Контрольная работа по "Теории вероятности и математической статистике"

1. Четыре инспектора  проверяли 12 фирм, которые между  ними распределялись  случайным образом каждому по 2. Найти вероятность того, что инспектору Петрову в следующий раз попадется одна из 5х фирм, которые он уже проверял ранее.

Решение:

Воспользуемся формулой классической вероятности  , где n – общее количество равновозможных исходов, m – количество исходов, благоприятствующих событию, данному в условии.

Искомая вероятность:

Ответ:

 

2. В интервале [ -1, 5 ] на удачу  взяты два числа. Какова вероятность  того, что их сумма больше 1.5, а  разность меньше 1.

Решение

Рассмотрим систему координат ху: х – первое число; у – второе число.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По условию - этим условиям соответствует множество точек, расположенных внутри фигуры ABCDE.

Искомая вероятность:

Ответ.

 

3. При включении зажигания двигатель  заводится с вероятностью 0.7. Найти вероятность, что: а) двигатель заведется в третьей или четвертой попытке; б) для включения двигателя потребуется не более трех попыток.

Решение

По условию

А) Вероятность того, что двигатель заведется в третей попытке означает, что он не заведется в первой, не заведется во второй и заведется в третей.

 Аналогично

Искомая вероятность

Б) Вероятность того, что двигатель заведется и потребует не более трех попыток равносильна вероятности того, что он заведется в первой попытке ; или во второй попытке , или в третей попытке . Искомая вероятность P = 0.973

Ответ:  А)0,0819  Б)0,973

 

4. В соревнованиях по прыжкам  в высоту участвуют 6 мастеров  спорта; 10 - І разряда, 4 – ІІ разряда. Вероятность того, что мастер  спорта преодолеет высоту в  каждой попытке – 0.9; для І разряда  – 0.7, для ІІ разряда – 0.5. Каждому  дается 3 попытки. Найти вероятность того, что любой из спортсменов преодолеет высоту.

Решение

Требуется найти вероятность события А – выбранный случайным образом спортсмен преодолеет высоту (с трех попыток).

Выдвинем гипотезы:

В1 – выбран мастер спорта; р(В1)=6/(6+10+4)=0,3

В2 – вызван спортсмен 1-го разряда; р(В2)=10/20=0,5

В3 – вызван спортсмен 2-го разряда; р(В3)= 0,2

Вероятность того, что мастер спорта преодолеет высоту с трех попыток:

РВ1(А)=0,9+0,1∙0,9 +0,12∙0,9=0,999

Вероятность того, что спортсмен 1-го разряда преодолеет высоту с трех попыток:

РВ2 (А) = 0,7 +0,3∙0,7+0,32∙0,7=0,973

Вероятность того, что спортсмен 2-го разряда преодолеет высоту с трех попыток:

РВ3 (А) = 0,5 +0,5∙0,5+0,52∙0,5=0,875

По формуле полной вероятности искомая вероятность:

Р(А) = р(В1)∙РВ1 (А) + р(В2)∙РВ2 (А) + р(В3)∙РВ3 (А) =

=0,3∙0,999+0,5∙0,973+0,2∙0,875=0,9612

Ответ. Р(А) =0,9612

 

5. Найти вероятность отказа системы  элементов, вероятность работы каждого р=0,8.

 

Решение

Вероятность работы (1-2-3): Р(1-2-3) = р3

(4-5):  Р(4-5) = р2

(6-7): Р(6-7) = р2

Вероятность того, что работает система , равна вероятности того, что работает хотя бы одна из веток (4-5) или (6-7): . Тогда вероятность того, что работает вся система равна: p = 1-(1-p2)2 ∙(1-p3). Значит искомая вероятность:

 

Q = 1 – p = 1-(1-p2)2 ∙(1-p3) = (1-0,64)2∙(1-0,512) = 0,063

Ответ. р = 0,063

 

6. Три человека обрабатывают результаты эксперимента. Вероятность допустить ошибку для первого составляет 0.2, для второго - 0.3, для третьего - 0.15. Построить закон распределения, функцию распределения, найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х - число ошибок при обработке эксперимента.

Решение

Случайная величина Х может принимать следующие значения:

Х1 = 0 – нет ошибок;

Х2 = 1– одна ошибка;

Х3 = 2– две ошибки;

Х4 = 3– три ошибки.

По условию: р1 = 0,2; р2 = 0,3; р3 = 0,15; а следовательно, q1=1-p1=0.8; q2=1-p2=0.7; q3=1-p3=0.85.

Для составления закона распределения найдем соответствующие вероятности для каждого значения хi:

Х1 = 0 – q1q2q3 = 0.8∙0.7∙0.85 = 0.476;

Х2 = 1 – q1q2p3 + q1p2q3 +  p1q2q3= 0.407;

Х3 = 2 – q1p2p3 + p1q2p3 + p1p2q3= 0.108;

Х4 = 3 – p1p2p3 = 0.009;

Записываем закон распределения:

х	0	1	2	3
р	0,476	0,407	0,108	0,009

 

Функция распределения:

Математическое ожидание:

Дисперсия:

Ответ. 0,498

 

7. Построить закон распределения и найти математическое ожидание, дисперсию для случайной величины Х - число попыток для сдачи зачета, если предоставлено всего 3 попытки и вероятность сдачи зачета  в одной попытке составляет 0,6.

Решение

Дискретная величина х – число попыток для сдачи зачета имеет следующие возможные значения:

х1 = 0 – зачет не сдан; х2 = 1 – зачет сдан с первой попытки; х3 = 2 – зачет сдан со второй попытки; х4 = 3 – зачет сдан с третей попытки.

р=0,6;  q=1-p = 0,4.

Закон распределения имеет вид:

х	0	1	2	3
р	0,064	0,6	0,4∙0,6=0,24	0,42∙0,6=0,096

 

Математическое ожидание:

Дисперсия:

 

8. Случайная величина Х распределена по равномерному закону в интервале [-2;4]. Найти вероятность того, что при проведении 390 измерений, хотя бы в 130 значениях Х отклоняется от Мх на величину не более 1.

Решение

Так как случайная величина х распределена по равномерному закону, то . В данном случае

Математическое ожидание

По условию |x-14|<1 => 0<x<2

По формуле:

Искомую вероятность найдем, используя интегральную теорему Лапласа

P(k1;k2) = Ф(x’’)- Ф(x’)

Ф(х) – функция Лапласа, k1 = 130; k2 = n = 390; p=0,33; q=1-p = 0,67

P(130;390) = Ф(27,94) – Ф(0,14) = 0,5

9. Для системы, заданной законом распределения, построить безусловные законы распределения составляющих системы и распереление у при х = 3; найти Мх, Му, Dx, Dy, rxy.

Хі \ Yj	5	8	10
-1	0.18	0.05	0.1
2	0.12	0.1	0.07
3	0.05	0.08	0.1
6	0.0	0.03	0.12

Решение

Найдем безусловные законы распределения:

х	-1	2	3	6
р	0,33	0,29	0,23	0,15

 

у	5	8	10
р	0,35	0,26	0,39

 

Найдем распределение у при х=3. Условные вероятности возможных значений у при условии, что составляющая х приняла значение равное 3:

Р(у1/х3) = Р(у1,х3) / Р(х3) = 0,05/0,23 = 0,217

Р(у2/х3) = Р(у2,х3) / Р(х3) = 0,08/0,23 = 0,348

Р(у3/х3) = Р(у3,х3) / Р(х3) = 0,1/0,23 = 0,435

Искомый закон распределения:

у	5	8	10
р(у/х3)	0,217	0,348	0,435

 

Мх = Sхі рі = -1∙0,33+2∙0,29+3∙0,23+6∙0,15=1,84

Му = Sуі рі = 5∙0,35+8∙0,26+10∙0,39 = 7,73

Dx = Sх2і рі – M2x = 1∙0,33+4∙0,29+9∙0,23+36∙0,15 – 1,842 = 5,57

Dу = Sу2і рі – M2у = 25∙0,35+64∙0,26+100∙0,39 – 7,732 = 4,64

sх = ÖDx = 2,36  sу = ÖDу = 2,15

Коэффициент корреляции rxy = kxy / sхsу

kxy = SS(xi – Mx)(yi – My) pij » 1,99

rxy = 1,99 / (2,36∙2,15) = 0,39

 

10. В путевках машин автобазы указан средний расход топлива: 14.5, 20.6, 22.5, 24.5, 25.6, 34.5, 33.2, 24.7, 27.8, 26.9, 30.1, 33.2, 25.1, 19.5, 23.4, 32.5, 29.3, 26.1, 28,6, 14.6, 16.4, 24.7, 28.4, 31.8, 35.0, 24.7, 22.1, 26.9, 28.5, 15.8, 20.1, 17.8, 31.3, 29.5, 25.7, 29.3, 28.5, 19.7, 27.4, 29.3, 19.9, 24.5, 26.8, 25.9, 28,9, 23.4, 24.1, 19.3, 24,9, 22.0, 23.1, 34.0, 27.4, 28.4, 22.8, 30.7, 21.6, 25.9, 18.9, 29.5, 31.2, 24.7, 29.6, 30.3, 24.5, 29.1, 24.9, 18.5, 17.6, 16.9, 19.6, 20.5, 21.8, 24.6, 19.8, 20.6, 22.1, 30.3, 32.6, 31.7, 29.5, 26.9. Представить результаты наблюдения в виде статистического ряда (интервального вариационного ряда) с числом подинтервалов равным 8, найти выборочные среднее, моду, медиану и дисперсию. Построить гистограмму. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания и среднего квадратичного отклонения наблюдаемой случайной величины с надежностью 0.95.

Решение

Мода М0=24,7. Медиана Ме= .

Разобьем интервал [14,5;35] на 8 подинтервалов одинаковой длины

.

Составляем статистический ряд:

Инт.	[14,5;17,06)	[17,06;19,63)	[19,63;22,19)	[22,19;24,75)	[24,75;27,31)	[27,31;29,88)	[29,88;32,44)	[32,44;35)
ni	5	7	12	14	12	17	8	7

Объем выборки n=Sni = 82

Найдем относительные частоты: wi=ni/n

w1 = 5/82; w2 = 7/82; w3 = 6/41; w4 = 7/41; w5 = 6/41; w6 = 17/82; w7 = 4/41; w8 = 7/82.

Высоты прямоугольников гистограммы: Hi = wi / hi

H1 = 0.024; H2 = 0.033; H3 = 0.057; H4 = 0.067; H5 = 0.057; H6 = 0.081; H7 = 0.038; H8 = 0.033.

Строим гистограмму относительных частот:

Hi
0.08
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0		14.5	17.06	19.63	22.19	24.75	27.31	29.88	32.44	35			xi