Контрольная работа по "Вычислительная математика"

 

Пользуясь тем, что в точке x₀ известно значение решения y(x₀)=y₀, и значение его производной  (согласно (3.1)), можно записать уравнение касательной к графику искомой функции у=у(х) в точке (х₀;у₀):

                          (3.3)

При достаточно малом  шаге h ордината , полученная подстановкой в правую часть (3.3) значения , по непрерывности  должна мало отличаться от ординаты y(x₁) решения y(x) задачи (3.1). Следовательно, точка (x₁,y₁) пересечения касательной (3.3) с прямой х=х₁ может быть приближенно принята за новую начальную точку. Через эту точку снова проведем прямую которая уже приближенно отражает поведение касательной к у=у(х) в точке (х₁;у(х₁)). Подставляя сюда х = х_2, х₂= х₁+h, иначе, пересекая эту «касательную» прямой х=х₂, получим приближение значения у(х₂) значением , и т.д. В итоге этого процесса, определяемого формулой

,

и называемого методом Эйлера, получим график решения у=у(х) данной задачи Коши (3.1)-(3.2) в виде приближенной ломанной, составленной из отрезков приближенных касательных (Рис. 3.1) откуда происходит другое название – метод ломаных.

Рис.3.1. Геометрическая интерпретация метода Эйлера.

Анализ метода Эйлера показывает, что локальная ошибка дискретизации на одном щаге равна O(h). Это обычно выражают утверждением, что метод Эйлера имеет первый порядок. Практическим следствием этого факта является ожидание того, что при уменьшении h приближённое решение будет всё более точным и при стремлении h к нулю будет сходиться к точному решению с линейной скоростью по h; т.е. мы ожидаем, что при уменьшении шага h вдвое ошибка уменьшится примерно в два раза.

Очень медленная сходимость при уменьшении h характерна для методов первого порядка и служит препятствием для их использования.

Методы  типа Рунге-Кутта

Как пример одного из подходов к построению методов, погрешность  которых при стремлении h к нулю убывает с более высокой скоростью, мы рассмотрим Метод Хьюна, определяемый формулой

Обратите внимание, что  мы просто заменили f(x_k ,y_k ) в методе Эйлера на среднее значение функции f, вычисленных в двух различных точках. Метод Хьюна известен также как модифицированный  метод Эйлера или метод Рунге-Кутта второго порядка и, имеет локальную ошибку дискретизации O(h²).

Наиболее используемым из методов Рунге-Кутта является классический метод четвёртого порядка, называемый «методом одной шестой», и задаваемый формулой

,

 где

Здесь f(x_k ,y_k ), использованное в методе Эйлера, заменено на среднее взвешенное значение f, вычисленных в четырёх различных точках.

Метод Рунге-Кутта четвёртого порядка является одношаговым, также  как и метод Эйлера, который  иногда называют методом Рунге-Кутта  первого порядка. Все такие методы могут быть представлены в общем виде как

с соответствующей функцией g. В случае метода Эйлера функцией g является функцией f, в то время как для метода Хьюна

.

Соответствующая функция для метода Рунге-Кутта четвёртого порядка может быть записана в аналогичном виде.

 

Задача 3.1 

Решить задачу Коши для дифференциального уравнения

 

, где

на отрезке  при заданном начальном условии

и шаге интегрирования h=0.1:

• методом Эйлера;
• методом Рунге-Кутта 4-го порядка точности;
• при помощи встроенных средств пакета MathCAD.

Сначала решим данное дифференциальное уравнение средствами пакета MathCAD с помощью встроенной функции Odesolve:

	Записываем правую часть дифференциального уравнения.
	Записываем  начальное условие .
	Задаем конец отрезка интегрирования.
	Решение y(x) уравнения относительно переменной x.
		Результат решения уравнения  в виде графика

Теперь реализуем методы Эйлера и Рунге-Кутта 4-го порядка точности для решения уравнений и сравним полученные результаты:

Реализация метода Эйлера.   Результат вычислений хранится в виде массива y.

Функция для решения  дифференциального уравнения имеет следующие  входные параметры:

_{F – функция двух переменных F(x,y);}

_{a – начальная точка интегрирования;}

_{b   – конечная точка интегрирования;}

_{y0 – начальное условие (значение функции y(a));}

_{h   – шаг интегрирования.}

 

Вызываем  метод Эйлера с  параметрами, заданными в условии задачи.

Аналогичным образом реализуем и вызываем метод Рунге-Кутта 4-го порядка точности.

Результат вычислений хранится в виде массива y.

_{Вызываем  метод Рунге-Кутта  с параметрами заданными в условии задачи:}

_.

Теперь в массиве y1 хранятся результаты вычислений в расчетных точках, полученные методом Эйлера, в массиве y2 результаты, полученные при помощи метода Рунге-Кутта 4-го порядка точности.

В массиве y3 для сравнения представлены значения, полученные при помощи встроенных средств пакета MathCAD (процедура rkfixed, с порядком следования ее параметров разберитесь самостоятельно):

 

Литература

 

1. Б.П. Демидович, И.А. Марон Основы вычислительной математики. – М.: Наука, 1966. с. 276-278.
2. Макаров Е.Г. Инженерные расчеты в MathCAD . - СПб.: Питер, 2005-448 с.
3. С.В. Поршнев, И.В. Беленкова Численные методы на базе MathCAD. СПб.: БХВ-Петербург, 2005-456с.
4. Математика для экономистов на базе MathCAD/Черняк А.А. и др. –СПб.: БХВ-Петербург, 2003-496 с.
5. Решение инженерных задач на ЭВМ/:Практическое руководство /Шуп Терри Е. - М.: Мир, 1982-235 с.

 

Схема выбора варианта.

 

Вариант выбирается по номеру зачетной книжки, стоящему после знака /. Например, владелец зачетной книжки 417527/14 должен решать задачи с номером 14.

Прежде чем приступить к решению задач, Вам следует  ознакомиться с теорией и примерами  решения подобных задач, приведенными в различных учебниках.

Контрольная работа включает три задания.

Варианты задач  к заданию №1

Отделить корни уравнения

графически и уточнить один из них:

• методом половинного деления;
• методом хорд;
• методом касательных;
• методом секущих;
• методом простой итерации;

с точностью ε=0,001.

Создать функции, реализующие  указанные методы, построить графическую  иллюстрацию методов, результаты проверить с помощью встроенных функций, оценить точность полученных значений.

 

Замечание.

 Для обеспечения сходимости в методе простой итерации функцию       следует искать из соотношения

,

считая, что , где .

Число k в промежутке [a,b] имеет тот же знак, что и . 

 

Варианты задач  к заданию №2

Решить систему уравнений  с тремя неизвестными методом  Гаусса – Жордана, составить функции, реализующие этот метод, проверить решение с помощью встроенных функций пакета MathCAD.

 

 

Варианты задач  к заданию №3

Решить задачу Коши для  дифференциального уравнения  на отрезке [a,b] при начальном заданном условии и шаге интегрирования h:

1. методом Эйлера;
2. методом Рунге – Кутта 4 – го порядка точности.
3. проверить решение с помощью встроенных функций пакета MathCAD rkfifid (Rkadapt).

В решении оставлять 5 цифр после  запятой.