Квадратичные формы

Действительная квадратичная форма называется отрицательно-определенной, если она является невырожденной  и приводится к нормальному виду, содержащему только отрицательные  квадраты всех переменных; эту форму  можно привести к виду:

 

φ (y₁, y₂….y_n)= -y²₁ – y²₂ -…- y²_n (1.10).

      Теорема 6. Квадратичная форма является отрицательно-определенной тогда и только тогда, когда ее главные миноры четного порядка положительны, а нечетного - отрицательны.[2,c.50]

Положительно-определенные и отрицательно-определенные квадратичные формы называются знакоопределенными квадратичными формами.

Вырожденные квадратичные формы, нормальный вид которых состоит  из квадратов одного знака, называются полуопределенными. Неопределенными  называются квадратичные формы, нормальный вид которых содержит как положительные, так и отрицательные квадраты переменных.

7. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ  ЗАДАЧ

Задача 1.

Составить матрицу квадратичной формы 3Х2 – 10Ху + 8У2 и найти ее собственные числа.

Указание

Матрица квадратичной формы А11Х2 + 2А12Ху + А22У2 является

Симметрической (Aij = Aji) и имеет вид:

Решение

В нашей задаче А11 = 3, А12 = -5, А22 = 8. Следовательно,

Составим характеристическое уравнение, корнями которого являются собственные  числа:

Ответ: матрица квадратичной формы ,

Собственные числа 

Задача 2.

Найти базис, в котором квадратичная форма 2Х2 + 4Ху + 5У2 будет иметь канонический вид, и указать этот вид.

Указание

Канонический вид квадратичной формы:

1) во-первых, не содержит произведения Ху;

2) во-вторых, коэффициенты при Х2 и У2 равны собственным числам матрицы квадратичной формы.

Базис, в котором квадратичная форма  имеет канонический вид, состоит  из нормированных собственных векторов матрицы квадратичной формы.

Решение

Матрица квадратичной формы

Характеристическое уравнение

Собственные числа: L1 = 1, L2 = 6.

Собственные векторы:

Для L1 = 1 координаты вектора R1 = {X1, Y1} определяются уравнением

Х1 + 2У1 = 0, Х1 = -2У1. Если У1 = 1, то Х1 = -2, и R1 = C{-2; 1}. Найдем значение С из условия, что вектор R1 нормирован, то есть его длина равна 1:

Аналогично для L2 = 6: R2 = {X2, Y2}, -4Х2 + 2У2 = 0, R2 = C{1; 2}.

Итак, базис имеет вид:

И в этом базисе квадратичная форма  примет вид: L1Х2 + L2У2, то есть Х2 + 6У2.

Ответ: в базисе квадратичная форма имеет канонический вид: Х2 + 6У2.

Задача 3.

Указать преобразование координат, приводящее квадратичную форму

8Х2 – 12Ху + 17У2 к каноническому виду.

Указание

Матрица преобразования координат  имеет вид:

Где R1 = (X1, Y1) и R2 = (X2, Y2) – нормированные собственные векторы.

Решение

Найдем базис из нормированных  собственных векторов.

Составим матрицу перехода к  новому базису, столбцами которой  будут координаты новых базисных векторов R1, R2 в старом базисе:

Строки этой матрицы определяют коэффициенты уравнений, выражающих старые координаты через новые:

Где Х, У – координаты в старом базисе, а Х’, Y’ – в новом.

Таким образом, найдено искомое  преобразование.

Ответ: .

Задача 4.

Привести к каноническому виду квадратичную форму 5Х2 – 12Ху.

Указание

Матрица преобразования координат  имеет вид:

Где R1 = (X1, Y1) и R2 = (X2, Y2) – нормированные собственные векторы. В новом базисе квадратичная форма имеет канонический вид, причем коэффициенты при Х2 и У2 совпадают с собственными числами матрицы квадратичной формы.

Решение

Матрица перехода к базису из собственных  векторов:

Преобразование координат:

Подставим найденные выражения  в квадратичную форму:

Как и следовало ожидать, в новом  базисе квадратичная форма имеет  канонический вид, причем коэффициенты при Х2 и У2 совпадают с собственными числами матрицы квадратичной формы.[9,c.43]

Ответ: 9Х2 – 4У2.

Задача 5.

Найти преобразование координат, приводящее квадратичную форму

X2 + Y2 + 5Z2 – 6Xy + 2Xz – 2Yz к каноническому виду.

Указание

Матрица квадратичной формы A11X2 + A22Y2 + A33Z2 + 2A12Xy + 2A13Xz + 2A23Yz имеет вид:

Матрица преобразования координат:

Где R1 = (X1, Y1, Z1), R2 = (X2, Y2, Z2) и R3 = (X3, Y3, Z3) – нормированные собственные векторы.

Решение.

Матрица квадратичной формы A11X2 + A22Y2 + A33Z2 + 2A12Xy + 2A13Xz + 2A23Yz имеет вид:

Для заданной квадратичной формы

Составим и решим характеристическое уравнение:

(Мы не останавливаемся подробно  на способах решения уравнений  высших порядков. В данном случае, например, один из корней был найден перебором делителей свободного члена, а затем левая часть разложена на множители.)

Найдем нормированные собственные  векторы:

Матрица перехода к новому базису:

Задает преобразование координат:

Заметим, что в новых координатах  квадратичная форма примет вид:

Где коэффициенты являются собственными числами, стоящими в той же последовательности, что и соответствующие собственные  векторы в матрице Т.

Ответ:

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

      В данной работе были изучены элементы высшей алгебры, а именно рассмотрение квадратичной формы и ее свойств, а также связанных с ней определений и преобразований, решены конкретные задачи для иллюстрации этих преобразований.

      Математическое моделирование,  универсальность математических  методов обуславливают огромную  роль математики в самых различных  областях человеческой деятельности.

       Основой любой  профессиональной деятельности  являются умения:

• строить и использовать математические модели для описания, прогнозирования и исследования различных явлений;
• осуществить системный, качественный и количественный анализ;
• владеть компьютерными методами сбора, хранения и обработки информации;
• владеть методами решения оптимизационных задач.

Широкое применение находят математические методы в естествознании и сугубо гуманитарных науках: психологии, педагогике.

Можно сказать, что в недалеком  будущем любая часть человеческой деятельности будет еще более  широко использовать в своих исследованиях  математические методы. Ведь математика отлично приспособлена для количественной обработки любой научной информации, независимо от ее содержания.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Крамер Г. Математические методы статистики. – М.: Регулярная и хаотическая динамика, 2003.
2. Гусак А.А., Гусак Г.М., Бричникова Е.А. Справочник по высшей математике. – М.:Тетра Систем с, 2009- 640 с.
3. Малугин В.А. Математика для экономистов: Линейная алгебра. Курс лекций. – М.: Эксмо, 2008- 224 с.
4. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задач. Ч.1. – М.: Высш. Шк., 2008.
5. Крутицкая Н.Ч., Шишкин А.А. Линейная алгебра в вопросах и задачах: Учеб. Пособие для вузов. – М.:Высш. шк.,2010.
6. Виноградов И.М. Элементы высшей математики. (Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление. Основы теории чисел). Учебник для вузов. – М.: Высш. шк.,2009.
7. Щипачев В.С. Высшая математика: Учебник для вузов. – Высш. шк., 2008.
8. В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Линейная алгебра. М.: Наука,2009.
9. И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 2010.
10. В.Л. Камынин, Н.В. Шолохов. Элементы теории групп. М.:МИФИ,2008.