Квадратные уравнения и уравнения высших порядков

 

Отсюда  следует: х₁=1, а х₂ = .

1. Пример:

 

2х² - 3х  + 1 = 0

a = 2, b = -3, c = 1.

a + b + c = 0, следовательно

х₁ = 1

х₂ = ½

 

2. Пример:

 

418х² - 1254х  + 836 = 0

 

Этот  пример очень тяжело решить через дискриминант, но, зная выше приведенную формулу его с легкостью можно решить.

 

a = 418, b = -1254, c = 836.

х₁ = 1 х₂ = 2

 

2) Если a - b + c = 0, в уравнении ax² + bx + c = 0, то:

 

х₁=-1, а х₂ =- .

 

Доказательство:

Рассмотрим  уравнение ax² + bx + c = 0, из него следует, что:

 

x_1,2 = (2).

 

Представим  b из равенства a - b + c = 0

b = a + c, подставим в формулу (2):

 

x_1,2=

=

 

Получаем  два выражения:

 

1. х₁=
2. х₂=

 

Эта формула похожа на предыдущую, но она тоже важна, т.к. часто встречаются примеры такого типа.

1) Пример:

 

2х² + 3х  + 1 = 0

a = 2, b = 3, c = 1.

 

a - b + c = 0, следовательно

х₁ = -1

х₂ = -1/2

 

2) Пример:

 

 

Ответ: x₁ = -1; х₂ = -

 

3) Метод “переброски”

Корни квадратных уравнений y² + by + аc = 0 и ax² + bx + c = 0 связанны соотношениями:

 

х₁ = и х₂ =

 

Доказательство:

а) Рассмотрим уравнение ax² + bx + c = 0

 

x_1,2 = =

 

б) Рассмотрим уравнение y² + by + аc = 0

 

y_1,2 =

 

Заметим, что дискриминанты у обоих решений равны, сравним корни этих двух уравнений. Они отличаются друг от друга на старший коэффициент, корни первого уравнения меньше корней второго на а. Используя теорему Виета и выше приведенное правило, нетрудно решать разнообразные уравнения.

Пример:

Имеем произвольное квадратное уравнение

 

10х² - 11х  + 3 = 0

 

Преобразуем это уравнение по приведенному правилу

 

y² - 11y + 30 = 0

 

Получим приведенное квадратное уравнение, которое можно достаточно легко  решить с помощью теоремы Виета.

Пусть y₁ и y₂ корни уравнения y² - 11y + 30 = 0

 

y₁y₂ = 30 y₁ = 6

y₁ + y₂ = 11 y₂ = 5

 

Зная, что  корни этих уравнений отличны  друг от друга на а, то

 

х₁ = 6/10 = 0,6

х₂ = 5/10 = 0,5

 

В некоторых случаях удобно решать сначала не данное уравнение ax² + bx + c = 0, а приведенное y² + by + аc = 0, которое получается из данного «переброской» коэффициента а, а затем разделить найденный корни на а для нахождения исходного уравнения.

 

2.5 Формула Виета для многочленов  (уравнений) высших степеней

 

Формулы, выведенные Виетом для квадратных уравнений, верны  и для многочленов высших степеней.

Пусть многочлен

 

P(x) = a₀xⁿ + a₁x^n-1 + … +a_n

 

Имеет n различных корней x₁ , x₂ …, x_n.

В этом случае он имеет разложение на множители вида:

 

a₀xⁿ + a₁x^n-1 +…+ a_n = a₀( x – x₁)( x – x₂)…(x – x_n)

 

Разделим обе части  этого равенства на a₀ ≠ 0 и раскроем в первой части скобки. Получим равенство:

 

xⁿ + ( )x^n-1 + … + ( ) = xⁿ – (x₁ + x₂ + … + x_n) x^n-1 + ( x₁x₂ + x₂x₃ + … + x_n-1x_n)x^n-2 + … +(-1)ⁿ x₁x₂ … x_n

 

Но два многочлена тождественно равны в том и только в том  случае, когда коэффициенты при одинаковых степенях равны. Отсюда следует, что  выполняется равенство

 

x₁ + x₂ + … + x_n = -

x₁x₂ + x₂x₃ + … + x_n-1x_n =

x₁x₂ … x_n = (-1)ⁿ

 

Например, для многочленов третей степени

 

a₀x³ + a₁x² + a₂x + a₃

Имеем тождества

 

x₁ + x₂ + x₃ = -

x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ =

x₁x₂x₃ = -

 

Как и для квадратных уравнений, эту формулу называют формулами Виета. Левые части  этих формул являются симметрическими многочленами от корней x₁ , x₂ …, x_n данного уравнения, а правые части выражаются через коэффициент многочлена.

 

2.6 Уравнения, сводимые к квадратным (биквадратные)

 

К квадратным уравнениям сводятся уравнения четвертой  степени:

 

ax⁴ + bx² + c = 0,

 

называемые  биквадратными, причем, а ≠ 0.

Достаточно  положить в этом уравнении х² = y, следовательно,

 

ay² + by + c = 0

 

найдём  корни полученного квадратного  уравнения

 

y_1,2 =

 

Чтобы найти  сразу корни х_1,x_2,x_3,x₄ , заменим y на x и получим

 

x² =

х_1,2,3,4 = .

 

Если  уравнение четвёртой степени  имеет х₁, то имеет и корень х₂ = -х₁,

Если  имеет х₃, то х₄ = - х₃. Сумма корней такого уравнения равна нулю.

Пример:

 

2х⁴- 9x² + 4 = 0

Подставим уравнение в формулу корней биквадратных уравнений:

 

х_1,2,3,4 = ,

 

зная, что  х₁ = -х₂, а х₃ = -х₄, то:

 

х_1,2 =

х_3,4 =

 

Ответ: х_1,2 = ±2; х_1,2 =

 

2.7 Исследование биквадратных уравнений

 

Возьмем биквадратное уравнение 

 

ax⁴ + bx² + c = 0,

 

где a, b, c –действительные числа, причем а > 0. Введя вспомогательную неизвестную y = x², исследуем корни данного уравнения, и результаты занесем в таблицу (см. приложение №1)

 

2.8 Формула Кардано

 

Если  воспользоваться современной символикой, то вывод формулы Кардано может  иметь такой вид:

 

х =

 

Эта формула  определяет корни общего уравнения  третей степени:

 

ax³ + 3bx² + 3cx + d = 0.

 

Эта формула  очень громоздкая и сложная (она  содержит несколько сложныных радикалов). Она не всегда примениться, т.к. очень  сложна для заполнения.

 

2.9 Симметричные уравнения третей степени

 

Симметричными уравнениями третей степени называют уравнения вида

 

ax³ + bx²  +bx + a = 0 (1)

 

или

 

ax³ + bx²  - bx – a = 0 (2)

 

где a и b – заданные числа, причём a ¹ 0.

Покажем, как решаются уравнение (1).

Имеем:

 

ax³ + bx²  + bx + a = a(x³ + 1) + bx(x + 1) = a(x + 1) (x² - x + 1) + bx(x + 1) = (x + 1) (ax² +(b – a)x + a).

 

Получаем, что уравнение (1) равносильно уравнению

 

(x + 1) (ax² +(b – a)x + a) = 0.

 

Значит  его корнями, будут корни уравнения

 

ax² +(b – a)x + a = 0

и число  x = -1

аналогично  решается уравнение (2)

 

ax³ + bx²  - bx - a = a(x³ - 1) + bx(x - 1) = a(x - 1) (x² + x + 1) + bx(x - 1) = (x - 1) ( ax² + ax + a + bx ) = (x - 1) (ax² +(b + a)x + a).

 

1) Пример:

 

2x³ + 3x² - 3x – 2 = 0

 

Ясно, что  x₁ = 1, а

х₂ и х₃ корни уравнения 2x² + 5x + 2 = 0 ,

Найдем  их через дискриминант:

 

x_1,2 =

x₂ = - , x₃ = -2

 

2) Пример:

 

5х³ + 21х² + 21х + 5 = 0

 

Ясно, что  x₁ = -1, а

х₂ и х₃ корни уравнения 5x² + 26x + 5 = 0 ,

Найдем  их через дискриминант:

 

x_1,2 =

x₂ = -5, x₃ = -0,2.

 

2.10 Возвратные уравнения

Возвратное  уравнение – алгебраическое уравнение

 

а₀хⁿ + a₁x^{n – 1} + … + a_{n – 1}x + a_n =0,

 

в котором  а_к = a_{n – k}, где k = 0, 1, 2 …n, причем, а ≠ 0.

Задачу  нахождения корней возвратного уравнения  сводят к задаче нахождения решений  алгебраического уравнения меньшей  степени. Термин возвратные уравнения  был введён Л. Эйлером.

Уравнение четвёртой степени вида:

 

ax⁴ + bx³ + cx² + bmx + am² = 0, (a ≠ 0).

 

Приведя это уравнение к виду

 

a (x² + m²/x²) + b(x + m/x) + c = 0, и y = x + m/x и y² - 2m = x² + m²/x²,

 

откуда  уравнение приводится к квадратному

 

ay² + by + (c-2am) = 0.

 

Пример:

 

3х⁴ + 5х³ – 14х² – 10х + 12 = 0

 

Разделив  его на х², получим эквивалентное уравнение

 

3х² + 5х – 14 – 5 × , или

 

Где и

 

3(y² - 4) + 5y – 14 = 0, откуда

y₁ = y₂ = -2, следовательно

 и , откуда

х_1,2 =

 

х_3,4 =

 

Ответ: х_1,2 = х_3,4 = .

 

Частным случаем возвратных уравнений являются симметричные уравнения. О симметричных уравнениях третей степени мы говорили ранее, но существуют симметричные уравнения  четвертой степени.

Симметричные уравнения  четвертой степени.

1. Если m = 1, то это симметричное уравнение первого рода, имеющее вид

 

ax⁴ + bx³ + cx² + bx + a = 0 и решающееся новой подстановкой

y =

 

2) Если m = -1, то это симметричное уравнение второго рода, имеющее вид

 

ax⁴ + bx³ + cx² - bx + a = 0 и решающееся новой подстановкой

y =

 

2.11 Схема Горнера

 

Для деления  многочленов применяется правило  “деления углом”, или схема Горнера. С этой целью располагают многочлены по убывающим степеням х и находят старший член частного Q(x) из условия, что при умножении его на старший член делителя D(x) получается старший член делимого P(x). Найденный член частного умножают, затем на делитель и вычитают из делимого. Старший член частного определяют из условия, что он при умножении на старший член делителя даёт старший член многочлена разности и т.д. Процесс продолжается до тех пор, пока степень разности не окажется меньше степени делителя.(см. приложение №2).

В случае уравнений R = 0 этот алгоритм заменяется схемой Горнера.

Пример:

 

х³ + 4х² + х – 6 = 0

 

Находим делители свободного члена ±1; ± 2; ± 3; ± 6.

Левую часть  уравнения обозначим f(x). Очевидно, что f(1) = 0, x1 = 1. Делим f(x) на х – 1. (см. приложение №3)

Значит,

 

х³ + 4х² + х – 6 = (х – 1) (х² + 5х + 6)

 

Последний множитель обозначим через Q(x). Решаем уравнение Q(x) = 0.

 

х_2,3 =

 

Ответ: 1; -2; -3.

В этой главе мы привели некоторые формулы  решения различных уравнений. Большинство  этих формул решения уравнений частного характера. Эти свойства очень удобны так, как гораздо легче решать уравнения по отдельной формуле  для этого уравнения, а не по общему принципу. К каждому из способов мы привели доказательство и несколько  примеров.

 

Заключение

 

В первой главе была рассмотрена история  возникновения квадратных уравнений  и уравнений высших порядков. Различные  уравнения решали более 25 веков назад. Множество способов решения таких  уравнений были созданы в Вавилоне, Индии. Потребность в уравнениях была и будет.

Во второй главе приведены различные способы  решения (нахождения корней) квадратных уравнений и уравнений высших порядков. В основном это способы  решения для уравнений частного характера, то есть к каждой группе уравнений, объединенных какими- либо общими свойствами или видом, приведено  особое правило, которое применяется  только для этой группы уравнений. Этот способ (подбора к каждому уравнению  собственной формулы) гораздо легче, чем нахождение корней через дискриминант.