицания, зависящей от одного элементарного  высказывания, конъюнкция, как и  все последующие приводимые нами связки, зависит от двух элементарных высказываний, поэтому они называются двуместными связками, отрицание  же - связка одноместная.

Для задания двуместных связок удобно записывать матрицы истинности в виде таблиц с двумя входами: строки соответствуют значениям  истинности одного элементарного высказывания, столбцы – значениям другого  элементарного высказывания, а в  клетке пересечения столбца и  строки помещается значение истинности соответствующего сложного высказывания.

Значение истинности сложного высказывания а Ù b задается матрицей

b a	и	л
и	и	л
л	л	л

Как видно, определение операции конъюнкции вполне соответствует обыденному значению союза «и»:

в) Дизъюнкция. В качестве знака для дизъюнкции мы будем употреблять знак Ú.

Если а и b – высказывания, то а Ú b (читается: «а или b») – новое  высказывание, оно ложное, если а  и b ложны; во всех остальных случаях  а Ú b истинно.

Таким образом, матрица истинности для операции дизъюнкции выглядит так:

b a	и	л
и	и	и
л	и	л

Операция дизъюнкции довольно хорошо соответствует обыденному значению союза «или».

Примеры. 

«Три делит пять или  три больше шести» ложно;

«Три делит шесть или  три больше шести» истинно;

«Три делит шесть или  три меньше шести» истинно.

г) Импликация. В качестве знака для импликации будем употреблять  знак Þ.

Если а и b – два высказывания, то а Þ b (читается: «а имплицирует b») – новое высказывание; оно всегда истинно, кроме того случая, когда  а истинно, а b ложно.

Матрица истинности операции импликации следующая:

b a	и	л
и	и	л
л	и	и

В импликации а Þ b первый член а называется антецедентом, второй b – консеквентом.

Операция Þ описывает  в некоторой мере то, что в обыденной  речи выражается словами «Если а, то b», «Из а следует b», «а – достаточное  условие для b», но на этой аналогии не следует слишком настаивать. Действительно, учитывая определение импликации, данное выше, и интерпретируя выражение  а Þ b как «если а, то b», мы получаем: «Если дважды два – четыре, то трижды три – девять» – истинное высказывание; «Если дважды два –  пять, то трижды три – восемь»  – истинное высказывание и только высказывание типа «Если дважды два  – четыре, то трижды три – восемь»  ложно.

По определению импликации сложное высказывание а Þ всегда истинно, если консеквент истинный или  если антецедент ложный, что в очень  малой мере отражает обыденное значение выражения «Если а, то b» или  «Из а следует b». Ни в какой  мере не следует рассматривать высказывание импликации как означающее, что антецедент является причиной, а консеквент - следствием в том смысле, как это понижается в естественных науках.

Несколько позже мы убедимся, что операция импликации достаточно точно выражает понятие логического  следования в той форме, как оно  употребляется в математике.

д) Эквиваленция. Для этой операции мы будем употреблять знак Û. Операция эквиваленции определяется так: если а и b – два высказывания, то а Û b (читается: «а эквивалентно b»; Û соответствует словесному выражению «...тогда и только тогда, когда...») – новое высказывание, которое истинно, если либо оба высказывания истинны, либо оба – ложны.

Из этого определения  связки Û следует, что ее матрица  истинности выглядит так:

b a	и	л
и	и	л
л	л	и

Введенными пятью связками (ù, Ù, Ú, Þ, Û) мы ограничимся.

С помощью уже введенных  связок мы можем строить сложные  высказывания, зависящие не только от двух, но и от любого числа элементарных высказываний.

Отметим в этой связи, что  так называемое нестрогое неравенство  а £ b (читается: a меньше или равно b») представляет собой дизъюнкцию (а < b) Ú (a = b); оно истинно, если истинно  по меньшей мере одно из входящих в  него простых высказываний. Хорошими примерами сложных высказываний, встречающихся в школьной практике, являются так называемые двойные  неравенства. Так, формула а < b < с  означает (а < b) Ù (b < с), а, например, а < b £ c означает сложное высказывание (а < b) Ù ((b < c) Ú (b = c)).

Построение сложных высказываний делается аналогично тому, как в  элементарной алгебре с помощью  операций сложения, вычитания, умножения  и деления строятся сколь угодно сложные рациональные выражения. А  именно, предположим, что мы уже построили  два каких-нибудь сложных высказывания, которые мы ради удобства сокращенно обозначим большими латинскими буквами  А и В (при этом мы условимся, что  элементарные высказывания следует  рассматривать как частный случай сложных). Тогда новые высказывания можно получить, соединив А и В  одним из знаков Ù, Ú, Þ, Û или же построив высказывание ùА и заключив результат в скобки. Сложными высказываниями будут, например, высказывания следующего вида:

((а Þ b) Ù (с Ú а)); ((а Þ b) Û (с Þ ùа)).

При этом предполагается, что  встречающиеся здесь буквы являются сокращенными обозначениями каких-либо высказываний.

Таким образом, в принципе зная эти высказывания, можно было бы построить русские фразы, выражающие эти сложные высказывания. Только словесное описание сложных высказываний быстро становится малообозримым, и  именно введение целесообразной символики  позволяет проводить более глубокое и точное исследование логических связей между различными высказываниями.  

Располагая значением  истинности простых высказываний, легко  подсчитать на основании определения  связок значение истинности сложного высказывания. Пусть, например, дано сложное  высказывание

((bÚ с) Û (b Ù a))

и пусть входящие в него элементарные высказывания имеют следующие  значения истинности: а = л, b = и, с = и. Тогда b Ú с = и, b Ù a = л, так что (( bÚ с) Û (b Ù а)), т. е. рассматриваемое высказывание ложно.

1.2. Высказывания и булевы  функции

Одной из основных задач  алгебры высказываний является установление значения истинности сложных высказываний в зависимости от значения истинности входящих в них простых высказываний. Для этого целесообразно рассматривать  сложные высказывания как функции  входящих в них простых высказываний. С другой стороны, так как значение истинности (и или л) сложного высказывания зависит по определению логических связок не от самих простых высказываний, а лишь от их значения истинности, то можно считать, что любое сложное  высказывание определяет функцию, аргументы  которой независимо друг от друга  принимают значения и или л, а  значение самой функции также  принадлежит множеству {и, л} (конечно, существенно не то, что речь идет о функциях от нескольких аргументов из множества {и, л} в множество {и, л}, а лишь то, что данные множества  двухэлементны. Эти множества зачастую обозначают не через {и, л}, а, например, через {0, 1}, считая, что 1 означает «истину», а 0 – «ложь»).