Контрольная работа по "Высшей математике"

СОДЕРЖАНИЕ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Задания по теме «Расчеты с простыми процентами».

1.1. Ссуда в размере 100 000 руб. выдана 21 января под 8% годовых. Срок возврата ссуды – 5 октября. Определите размер погасительного платежа, применяя:

А) точные проценты с фактическим  числом дней ссуды;

Б) обыкновенные проценты с фактическим числом дней ссуды;

В) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.

Решение:

А) Найдем по таблице №1 фактическое число дней ссуды  – 257. Дней в году 365. Применяем формулу  для нахождения размера погасительного платежа.

S=P(l+ni),

где P – первоначальная величина кредита (сумма, взятая в кредит) = 100000;

S – наращенная величина кредита (сумма, подлежащая возврату);

n - срок кредита, измеряемый в годах = 257 дней;

i – годовая процентная ставка (в формуле выражается в сотых долях) = 8%.

S=100000*(1+(257/365)*0,08)=105632,88 руб.

Б) Фактическое число  дней ссуды – 257. Дней в году 360. Подставляя данные имеем:

S=100000*(1+ (257/360)*0, 08) =105711, 11 руб.

В) Число дней ссуды  – 254. Дней в году 360. Подставляя данные имеем:

S=100000*(1+ (254/360)*0, 08) =105644, 44 руб.

1.2. Контракт предусматривает следующий порядок начисления процентов: первый год – 6%, в каждом следующем полугодии ставка повышается на 0,5%.

Определите множитель  наращения за 2,5 года.

 

Решение:

Если в течение срока  кредита процентная ставка изменяется, то множитель наращивания равен:

где n – срок кредита, измеряемый в годах;

 i – годовая процентная ставка ( в формуле выражается в сотых долях).

В нашем случае n =6%, n =6%, n =6,5%, n =7%, n =7,5%.

k =1+0,5*0,06+0,5*0,06+0,5*0,065+0,5*0,07+0,5*0,075=1,165

1.3. Обязательство уплатить через 180 дней 300 000 руб. с процентами по ставке 6% годовых было учтено в банке за 120 дней до срока, учетная ставка 7,5%.

Определите:

А) полученную при учете  сумму;

Б) эквивалентную ставку процентов, дающую при учете тот  же результат (К=360).

Решение:

А) Используем формулу  для нахождения суммы выплаты:

,

где d количество дней кредита;

P – первоначальная величина кредита (сумма, взятая в кредит);

S – наращенная величина кредита (сумма, подлежащая возврату);

K – дней в году (в зависимости от метода);

i – годовая процентная ставка (в формуле выражается в сотых долях).

S=300000*(1+ (60/360)*0,075=303750 руб.

Б) Найдем прибыль банка за 180 дней:

S =300000*(1+ (180/360)*0,075=309000 руб.

Изменим формулу для  вычисления эквивалентной процентной ставки:

i= (((S /P)-1*k)/d

i= (((309000/300000)-1)*360)/60=18%

1.4. Решено консолидировать (объединить) три платежа со сроками 15 мая, 15 июня, 15 августа. Суммы платежей 10000, 20000 и 15000 руб. соответственно. Срок консолидированного платежа 1 августа. Ставка процентов – 8%.

Определите сумму консолидированного платежа. При начислении процентов используйте метод 365/360.

Решение:

Найдем по таблице  №1 сроки платежей на 1 августа. d =78; d =47; d =-14.

Используя формулу:

,

где d количество дней кредита;

P – первоначальная величина кредита (сумма, взятая в кредит);

S – наращенная величина кредита (сумма, подлежащая возврату);

K – дней в году (в зависимости от метода);

i – годовая процентная ставка (в формуле выражается в сотых долях).

S =10000*(1+ (78/360)*0, 08) =10173, 33 руб.

S =20000*(1+ (47/360)*0, 08) =20288, 88 руб.

S =15000*(1- (14/360)*0, 08) =14953, 33 руб.

Консолидированный платеж:

S =10173, 33+20288, 88+14953, 33=45415, 54 руб.

 

 

 

 

2. Задания по  теме «Расчеты со сложными  процентами».

2.1. Кредит в размере 300000 руб. выдан на срок 3 года 160 дней. Контрактом предусмотрена ставка сложных процентов, равная 6,5% годовых.

Определите сумму долга  на конец срока, используя:

А) точный метод начисления сложных процентов;

Б) смешанный метод  начисления сложных процентов. Сравните полученные результаты.

Решение:

а) Для вычисления суммы долга на конец срока, используем формулу точного метода начисления сложных процентов:

S=P (1+ )

где j - номинальная ставка процентов, задаваемая для срока, равного одному году;

т - количество начислений процентов в год =1

п - срок кредита, измеряемый в годах

S_T = 300000 * (1 + (0,065/ I)) ¹*^{3, 44} = 372566, 58 руб.

б) Для вычисления суммы долга на конец срока, используем формулу смешанного метода начисления сложных процентов:

S=P (1+

) (1+ D(mn))

где E(mn) - целая часть показателя степени в предыдущей формуле

D(тп) - дробная часть показателя степени в предыдущей формуле

S_c = 300000 * (1 + (0,065 / 1))^1*3 * ( 1 +( 0,065 / 1 * 0,44)) = 372749,09 руб.

Сумма долга вычисленного точным методомбольше.

S_T<S_C

 

2.2.Сравните условия вложения средств в банк в следующих случаях:

1) номинальная ставка 26 % при ежемесячном начислении процентов;

2) номинальная ставка 27 % при ежеквартальном начислении процентов;

3) номинальная ставка 28 % при начислении процентов каждые полгода;

Сравнение проведите двумя способами, используя: а) эффективную ставку процентов; 6) время удвоения вклада.

Решение:

а)Найдем эффективную ставку процентов по формуле:

i

= (1+ ) -1

т - количество начислений процентов в год: m₁ = 12, m₂ = 4, m₃ = 2.

1. i = ( 1 +(0,26 / 12)¹²- 1 = 0,2933
2. i = ( 1 + (0,27 / 12)⁴ - 1 = 0,2985
3. i _|= ( 1 + (0,28 / 12)² - 1 = 0,2996

б) Найдем время удвоения по формуле:

т ₂=

 

1. т₂ = In 2 / ( 12 ln( 1 +( 0,26/ 12))) = 2,6947
2. т₂ = In 2 / ( 4 ln( 1 + ( 0,27 / 4))) = 2,6529
3. т₂ = In 2 / ( 2 ln( 1 + ( 0,28 / 2))) =2,645

Вклад под 28% самый выгодный.

2.3.Кредит в сумме 100 000 руб. взят на 5 лет с ежегодным начислением процентов по ставке 5 %. Соглашение пересмотрено так, что через два года производится выплата 30 000 руб., а еще через четыре года выплачивается оставшаяся часть долга.

Определите сумму окончательного платежа.

Решение:

 

1. Найдем сумму выплаты через 2 года

 

S = 100000 * (1 +( 0,05 / 1) = 110250 руб.

Т.к. вкладчик погасил часть платежа, то сумма составит:

S = 110250 - 30000 = 80250 руб.

2) Найдем сумму выплаты через 4 года

S₀ = 80250 * (1 + (0,05 / I)¹ *⁴ = 97544,37 руб.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Задания по теме «Количественный анализ потоков

платежей»

3.2. Вычислите коэффициент аккумуляции за 5 лет для потока платежей пренумерандо, если взносы осуществляются ежеквартально, начисление процентов ежеквартальное по номинальной ставке 10 %.

Решение:

Коэффициент аккумуляции для потока платежей пренумерандо вычисляется по формуле:

 

;

 

где п - срок потока платежей в годах - 5 лет

р - количество выплат в течение года - 4

т - количество начислений процентов в течение года - 4

a q находится по формуле:

q=1+

,

j - номинальная ставка сложных процентов - 10%

q = 1 +0, 1 / 4= 1,025

k = 1,025^4/4 * (( 1,025^4*5)- 1)/(1,025^4/4- 1) = 26,18

3.3. Решите предыдущую задачу при условии, что взносы осуществляются ежемесячно, а начисление процентов - ежеквартально.

Решение:

Таким образом р - количество выплат в течение года - 12 т - количество начислений процентов в течение года - 4

q - 1,025

Применяем ту же формулу:

;

 

k_a = 1,025^4/12 * (( 1,025⁴ *⁵) - 1) / (1,025^4/12 - 1) = 86,52

3.4.Решите задачу 3.2 для потока платежей постнумерандо.

Решение:

Коэффициент аккумуляции для потока платежей постнумерандо вычисляется по формуле:

;

 

k =(1,025 -1)/(1,025 -1)=65,54

3.5. В банк вносятся ежегодно, в начале года, вклады. Величина первого вклада - 100 000 руб., каждый следующий вклад на 20 000 руб. больше предыдущего. Проценты начисляются ежегодно по ставке 10 %.

Определите аккумулированную сумму вклада за 5 лет.

Решение:

Для переменных годовых рент с постоянным абсолютным изменением выплат потока пренумерандо, аккумулированная сумма могут быть вычислена по формуле:

S

=uq ;

 

где q вычисляется по формуле

q=1+

,

 

где и - величина первой выплаты потока - 100000

d - величина, показывающая, на сколько каждая следующая выплата отличается от предыдущей - 20000

n - срок потока платежей в годах - 5 лет

j - номинальная ставка процентов, задаваемая для срока, один год - 10%

т - количество начислений процентов в течение года - 1

q - множитель наращения периода начисления процентов

q=1+0,1/1=1,1

 

S_a = ( 100000 * 1,1 * ( 1,1⁵ - 1 ) / ( 1,1 - 1)) +(20000 * 1,1 *((1,1⁵-1 ) / ( 1,1 – -1)²)-

 ( 5/(1,1 - 1))) = 914683 руб.

 

3.6. В задаче 3.2 определить текущую (первоначальную) стоимость вклада при постоянных выплатах, равных 100 000 руб.

Решенне:

Определим текущую стоимость вклада через стоимость постоянных потоков платежей:

;

где r - величина постоянных выплат, образующих поток;

п - срок потока платежей в годах;

р - количество выплат в течение года;

т - количество начислений процентов в течение года;

q=1+

;

j - номинальная ставка сложных процентов.

q= 1,025

 

Р_а = 100000 * 1,025^4/4 * ( 1,025^4*5 - 1 )/( 1,025 ^4*5 * ( 1,025 ^4/4 - 1 )) - 1598100

3.7. В банк вносятся ежегодно, в начале года, вклады. Величина первого вклада - 100 000 руб., каждый следующий вклад на 5 % больше предыдущего. Проценты начисляются ежегодно по ставке 10 %.

Определите аккумулированную сумму вклада за 5 лет.

Решение:

Для переменных годовых рент с постоянным абсолютным изменением выплат потока пренумерандо, аккумулированная сумма могут быть вычислена по формуле:

S

=uq ;

 

где q вычисляется по формуле

q=1+

,

 

где и - величина первой выплаты потока - 100000

d - величина, показывающая, на сколько каждая следующая выплата отличается от предыдущей - 5%

п - срок потока платежей в годах - 5 лет

j - номинальная ставка процентов, задаваемая для срока, один год - 10%

т - количество начислений процентов в течение года - 1

q - множитель наращения периода начисления процентов.

q = 1 +0,1 / 1 = 1,1

S_a - (100000 * 1,1 * ( 1,1⁵- 1 )/( 1,1 - 1)) + (5000 * 1,1 * (( 1,1⁵- 1 )/( 1,1 - 1)²) - ( 5 / (1,1 - 1))) = 732341,5 руб.

3.8. Через 5 лет необходимо начать инвестирование проекта, требующее ежегодных вложений по 1 млн руб. в начале каждого года в течение 5 лет. Определите величину ежегодных платежей для аккумуляции необходимых для осуществления инвестиций средств при условии, что вложения производятся ежегодно (в конце года). Считайте, что проценты начисляются ежегодно по ставке 7 %. Определите текущую (первоначальную) стоимость вклада.

Решение:

1) Найдем совместную стоимость потока платежей постнумерандо, на конец вложений, по формуле:

;

 

где г - величина постоянных выплат, образующих поток - 1 мил. руб.

п - срок потока платежей в годах - 5 лет

р - количество выплат в течение года - 1

т - количество начислений процентов в течение года - 1

q находится по формуле:

q=1+

;

j - номинальная ставка процентов, задаваемая для срока, один год - 7%

q = 1 +0,07/1= 1,07

Р_р= 1000000* 1,07 * ( 1,07⁵ - 1 )/( 1,07⁵ * ( 1,07^1/1 - 1 )) = 4387211 руб.

2) Для того что бы  определите текущую стоимость  вклада воспользуемся формулой:

S

=r

 

где г - величина постоянных выплат, образующих поток - необходимо найти?

п - срок потока платежей в годах;

р - количество выплат в течение года;

т - количество начислений процентов в течение года;

j - номинальная ставка сложных процентов.

S /r = (( 1 +0,07/ 1)⁵- 1)/(( 1 +(0,07/1)¹- 1 ) = 5,75

r = 4387211 / 5,75 =762895,16 руб.

 

3.9. Решите предыдущую задачу при условии, что аккумуляция средств осуществляется в течение трех лет платежами пренумерандо. Определите текущую (первоначальную) стоимость вклада.

Решение:

Т. к. совместную стоимость  потока платежей равна 4387211 руб., a q = 1,07. Применим формулу для аккумуляции средств пренумератдо: