Квадратные уравнения и уравнения высших порядков

Министерство  образования Российской Федерации

Муниципальное общеобразовательное учреждение

"Средняя общеобразовательная школа №22"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Квадратные  уравнения и уравнения высших порядков

 

 

 

 

Выполнили:

Ученики 8 "Б" класса

Кузнецов Евгений и Руди Алексей

Руководитель:

Зенина Алевтина Дмитриевна

преподаватель математики

 

 

 

 

Тюмень

2005

 

Оглавление

 

Введение

Глава 1. История квадратных уравнений и уравнений высших порядков

1. Уравнения в Древнем Вавилоне
2. Уравнения арабов
3. Уравнения в Индии

Глава 2. Теория квадратные уравнения и уравнения высших порядков

1. Основные понятия
2. Формулы четного коэффициента при х
3. Теорема Виета
4. Квадратные уравнения частного характера
5. Теорема Виета для многочленов (уравнений) высших степеней
6. Уравнения, сводимые к квадратным (биквадратные)
7. Исследование биквадратных уравнений
8. Формулы Кордано
9. Симметричные уравнения третьей степени
10. Возвратные уравнения

11. Схема Горнера

Заключение 

Список  используемой литературы

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

 

Введение

 

Уравнения в школьном курсе алгебры  занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем  на любую другую тему. Действительно, уравнения не только имеют важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям. Подавляющее  число задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению  различных видов уравнений. Овладевая  способами их решения, мы находим  ответы на различные вопросы из науки  и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т. д.).

В этом реферате хотелось бы отобразить формулы и способы решения  различных уравнений. Для этого  приводятся уравнения, которые не изучаются  в школьной программе. В основном это уравнения частного характера  и уравнения высших степеней. Чтобы  раскрыть эту тему приводятся доказательства этих формул.

Задачи нашего реферата:

- улучшить навыки решения уравнений

- наработать новые способы решения уравнений

- выучить некоторые новые способы и формулы для решения этих уравнений.

Объект исследования - элементарная алгебра Предмет исследования уравнения. Выбор этой темы основывался на том, что уравнения есть как в программе начальной, так и в каждом последующем классе общеобразовательных школ, лицеев, колледжей. Многие геометрические задачи, задачи по физике, химии и биологии решаются с помощью уравнений. Уравнения решали двадцать пять веков назад. Они создаются и сегодня – как для использования в учебном процессе, так и для конкурсных экзаменов в вузы, для олимпиад самого высокого уровня.

 

Глава 1. История квадратных уравнений и уравнений высших порядков

 

1.1 Уравнения в Древнем Вавилоне

 

Алгебра возникла в связи с решением разнообразных  задач при помощи уравнений. Обычно в задачах требуется найти  одну или несколько неизвестных, зная при этом результаты некоторых  действий, произведённых над искомыми и данными величинами. Такие задачи сводятся к решению одного или  системы нескольких уравнений, к  нахождению искомых с помощью  алгебраических действий над данными  величинами. В алгебре изучается  общие свойства действий над величинами.

Некоторые алгебраические приемы решения линейных и квадратных уравнений были известны еще 4000 лет назад в Древнем Вавилоне. Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земельными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Как было сказано ранее, квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры вавилонянами. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются как неполные, так и полные квадратные уравнения.

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает  по существу с современными, однако неизвестно, каким образом дошли  вавилоняне до этого правила. Почти  все найденные до сих пор клинописные  тексты приводят только задачи с решением, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

Несмотря  на высокий уровень развития алгебры  в Вавилоне, в клинописных текстах  отсутствует понятие отрицательного числа и общие методы решения  квадратного уравнения.

 

1.2 Уравнения арабов

 

Некоторые способы решения уравнений как  квадратных, так и уравнений высших степеней были выведены арабами. Так  известный арабский математик Ал-Хорезми  в своей книге «Ал - джабар»  описал многие способы решения различных  уравнений. Их особенность была в  том, что Ал-Хорезми применял сложные  радикалы для нахождения корней (решений) уравнений. Необходимость в решении  таких уравнений была нужна в  вопросах о разделе наследства.

 

1.3 Уравнения в Индии

 

Квадратные  уравнения решали и в Индии. Задачи на квадратные уравнения встречаются  уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 году индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII век), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой конической форме:

 

aх² + bx = c, где a > 0

 

В этом уравнении коэффициенты, кроме а, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В  одной из старинных индийских  книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим  затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи ». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Различные уравнения как  квадратные, так и уравнения высших степеней решались нашими далекими предками. Эти уравнения решали в самых  разных и отдаленных друг от друга  странах. Потребность в уравнениях была велика. Уравнения применялись  в строительстве, в военных делах, и в бытовых ситуациях.

 

Глава 2. Квадратные уравнения и  уравнения высших порядков

 

2.1 Основные понятия

 

Квадратным  уравнением называют уравнения вида

 

ax²+bx+c = 0,

 

где коэффициенты a, b, c – любые действительные числа, причём a ≠ 0.

Квадратное  уравнение называют приведённым, если его старший коэффициент равен 1.

Пример:

 

x² + 2x + 6 = 0.

 

Квадратное  уравнение называют не приведенным, если старший коэффициент отличен  от 1.

Пример:

 

2x² + 8x + 3 = 0.

 

Полное  квадратное уравнение - квадратное уравнение, в котором присутствуют все три  слагаемых, иными словами, это уравнение, у которого коэффициенты b и c отличны от нуля.

Пример:

 

3x² + 4x + 2 = 0.

 

Неполное  квадратное уравнение – это квадратное уравнение, у которого хотя бы один коэффициент b, c равен нулю.

Таким образом, выделяют три вида неполных квадратных уравнений:

 

ax² = 0 (имеет два совпадающих корня x = 0).

ax² + bx = 0 (имеет два корня x₁ = 0 и x₂ = - )

 

Пример:

 

x² + 5x = 0

x(x+5) =0

x₁= 0, x₂ = -5.

 

Ответ: x₁=0, x₂= -5.

 

ax² + c = 0

 

Если  – <0 - уравнение не имеет корней.

Пример:

 

5x² + 6 = 0

 

Ответ: уравнение не имеет корней.

 

Если  – > 0, то x_1,2 = ±

 

Пример:

 

2x² – 6 = 0

 

х²=±

х_1,2=±

 

Ответ: х_1,2=±

Любое квадратное уравнение можно решить через  дискриминант (b² - 4ac). Обычно выражение b² - 4ac обозначают буквой D и называют дискриминантом квадратного уравнение ax² +bx + c = 0 (или дискриминантом квадратного трёх члена ax² + bx + c)

Пример:

 

х² +14x – 23 = 0

D = b² – 4ac = 144 + 92 = 256

x_1,2 =

x₁ =

x₂ =

 

Ответ: x₁ = 1, x₂ = - 15.

В зависимости  от дискриминанта уравнение может  иметь или не иметь решение.

1) Если  D < 0, то не имеет решения.

2) Если  D = 0, то уравнение имеет два совпадающих решения x_1,2 =

3) Если  D > 0, то имеет два решения, находящиеся по формуле:

 

x_1,2 =

 

2.2 Формулы четного коэффициента при х

 

Мы привыкли к тому, что корни квадратного  уравнения

 

ax² + bx + c = 0 находятся по формуле

 

x_1,2 =

 

Но математики никогда не пройдут мимо возможности  облегчить себе вычисления. Они обнаружили, что эту формулу можно упростить  в случае, когда коэффициент b имеет вид b = 2k, в частности, если b есть четное число.

В самом  деле, пусть у квадратного уравнения  ax² + bx + c = 0 коэффициент b имеет вид b = 2k. Подставив в нашу формулу число 2k вместо b, получим:

 

x_1,2=

=

 

Итак, корни  квадратного уравнения ax² + 2kx + c = 0 можно вычислять по формуле:

 

x_1,2=

 

Пример:

 

5х² - 2 х + 1 = 0

 

x_1,2=

 

Преимущество  этой формулы в том, что в квадрат  возводится не число b, а его половина, вычитается из этого квадрата не 4ac, а просто ac и, наконец, в том, что в знаменателе содержится не 2a, а просто a.

В случае если квадратное уравнение приведенное, то наша формула будет выглядеть так:

 

x_1,2=-k ± .

 

Пример:

 

х² – 4х + 3 = 0

х_1,2 = 2 ±

х₁ = 3

х₂ = 1

 

Ответ: х₁ = 3, х₂ = 1.

 

2.3 Теорема Виета

Очень любопытное свойство корней квадратного  уравнения обнаружил французский  математик Франсуа Виет. Это свойство назвали теорема Виета:

Чтобы числа x₁ и x₂ являлись корнями уравнения:

ax² + bx + c = 0

 

необходимо  и достаточно выполнения равенства

 

x₁ + x₂ = -b/a и x₁x₂ = c/a

 

Теорема Виета позволяет судить о знаках и абсолютной величине квадратного  уравнения

А именно

 

x² + bx + c = 0

 

1. Если b>0, c>0 то оба корня отрицательны.
2. Если b<0, c>0 то оба корня положительны.
3. Если b>0, c<0 то уравнение имеет корни разных знаков, причём отрицательный корень по абсолютной величине больше положительного.
4. Если b<0, c<0 то уравнение имеет корни разных знаков, причём отрицательный корень по абсолютной величине меньше положительного.

 

2.4 Квадратные уравнения частного характера

 

1) Если  a + b + c = 0 в уравнении ax² + bx + c = 0, то

 

х₁=1, а х₂ = .

 

Доказательство:

В уравнении  ax² + bx + c = 0, его корни

 

x_1,2 = (1).

 

Представим  b из равенства a + b + c = 0

Подставим это выражение в формулу (1):

 

х_1,2=

=

 

Если  рассмотрим по отдельности два корня  уравнения, получим:

 

1. х₁=
2. х₂=