Контрольной работе по "Вычислительная математика"

Муниципальное образовательное учреждение

Высшего профессионального  образования

Южно - Уральский  профессиональный институт

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольной работе по дисциплине

Вычислительная  математика

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                        Выполнил студент гр. ВМз-01-10: Кузьмин А.Р.

                           Проверила: Булгакова М.В.

 

 

 

 

 

 

Челябинск

2012

Вариант 10.

Задание 1.                                       

     Случайная  выборка целых чисел от 0  до 10.  30 значений

   3   7   5   1   0   0

   0   3   8   5   4   9

   0   6   2   3   6   4

  10   0   4   4   8   9

   4   6   2   0   0   9

 

┌

│  3∙x1 + 7∙x2 + 5∙x3 +   x4 + 0∙x5 = 0;

│  0∙x1 + 3∙x2 + 8∙x3 + 5∙x4 + 4∙x5 = 9;

│  0∙x1 + 6∙x2 + 2∙x3 + 3∙x4 + 6∙x5 = 4;

│ 10∙x1 + 0∙x2 + 4∙x3 + 4∙x4 + 8∙x5 = 9;

│  4∙x1 + 6∙x2 + 2∙x3 + 0∙x4 + 0∙x5 = 9.

└

      Метод  Гаусса.

  Расширенная матрица  системы.

┌                               ┐

│   3    7    5    1    0 |    0│

│   0    3    8    5    4 |    9│

│   0    6    2   3    6 |    4│

│  10    0    4    4    8 |    9│

│   4    6    2    0    0 |    9│

└                               ┘

 К  4-й строке, умноженной  на 3, добавляем 1-ю строку, умноженную  на -10.

 К  5-й строке, умноженной  на 3, добавляем 1-ю строку, умноженную на -4.

┌                               ┐

│   3    7    5    1    0 |    0│

│   0    3    8    5    4 |    9│

│   0    6    2    3    6 |    4│

│   0  -70  -38    2   24 |   27│

│   0  -10  -14   -4    0 |   27│

└                               ┘

 Все элементы 4-й и 5-й строк умножим на -1.

┌                               ┐

│   3    7    5    1    0 |    0│

│   0    3    8    5    4 |    9│

│   0    6    2    3    6 |    4│

│   0   70   38   -2  -24 |  -27│

│   0   10   14    4    0 |  -27│

└                               ┘

 К  3-й строке  добавляем 2-ю строку, умноженную  на -2.

 К  4-й строке, умноженной  на 3, добавляем 2-ю строку, умноженную  на -70.

 К  5-й строке, умноженной  на 3, добавляем 2-ю строку, умноженную  на -10.

┌                               ┐

│   3    7    5    1    0 |    0│

│   0    3    8    5    4 |    9│

│   0    0  -14   -7   -2 |  -14│

│   0    0 -446 -356 -352 | -711│

│   0    0  -38  -38  -40 | -171│

└                               ┘

 Все элементы 3-й, 4-й  и 5-й строк умножим на -1.

┌                               ┐

│   3    7    5    1    0 |    0│

│   0    3    8    5    4 |    9│

│   0    0   14    7    2 |   14│

│   0    0  446  356  352 |  711│

│   0    0   38   38   40 |  171│

└                               ┘

 К  4-й строке, умноженной на 7, добавляем 3-ю строку, умноженную на -223.

 К  5-й строке, умноженной  на 7, добавляем 3-ю строку, умноженную  на -19.

 

 

 

┌                               ┐                                

│   3    7    5    1    0 |    0│

│   0    3    8    5    4 |    9│

│   0    0   14    7    2 |   14│

│   0    0    0  931 2018 | 1855│

│   0    0    0  133  242 |  931│

└                               ┘

 К  5-й строке, умноженной  на 7, добавляем 4-ю строку, умноженную  на -1.

┌                               ┐

│  3    7    5    1    0 |    0│

│   0    3    8    5    4 |    9│

│   0    0   14    7    2 |   14│

│   0    0    0  931 2018 | 1855│

│   0    0    0    0 -324 | 4662│

└                               ┘

 Все элементы 5-й  строки сокращаем на -18.

┌                               ┐

│   3    7    5    1    0 |    0│

│   0    3    8    5    4 |    9│

│   0    0   14    7    2 |   14│

│   0    0    0  931 2018 | 1855│

│   0    0    0    0   18 | -259│

└                               ┘

 К  4-й строке, умноженной  на 9, добавляем 5-ю строку, умноженную на -1009.

 К  3-й строке, умноженной  на 9, добавляем 5-ю строку, умноженную  на -1.

 Ко 2-й строке, умноженной  на 9, добавляем 5-ю строку, умноженную  на -2.

┌                                 ┐

│   3    7    5    1    0 |      0│

│   0   27   72   45    0 |    599│

│   0    0  126   63    0 |    385│

│   0    0    0 8379    0 | 278026│

│   0    0    0    0   18 |   -259│

└                                 ┘

 Все элементы 4-й  строки сокращаем на 49.

 Все элементы 3-й  строки сокращаем на 7.

┌                               ┐

│   3    7    5    1    0 |    0│

│   0   27   72   45    0 |  599│

│   0    0   18    9    0 |   55│

│   0    0    0  171    0 | 5674│

│   0    0    0    0   18 | -259│

└                               ┘

 К  3-й строке, умноженной на 19, добавляем 4-ю строку, умноженную на -1.

 Ко 2-й строке, умноженной  на 19, добавляем 4-ю строку, умноженную  на -5.

 К  1-й строке, умноженной  на 171, добавляем 4-ю строку, умноженную  на -1.

┌                                 ┐

│ 513 1197  855    0    0 |  -5674│

│   0  513 1368    0    0 | -16989│

│   0    0  342    0    0 |  -4629│

│   0    0    0  171    0 |   5674│

│   0    0    0    0   18 |   -259│

└                                 ┘

 Все элементы 2-й  и 3-й строк сокращаем на 3.

┌                                ┐

│ 513 1197  855    0    0 | -5674│

│   0  171  456    0    0 | -5663│

│   0    0  114    0    0 | -1543│

│   0    0    0  171    0 |  5674│

│   0    0    0    0   18 |  -259│

└                                ┘

 Ко 2-й строке добавляем 3-ю строку, умноженную на -4.

 

 К  1-й строке, умноженной  на 2, добавляем 3-ю строку, умноженную  на -15.

 

┌                                ┐

│1026 2394    0    0    0 | 11797│                               

│   0  171    0    0    0 |   509│

│   0    0  114    0    0 | -1543│

│   0    0    0  171    0 |  5674│

│   0    0    0    0   18 |  -259│

└                                ┘

 К  1-й строке  добавляем 2-ю строку, умноженную  на -14.

┌                                ┐

│1026    0    0   0    0 |  4671│

│   0  171    0    0    0 |   509│

│   0    0  114    0    0 | -1543│

│   0    0    0  171    0 |  5674│

│   0    0    0    0   18 |  -259│

└                                ┘

 Все элементы 1-й  строки сокращаем на 27.

┌                                ┐

│  38    0    0    0    0 |   173│

│   0  171    0    0    0 |   509│

│   0    0  114    0    0 | -1543│

│   0    0    0  171    0 |  5674│

│   0    0    0    0   18 |  -259│

└                                ┘

Видим, что ранги матрицы  системы и расширенной матрицы системы совпадают

и равны 5. Следовательно, по теореме Кронекера-Капелли, система  совместна.

x1 = 173/38,  x2 = 509/171,  x3 = -1543/114,  x4 = 5674/171,  x5 = -259/18.

     Проверка (в  скобках - значения искомых неизвестных).

┌

│  3∙(173/38) + 7∙(509/171) + 5∙(-1543/114) + (5674/171) +   0∙(-259/18) = 0;

│  0∙(173/38) + 3∙(509/171) + 8∙(-1543/114) + 5∙(5674/171) + 4∙(-259/18) = 9;

│  0∙(173/38) + 6∙(509/171) + 2∙(-1543/114) + 3∙(5674/171) + 6∙(-259/18) = 4;

│ 10∙(173/38) + 0∙(509/171) + 4∙(-1543/114) + 4∙(5674/171) + 8∙(-259/18) = 9;

│  4∙(173/38) + 6∙(509/171) + 2∙(-1543/114) + 0∙(5674/171) + 0∙(-259/18) = 9.

└

 Ответ:

x1 = 4.55263,  x2 = 2.97661,  x3 = -13.5351,  x4 = 33.1813,  x5 = -14.3889.

 

Задание 2.

     Случайная выборка  целых чисел от 0  до 10.  11 значений

      x:   0   1   2   3  4   5   6   7   8   9  10

   f(x):   8   1   8   4  5   1   6   7   7   2  10

  Интерполяционный полином Ньютона  с разделенными разностями.

Этот полином в данном случае имеет вид:

 P(x) = a0 + a1∙x + a2∙x∙(x-1) + a3∙x∙(x-1)∙(x-2) +

      + a4∙x∙(x-1)∙(x-2)∙(x-3) + a5∙x∙(x-1)∙(x-2)∙(x-3)∙(x-4) +

      + a6∙x∙(x-1)∙(x-2)∙(x-3)∙(x-4)∙(x-5) +

      + a7∙x∙(x-1)∙(x-2)∙(x-3)∙(x-4)∙(x-5)∙(x-6) +

      + a8∙x∙(x-1)∙(x-2)∙(x-3)∙(x-4)∙(x-5)∙(x-6)∙(x-7) +

      + a9∙x∙(x-1)∙(x-2)∙(x-3)∙(x-4)∙(x-5)∙(x-6)∙(x-7)∙(x-8) +

      + a10∙x∙(x-1)∙(x-2)∙(x-3)∙(x-4)∙(x-5)∙(x-6)∙(x-7)∙(x-8)∙(x-9).

  Поэтапное вычисление коэффициентов:

Начальные значения

 a0 = 8, a1 = 1, a2 = 8, a3 = 4, a4 = 5, a5 = 1, a6 = 6, a7 = 7, a8 = 7,

a9 = 2, a10 = 10.

1-й этап

a1 = (1-8)/(1-0) = -7, a2 = (8-8)/(2-0) = 0,

a3 = (4-8)/(3-0) = -1.33333, a4 = (5-8)/(4-0) = -0.75,

a5 = (1-8)/(5-0) = -1.4, a6 = (6-8)/(6-0) = -0.333333,

a7 = (7-8)/(7-0) = -0.142857, a8 = (7-8)/(8-0) = -0.125,

a9 = (2-8)/(9-0) = -0.666667, a10 = (10-8)/(10-0) = 0.2.

 

2-й этап                                                             

a2 = (0+7)/(2-1) = 7, a3 = (-1.33333+7)/(3-1) = 2.83333,

a4 = (-0.75+7)/(4-1) = 2.08333, a5 = (-1.4+7)/(5-1) = 1.4,

a6 = (-0.333333+7)/(6-1) = 1.33333, a7 = (-0.142857+7)/(7-1) = 1.14286,

a8 = (-0.125+7)/(8-1) = 0.982143, a9 = (-0.666667+7)/(9-1) = 0.791667,

a10 = (0.2+7)/(10-1) = 0.8.

3-й этап

a3 = (2.83333-7)/(3-2) = -4.16667, a4 = (2.08333-7)/(4-2) = -2.45833,

a5 = (1.4-7)/(5-2) = -1.86667, a6 = (1.33333-7)/(6-2) = -1.41667,

a7 = (1.14286-7)/(7-2) = -1.17143, a8 = (0.982143-7)/(8-2) = -1.00298,

a9 = (0.791667-7)/(9-2) = -0.886905, a10 = (0.8-7)/(10-2) = -0.775.

4-й этап

a4 = (-2.45833+4.16667)/(4-3) = 1.70833,

a5 = (-1.86667+4.16667)/(5-3) = 1.15,

a6 = (-1.41667+4.16667)/(6-3) = 0.916667,

a7 = (-1.17143+4.16667)/(7-3) = 0.74881,

a8 = (-1.00298+4.16667)/(8-3) = 0.632738,

a9 = (-0.886905+4.16667)/(9-3) = 0.546627,

a10 = (-0.775+4.16667)/(10-3) = 0.484524.

5-й этап

a5 = (1.15-1.70833)/(5-4) = -0.558333,

a6 = (0.916667-1.70833)/(6-4) = -0.395833,

a7 = (0.74881-1.70833)/(7-4) = -0.319841,

a8 = (0.632738-1.70833)/(8-4) = -0.268899,

a9 = (0.546627-1.70833)/(9-4) = -0.232341,

a10 = (0.484524-1.70833)/(10-4) = -0.203968.

6-й этап

a6 = (-0.395833+0.558333)/(6-5) = 0.1625,

a7 = (-0.319841+0.558333)/(7-5) = 0.119246,

a8 = (-0.268899+0.558333)/(8-5) = 0.0964782,

a9 = (-0.232341+0.558333)/(9-5) = 0.081498,

a10 = (-0.203968+0.558333)/(10-5) = 0.070873.

7-й этап

a7 = (0.119246-0.1625)/(7-6) = -0.043254,

a8 = (0.0964782-0.1625)/(8-6) = -0.0330109,

a9 = (0.081498-0.1625)/(9-6) = -0.0270007,

a10 = (0.070873-0.1625)/(10-6) = -0.0229067.

8-й этап

a8 = (-0.0330109+0.043254)/(8-7) = 0.0102431,

a9 = (-0.0270007+0.043254)/(9-7) = 0.00812665,

a10 = (-0.0229067+0.043254)/(10-7) = 0.00678241.

9-й этап

a9 = (0.00812665-0.0102431)/(9-8) = -0.0021164,

a10 = (0.00678241-0.0102431)/(10-8) = -0.00173032.

10-й этап

a10 = (-0.00173032+0.0021164)/(10-9) = 0.000386078.

  Итак:

a0 = 8, a1 = -7, a2 = 7, a3 = -4.16667, a4 = 1.70833, a5 = -0.558333,

a6 = 0.1625, a7 = -0.043254, a8 = 0.0102431, a9 = -0.0021164,

a10 = 0.000386078.

  Проверка

    x:  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 .

P(x):  8  1  8  4  5  1  6  7  7  2  10

f(x):  8  1  8  4  5  1  6  7  7  2  10

  Заданные и вычисленные значения  совпадают.

 

    Задание 3.                                     

    5

    ┌  x

I = │ e ∙sin(10∙x)∙dx

    ┘

           -1

Сперва вычислим первообразную (по частям).

    ┌  x                   1  ┌   x                1  x

J = │ e ∙sin(10∙x)∙dx = - ──∙ │ e ∙dcos(10∙x) = - ──∙e ∙cos(10∙x) +

    ┘                     10  ┘                   10

 

 

      1  ┌  x                   1  x              1   ┌  x

   + ──∙ │ e ∙cos(10∙x)∙dx = - ──∙e  ∙cos(10∙x) + ───∙ │ e ∙dsin(10∙x) =

     10  ┘                     10                100  ┘

 

         1  x              1    x             1

    = - ──∙e ∙cos(10∙x) + ───∙e ∙sin(10∙x) - ───∙J.

        10                100                100

Отсюда

         1                               x

  J =   ───∙(-10∙cos(10∙x) + sin(10∙x))∙e   + C.

        101

Поэтому значение интеграла

         1                               x  │5

  I =   ───∙(-10∙cos(10∙x) + sin(10∙x))∙e   │   = -14.5977.

        101                                 │-1

   Метод прямоугольников.   │

   Отрезок [-1, 5],         │       Метод трапеций.

   шаг h = 0.024,           │   Отрезок [-1, 5], шаг h = 0.024,

    число интервалов 250.   │      число интервалов 250.

 Таблица значений  функции.  │   Таблица значений функции.

 ┌───┬─────────┬─────────┐   │   ┌───┬─────────┬─────────┬─────────┐

 │ № │    x    │    y    │   │   │ № │    x    │    y    │    y    │

 ├───┼─────────┼─────────┤   │   ├───┼─────────┼─────────┼─────────┤

 │   │         │         │  │   │  0│ -1      │ 0.20013│         │

 │  1│ -0.976  │  0.12396│  │   │  1│ -0.976  │         │  0.12396│

 │  2│ -0.952  │  0.0367 │  │   │  2│ -0.952  │         │  0.0367 │

 │  3│ -0.928  │  -0.05704│  │   │  3│ -0.928  │         │ -0.05704│

 │  4│ -0.904  │  -0.152  │ │   │ 4│ -0.904  │         │ -0.152  │

 │  5│ -0.88   │ -0.24261│  │   │  5│  -0.88   │         │ -0.24261│

 │  6│ -0.856  │  -0.3233 │  │   │  6│ -0.856  │         │ -0.3233 │

 │  7│ -0.832  │  -0.38877│  │   │  7│ -0.832  │         │ -0.38877│

 │  8│ -0.808  │ -0.43441│ │   │ 8│ -0.808  │         │ -0.43441│

 │  9│ -0.784  │  -0.45653│  │   │  9│ -0.784  │         │ -0.45653│

 │ 10│ -0.76   │ -0.45266│  │   │ 10│  -0.76   │         │ -0.45266│

 │ 11│ -0.736  │  -0.42176│  │   │ 11│ -0.736  │         │ -0.42176│

 │ 12│ -0.712  │  -0.36432│  │   │ 12│ -0.712  │         │ -0.36432│

 │ 13│ -0.688  │  -0.28246│  │   │ 13│ -0.688  │         │ -0.28246│

 │ 14│ -0.664  │  -0.17981│  │   │ 14│ -0.664  │         │ -0.17981│

 │ 15│ -0.64   │ -0.06146│  │   │ 15│  -0.64   │         │ -0.06146│

 │ 16│ -0.616  │  0.06636│  │   │ 16│ -0.616  │         │  0.06636│

 │ 17│ -0.592  │  0.19653│  │   │ 17│ -0.592  │         │  0.19653│

 │ 18│ -0.568  │  0.32145│  │   │ 18│ -0.568  │         │  0.32145│

 │ 19│ -0.544  │  0.43344│  │   │ 19│ -0.544  │         │ 0.43344│

 │ 20│ -0.52   │  0.52523│  │   │ 20│  -0.52   │         │  0.52523│

 │ 21│ -0.496  │  0.59039│  │   │ 21│ -0.496  │         │  0.59039│

 │ 22│ -0.472  │  0.62374│  │   │ 22│ -0.472  │         │  0.62374│

 │ 23│ -0.448  │ 0.62173│ │   │ 23│ -0.448  │         │ 0.62173│

 │ 24│ -0.424  │  0.58275│  │   │ 24│ -0.424  │         │  0.58275│

 │ 25│ -0.4    │  0.5073 │  │   │ 25│  -0.4    │         │  0.5073 │

 

 ┌───┬─────────┬─────────┐   │   ┌───┬─────────┬─────────┬─────────┐

 │ № │    x    │    y    │   │   │ № │    x    │    y    │    y    │  

 ├───┼─────────┼─────────┤   │   ├───┼─────────┼─────────┼─────────┤

 │ 26│ -0.376  │  0.39805│  │   │ 26│ -0.376  │         │  0.39805│

 │ 27│ -0.352  │  0.25982│  │   │ 27│ -0.352  │         │ 0.25982│

 │ 28│ -0.328  │  0.09939│  │   │ 28│ -0.328  │         │  0.09939│