Квадратичные формы

                                           СОДЕРЖАНИЕ:

ВВЕДЕНИЕ

1. КВАДРАТИЧНАЯ  ФОРМА И ЕЕ СВОЙСТВА

2.МАТРИЦА КВАДРАТИЧНОЙ  ФОРМЫ

3.ПРЕОБРАЗОВАНИЕ  КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ ПРИ ЛИНЕЙНОМ  ОДНОРОДНОМ ПРЕОБРАЗОВАНИИ ПЕРЕМЕННЫХ

4.ПРИВИДЕНИЕ КВАДРАТИЧНЫХ  ФОРМ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ. МЕТОД  ЛАГРАНЖА 

5. ЗАКОН ИНЕРЦИИ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ

6. ЗНАКООПРЕДЕЛЕННЫЕ КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

7. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ  ЗАДАЧ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                 ВВЕДЕНИЕ

Арифметическая теория квадратичных форм берет свое начало с утверждения  Ферма о представимости простых чисел суммой двух квадратов.

 Теория квадратичных  форм впервые была развита  французским математиком Лагранжем,  которому принадлежат многие  идеи в этой теории, в частности,  он ввел важное понятие приведенной  формы, с помощью которого им  была доказана конечность числа  классов бинарных квадратичных  форм заданного дискриминанта.  Затем эта теория была значительно расширенна Гауссом, который ввел много новых понятий, на основе которых ему удалось получить доказательства трудных и глубоких теорем теории чисел, ускользавших от его предшественников в этой области.

 Перейдем теперь к  краткой характеристике содержания  нашей работы, посвященной некоторым  вопросам теории квадратичных  форм.[3,c.54]

 Курсовая работа посвящается некоторым вопросам теории квадратичных форм. В работе приводятся предварительные общие сведения квадратичной формы и ее свойств, а также рассмотрены связанные с ней определения и преобразования

В практической части работы предстиавлено решение задач по заданной теме.

 

 

1. КВАДРАТИЧНАЯ  ФОРМА И ЕЕ СВОЙСТВА

 

        Квадратичной формой над множеством называют однородный полином второй степени с коэффициентами из ;

(Полином (многочлен) называется однородным полиномом или формой степени (или порядка) m, если все его одночлены имеют степень m. Однородный полином первого, второго или третьего порядков называют также, соответственно, линейной, квадратичной или кубической формой.)[2,c.21]

если переменные квадратичной формы обозначить , то общий вид квадратичной формы от этих переменных:

 

(1.1)

или  f(x_1,x_2,…x_n) = ∑_j=1 ∑ _k=1 a_jk x_j x_k, (1.2),

где a_jk = f_jk – некоторые числа, называемые коэффициентами.

Не ограничивая общности, можно считать, что a_{jk =} a_kj. Квадратичная форма называется действительной или комплексной в зависимости от того, являются ли ее коэффициенты соответственно действительными или комплексными числами. Будем рассматривать действительные квадратичные формы.

Квадратичная форма обладает следующими свойствами:

1) Для любой квадратичной  формы А существует единственная симметричная билинейная форма B, такая, что A(x) = B(x, x). Билинейную форму B называют полярной к A. [4,c.67]

(Билинейной формой называется  функция  , линейная по каждому из аргументов, где есть векторное пространство над полем :

 

,

,

,

, здесь и )

 

Матрица билинейной формы  в произвольном базисе совпадает  с матрицей полярной ей билинейной формы в том же базисе.

(Ба́зис — множество таких векторов в векторном пространстве, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого множества — базисных векторов.)

2) Если матрица квадратичной  формы имеет полный ранг, то  квадратичную форму называют  невырожденной, иначе - вырожденной.[1,c.43]

(Рангом матрицы  с строк и столбцов называется максимальное число линейно независимых строк (столбцов). Несколько строк (столбцов) называются линейно независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через другие. Ранг матрицы размера называют полным, если .)

3) Квадратичная форма  A(x,x) называется положительно (отрицательно) определённой, если для любого x≠ 0 A(x,x) > 0 (A(x,x) < 0). Положительно определённые и отрицательно определённые формы называются знако-определёнными.

Квадратичная форма является положительно определенной, тогда и  только тогда, когда все угловые  миноры её матрицы строго положительны.

Квадратичная форма является отрицательно определенной, тогда и  только тогда, когда знаки всех угловых  миноров её матрицы чередуются, причем минор порядка 1 отрицателен.

(Минором k-го порядка матрицs M с строк и столбцов называется определитель k-го порядка, элементами которого являются элементы матрицы М, стоящих на пересечении k строк и k столбцов. Минор, расположенный в первых k строках и k столбцах, называется угловым минором.)[5,c.78]

4) Квадратичная форма  A(x,x) называется знакопеременной, если она принимает как положительные, так и отрицательные значения.

5) Квадратичная форма  A(x,x) называется квазизнакоопределённой, если , но форма не является знакоопределённой.

 

2.МАТРИЦА КВАДРАТИЧНОЙ  ФОРМЫ

 

      Матрицей квадратичной формы называется матрица, составленная из ее коэффициентов. Квадратичной форме (1.1) соответствует единственная симметрическая матрица (Симметрической называют квадратную матрицу, элементы которой симметричны относительно главной диагонали. Более формально, симметричной называют такую матрицу что .)

 

  (1.3), где a_ij=f_ij

 

И наоборот, всякой симметрической матрице (1.3) соответствует единственная квадратичная форма с точностью  до обозначения переменных.

Рангом квадратичной формы  называют ранг ее матрицы. Квадратичная форма n переменных называется невырожденной, если ее матрица невырожденная, т. е. r = n, и вырожденной, если r< n, где r=rangA.[7,c.54]

Матрицей называется прямоугольная  таблица из чисел, содержащая некоторое  количество m строк и некоторое количество n столбцов. Числа m и n называются порядками матрицы. В случае, если m = n, матрица называется квадратной, а число m = n – ее порядком.

В дальнейшем для записи матриц будут применяться либо сдвоенные  черточки, либо круглые скобки.[8,c.91]

Квадратичную форму (1.1) n переменных х₁, х₂,...,х_n можно записать в матричном виде. Действительно, если Х – матрица-столбец из переменных (x₁,x₂…,x_n), X^T – матрица, полученная транспонированием матрицы X, т.е. матрица-строка из тех же переменных, то f (x₁,x₂…,x_n)= X^TAX (1.4), где А определяется формулой (1.3).

3.ПРЕОБРАЗОВАНИЕ  КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ ПРИ ЛИНЕЙНОМ  ОДНОРОДНОМ ПРЕОБРАЗОВАНИИ ПЕРЕМЕННЫХ

      Рассмотрим квадратичную форму (1.1). Перейдем к новым переменным y₁, y₂….y_n по формулам

 (1.5)

 

или в матричном виде X=BY (1.6), где

 

(1.7).

 

        В квадратичной форме (1.1) вместо (x₁,x₂…,x_n) подставим их выражения через y₁, y₂….y_n определяемые формулами (1.5), получим квадратичную форму φ (y₁, y₂….y_n) n переменных с некоторой матрицей С. В этом случае говорят, что квадратичная форма f(x_1,x_2,…x_n) переводится в квадратичную форму φ (y₁, y₂….y_n) линейным однородным преобразованием (1.5). Линейное однородное преобразование (1.6) называется невырожденным, если det B≠0, где det – определитель матрицы B.[9,c.31]

Две квадратичные формы называются конгруэнтными, если существует невырожденное  линейное однородное преобразование, переводящее одну форму в другую. Если f (x₁,x₂…,x_n) и φ (y₁, y₂….y_n) конгруэнтны, то будем писать f (x₁,x₂…,x_n) ~ φ (y₁, y₂….y_n). Свойства конгруэнтности квадратичных форм:

1. f (x₁,x₂…,x_n) ~ φ (y₁, y₂….y_n).
2. Если f (x₁,x₂…,x_n) ~ φ (y₁, y₂….y_n), φ (y₁, y₂….y_n)~ψ(z₁, z₂…z_n), то f (x₁,x₂…,x_n) ~ ψ(z₁, z₂…z_n)

Теорема 1. Квадратичная форма f (x₁,x₂…,x_n) с матрицей А линейным однородным преобразованием Х = ВУ переводится в квадратичную форму φ (y₁, y₂….y_n) с матрицей С=В^T АВ.

Следствие 1. Определители матриц конгруэнтных невырожденных действительных квадратичных форм имеют одинаковые знаки.

Следствие 2. Конгруэнтные квадратичные формы имеют одинаковые ранги.

4.ПРИВИДЕНИЕ КВАДРАТИЧНЫХ  ФОРМ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ. МЕТОД  ЛАГРАНЖА

Квадратичная форма f (x₁,x₂…,x_n) называется канонической, если она не содержит произведений различных переменных, т.е.

Для приведения квадратичной формы к каноническому виду используется метод Лагранжа. Данный метод состоит  в последовательном выделении в  квадратичной форме полных квадратов. Возможны два случая:

1.Пусть . Выделим в все слагаемые, содержащие

 

 

В последнем представлении  первое слагаемое представляет собой  квадрат линейной формы по переменным ; все оставшиеся слагаемые не зависят от , т.е. составляют квадратичную форму от переменных . Таким образом, исходная задача для формы переменных оказывается сведенной к случаю формы -й переменной; последняя преобразуется по аналогичному принципу.[6,c.40]

2. Если  , но , т.е. при хотя бы одном квадрате переменной коэффициент отличен от нуля. Алгоритм модифицируется таким образом, что выделение полного квадрата начинается с переменной вместо .

 

5. ЗАКОН ИНЕРЦИИ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ

 

Закон инерции квадратичных форм выражает:

Теорема 2. Число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде, к которому приводится данная действительная квадратичная форма невырожденным действительным линейным преобразованием, не зависит от выбора преобразования.[2,c.15]

Число положительных квадратов  в нормальной форме, к которой  приводится данная действительная квадратичная форма, называют положительным индексом инерции этой формы, число отрицательных  квадратов - отрицательным индексом инерции, разность между положительным  и отрицательным индексами инерции - сигнатурой формы f. Если известен ранг формы, то задание любого из трех указанных выше чисел определяет два других.

Теорема 3. Две действительные квадратичные формы от n переменных тогда и только тогда конгруэнтны, когда они имеют одинаковые ранги и одинаковые сигнатуры.[2,c.26]

Пусть k(x) = 3x₁₂ − 2x₂x₁+ 3x₂₂— квадратичная форма в пространстве R₂. И пусть e₁= (1, 0), e₂= (0, 1) — базис в R₂.

Матрица A квадратичной формы  в этом базисе имеет вид: Найдём канонический базис квадратичной формы — собственный базис матрицы A и приведём её к диагональному виду:

имеем: E₁, E₂ — канонический базис квадратичной формы. Канонический вид квадратичной формы в этом базисе k(y) = 4y₁₂ + 2y₂₂. Числа 4, 2 — канонические коэффициенты квадратичной формы. Положительный индекс инерции квадратичной формы равен 2. Отрицательный индекс инерции квадратичной формы равен 0. Сигнатура квадратичной формы равна 2 − 0 = 2. Ранг квадратичной формы равен 2.

 

 

6. ЗНАКООПРЕДЕЛЕННЫЕ КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

 

      Действительная квадратичная форма f (x₁,x₂…,x_n) называется положительно-определенной, если она приводится к нормальному виду, состоящему из n положительных квадратов: f(x₁,x₂…,x_n)~φ(y₁,y₂….y_n), где

 (1.9) ,

т.е. если ранг и положительный  индекс инерции равны числу неизвестных.

Систему значений x₁,x₂…,x_n назовем нулевой, если x₁= х₂ = ... = x_n =0, и ненулевой, если хотя бы одно из них отлично от нуля.[3,c.18]

Теорема 4. Действительная квадратичная форма f (x₁,x₂…,x_n) является положительно-определенной тогда и только тогда, когда она принимает положительные значения при любой ненулевой системе значений переменных x₁, x₂…,x_n. Пусть дана квадратичная форма f(x₁,x₂…,x_n) с матрицей А = (а_у). Главными минорами квадратичной формы f называются миноры 

 

,

 

т.е. миноры порядка 1, 2, ... , n матрицы А, расположенные в левом верхнем углу; последний из них совпадает с определителем матрицы.[2,c.41]

Теорема 5. Квадратичная форма f (x₁,x₂…,x_n) с действительной матрицей является положительно-определенной тогда и только тогда, когда все ее главные миноры положительны.