Критерии Стьюдента и Фишера

Содержание

Введение ……………………………………………………………….……. 3

1. Критерий Стьюдента ………………………………………………….….. 5

     1.1 Случай несвязных выборок ………………………………….……… 8

     1.2 Случай связных выборок ……………………………………………..12 2. Критерий Фишера ……..…………………………………………………15                 Заключение ………………………………………………………………..…...19

Список литературы ………………………………………………….………..20

Приложение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Распределение занимает центральное  место в теории и практике вероятностно-статистических исследований. В качестве непрерывной  аппроксимации к биномиальному  распределению его впервые рассматривал А. Муавр в 1733 г. Через некоторое время нормальное распределение снова открыли и изучили К. Гаусс (1809 г.) и  П. Лаплас, которые пришли к нормальной функции в связи с работой по теории ошибок наблюдений.

Цель  их объяснения механизма формирования нормально распределенных случайных  величин заключается в следующем. Постулируется, что значения исследуемой  непрерывной случайной величины формируются под воздействием очень  большого числа независимых случайных  факторов, причем сила воздействия  каждого отдельного фактора мала и не может превалировать среди  остальных, а характер воздействия  – аддитивный.

Во многих случайных величинах, изучаемых  в технике и других областях, естественно  видеть суммарный аддитивный эффект большого числа независимых причин. Но центральное место нормального  закона не следует объяснять его  универсальной приложимостью.

Основная  цель работы сводится к тому, чтобы  изучить понятия и сущность критериев  Стьюдента и Фишера.

Достижение  цели подразумевало решение следующих  поставленных задач:

- рассмотреть  критерии Стьюдента,

- рассмотреть  случаи связных и несвязных  выборок,

- рассмотреть  критерии Фишера.

 

1. t - Критерий Стьюдента

t-критерий  Стьюдента — общее название для класса методов  статистической  проверки  гипотез  (статистических критериев), основанных на  распределении Стьюдента. Наиболее     частые     случаи     применения

t-критерия  связаны с проверкой равенства  средних значений в двух выборках.

t-статистика  строится обычно по следующему  общему принципу: в числителе  случайная величина с нулевым  математическим ожиданием (при  выполнении нулевой гипотезы), а в знаменателе — выборочное стандартное отклонение этой случайной величины, получаемое как квадратный корень из несмещенной оценки дисперсии. [Википедия]

Критерий  t Стьюдента направлен на оценку различий величин средних  и  двух выборок X и Y, которые распределены по нормальному закону. Одним из главных достоинств критерия является широта его применения. Он может быть использован для сопоставления средних у связных и несвязных выборок, причем выборки могут быть не равны по величине.

t-критерий  применяется в двух вариантах  – когда сравниваемые выборки  независимы (не связаны) и когда  они зависимы (связаны).        

 Уровень  значимости t-критерия равен вероятности  ошибочно отвергнуть гипотезу о равенстве выборочных средних двух выборок, когда в действительности эта гипотеза имеет место.        При проверке разности двух средних с помощью t-критерия Стьюдента используется следующий алгоритм:

1.     Записать вариационный ряд результатов Х экспериментальной группы.

2.     Записать вариационный ряд результатов Y контрольной группы.

3.     Найти выборочные средние двух выборок   и  .

4.     Найти выборочные дисперсии  и .

5.     Вычислить эмпирическое значение критической статистики

.

6.     Определить по таблице критическое значение   для соответствующего уровня значимости a и данного числа степеней свободы  .

Если    то различия между средними значениями экспериментальной и контрольной групп существенны на данном уровне значимости.

Изобразим алгоритм определения t-критерия Стьюдента с  помощью схемы (рис. 1).

Рис. 1. Схема  алгоритма определения t-критерия Стьюдента

 

1.1 Случай несвязных выборок

В общем случае формула для расчета  по t - критерию Стьюдента такова:  ,                                                                                (1)

где  .                                                                             (2)

Рассмотрим  сначала равночисленные выборки.  В этом случае

  тогда выражение (1) будет вычисляться следующим образом:  .                                    (3)

В случае неравночисленных выборок  , выражение (3) будет вычисляться следующим образом:

           .                     (3)

В обоих  случаях подсчет числа степеней свободы осуществляется по формуле:  

,                                            (4)

где и соответственно величины первой и второй выборки.

Понятно, что при численном равенстве  выборок 

Рассмотрим пример использования  t - критерия Стьюдента для несвязных и неравных по численности выборок.

Пример: Психолог измерял время сложной сенсомоторной реакции выбора (в мс) в контрольной и экспериментальной группах. В экспериментальную группу (X) входили 9 спортсменов высокой квалификации. Контрольной группой (Y) являлись 8 человек, активно не занимающихся спортом. Психолог проверяет гипотезу о том, что средняя скорость сложной сенсомоторной реакции выбора у спортсменов выше, чем эта же величина у людей, не занимающихся спортом.

Результаты  эксперимента представим в виде табл. 1, в которой произведем ряд необходимых расчетов:      

Таблица 1. Результаты эксперимента

№	Группы		Отклонение от среднего		Квадраты отклонения
	X	Y
1	504	580	- 22	- 58	484	3368
2	560	692	34	54	1156	2916
3	420	700	- 106	62	11236	3844
4	600	621	74	- 17	5476	289
5	580	640	54	- 2	2916	4
6	530	561	4	- 77	16	5929
7	490	680	- 36	42	1296	1764
8	580	630	54	- 8	2916	64
9	470	-	- 56	-	3136	-
Сумма	4734	5104	0	0	28632	18174
Среднее	526	638

Средние арифметические составляют в экспериментальной группе , в контрольной группе  .

Разница по абсолютной величине между средними

 

Подсчет выражения дает:

.

Тогда значение , вычисляемое по формуле (1), таково:

.

Число степеней свободы k =9+82=15. По табл. 1 приложения для данного числа степеней свободы находим  (см. таблицу 1 приложения):

2,13 для  P  ≤ 0,05,

2,95 для  P ≤ 0,01,

4,07 для P ≤ 0,001.

Строим ``ось значимости''(рис. 2):

Рис. 2. «Ось значимости»

Таким образом, обнаруженные психологом различия между экспериментальной  и контрольной группами значимы  более чем на 0,1% уровне, или, иначе  говоря, средняя скорость сложной  сенсомоторной реакции выбора в группе спортсменов существенно выше, чем в группе людей, активно не занимающихся спортом.

В терминах статистических гипотез  это утверждение звучит так: гипотеза   о сходстве отклоняется и на 0,1% уровне значимости принимается альтернативная гипотеза   ‒ о различии между экспериментальной и контрольными группами.

 

1.2  Случай связных выборок

В случае связных выборок с равным числом измерений в каждой можно  использовать более простую формулу  t - критерия Стьюдента.

Вычисления  значений   осуществляется по формуле:

                                               (5)

 ,                                                (6)

где   ‒ разности между соответствующими значениями переменной X и переменной Y, а  ‒ среднее этих разностей.

В свою очередь  вычисляется по следующей формуле:

 .                                            (7)

Число степеней свободы k определяется по формуле k = n1.

Рассмотрим  пример использования t - критерия Стьюдента для связных и, очевидно, равных по численности выборок.

Пример: Психолог предположил, что в результате обучения время решения эквивалентных задач ``игры в 5'' (т. е. имеющих один и тот же алгоритм решения) будет значимо уменьшаться. Для проверки гипотезы у восьми испытуемых сравнивалось время решения (в минутах) первой и третьей задач. Решение задачи представим в виде табл. 2.

 

 

Таблица 2. Решение задачи

№ испытуемых	1 задача	2 задача
1	4,0	3,0	1,0	1,0
2	3,5	3,0	0,5	0,25
3	4,1	3,8	0,3	0,09
4	5,5	2,1	3,4	11,56
5	4,6	4,9	-0,3	0,09
6	6,0	5,3	0,7	0,49
7	5,1	3,1	2,0	4,00
8	4,3	2,7	1,6	2,56
Суммы	37,1	27,9	9,2	20,04

Вначале произведем расчет по формуле 6:

 

Затем применим формулу 7:

 

И, наконец, следует применить формулу 5. Получим:

.

Число степеней свободы: и по табл. 1 приложения находим  (см. таблицу 1 приложения):

2,37 для P ≤ 0,05,

З,50 для P ≤ 0,01,

5,41 для P ≤ 0,001.

Строим ``ось значимости'':

Рис. 3. «Ось значимости»

Таким образом, на 5% уровне значимости первоначальное предположение подтвердилось, действительно, среднее время решения  третьей задачи существенно меньше среднего времени решения первой задачи. В терминах статистических гипотез полученный результат будет  звучать так: на 5% уровне гипотеза   отклоняется и принимается гипотеза   о различиях.

Для применения t - критерия Стьюдента необходимо соблюдать следующие условия:

Измерение может быть проведено в шкале  интервалов и отношений.

Сравниваемые  выборки должны быть распределены по нормальному закону.

 

2.    F - критерий  Фишера

Критерий  Фишера позволяет сравнивать величины выборочных дисперсий двух рядов  наблюдений. Для вычисления    нужно найти отношение дисперсий двух выборок, причем так, чтобы большая по величине дисперсия находилась бы в числителе, а меньшая знаменателе. Формула вычисления по критерию Фишера F такова:   ,

где       ,

и       .

Поскольку, согласно условию критерия, величина числителя должна быть больше или равна величине знаменателя, то значение    всегда будет больше или равно единице, т.е.  . Число степеней свободы определяется также просто:    для первой (т.е. для той выборки, величина дисперсии которой больше) и   для второй выборки. В таблице 2 приложения критические значения критерия Фишера   находятся по величинам  * (верхняя строчка таблицы) и   (левый столбец таблицы). (См. таблицу 2 приложения)

Пример: В двух третьих классах проводилось тестирование умственного развития по тесту ТУРМШ (тест умственного развития младшего школьника) десяти учащихся. Полученные значения величин средних достоверно не различались, однако психолога интересует вопрос ‒ есть ли различия в степени однородности показателей умственного развития между классами.

Для критерия Фишера необходимо сравнить дисперсии тестовых оценок в обоих  классах. Результаты тестирования представлены в табл. 3.

Таблица 3. Результаты тестирования