Контрольная работа по "Методам оптимальных решений"

Министерство образования  и науки Российской Федерации

 

Псковский филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения

высшего профессионального  образования

«Санкт-Петербургский  государственный экономический  университет»

 

Кафедра финансов и бухгалтерского учета

 

                    Контрольная работа по дисциплине

МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНЫХ  РЕШЕНИЙ

                                                

                                              вариант № 9

 

 

 

 

Выполнил: Тимофеева Татьяна Алексеевна

 студент 3 курса  (срок обучения 3 года)

специальность 080100 «Бухгалтерский учет, анализ и аудит»

                                        

группа 1113 –П                                 № зачетной книжки ПС - 3235/11

Подпись: ____________________

 

 

 

Преподаватель:  

                                                                 (Фамилия И.О.)

Должность:  

                                                        уч. степень, уч. звание

Оценка: _____________Дата:  

Подпись: _________________________________

 

 

 

 ПСКОВ

2013

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача № 1.

Решить задачу графически и симплекс-методом.

Решение:

Необходимо найти максимальное значение целевой функции F = 10x₁-4x₂ → max, при системе ограничений:

4x1-3x2≤12	(1)
x1+3x2≥8	(2)
x1-3x2≥-8	(3)
x1≥0	(4)
x2≥0	(5)

Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему  неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости  обозначены штрихом).

Границы области допустимых решений

Пересечением полуплоскостей будет  являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи. 
Обозначим границы области многоугольника решений.

Рассмотрим целевую функцию  задачи F = 10x₁-4x₂ → max.  
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = 10x₁-4x₂ = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации F(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (10; -4). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Область допустимых решений  представляет собой многоугольник

Прямая F(x) = const пересекает область в точке E. Так как точка E получена в результате пересечения прямых (1) и (3), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых: 
4x₁-3x₂≤12 
x₁-3x₂≥-8 
 
Решив систему уравнений, получим: x₁ = 6.6667, x₂ = 4.8889 
Откуда найдем максимальное значение целевой функции: 
F(X) = 10*6.6667 - 4*4.8889 = 47.1111

Решим прямую задачу линейного  программирования   симплексным  методом, с использованием симплексной таблицы.

Поскольку в правой части  присутствуют отрицательные значения, умножим соответствующие строки на (-1).

Определим максимальное значение целевой функции F(X) = 10x₁ - 4x₂ при следующих условиях-ограничений.

4x₁ - 3x₂≤12

x₁ + 3x₂≥8

- x₁ + 3x₂≤8

Для построения первого опорного плана  систему неравенств приведем к системе  уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).

В 1-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x₃. В 2-м неравенстве смысла (≥) вводим базисную переменную x₄ со знаком минус. В 3-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x₅.

4x₁-3x₂ + 1x₃ + 0x₄ + 0x₅ = 12

1x₁ + 3x₂ + 0x₃-1x₄ + 0x₅ = 8

-1x₁ + 3x₂ + 0x₃ + 0x₄ + 1x₅ = 8

Введем искусственные переменные x: в 2-м равенстве вводим переменную x₆;

4x₁-3x₂ + 1x₃ + 0x₄ + 0x₅ + 0x₆ = 12

1x₁ + 3x₂ + 0x₃-1x₄ + 0x₅ + 1x₆ = 8

-1x₁ + 3x₂ + 0x₃ + 0x₄ + 1x₅ + 0x₆ = 8

Для постановки задачи на максимум целевую  функцию запишем так:

F(X) = 10x₁-4x₂ - Mx₆ → max

За использование искусственных  переменных, вводимых в целевую функцию, накладывается так называемый штраф величиной М, очень большое положительное число, которое обычно не задается.

Полученный базис называется искусственным, а метод решения называется методом  искусственного базиса.

Причем искусственные переменные не имеют отношения к содержанию поставленной задачи, однако они позволяют построить стартовую точку, а процесс оптимизации вынуждает эти переменные принимать нулевые значения и обеспечить допустимость оптимального решения.

Из уравнений выражаем искусственные переменные:

x₆ = 8-x₁-3x₂+x₄

которые подставим в целевую  функцию:

F(X) = 10x₁-4x₂ - M(8-x₁-3x₂+x₄) → max

или

F(X) = (10+M)x₁+(-4+3M)x₂+(-M)x₄+(-8M) → max

Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы  уравнений имеет вид:

 

Базисные переменные это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений  и притом с единичным коэффициентом.

Экономический смысл  дополнительных переменных: дополнительные перемены задачи ЛП обозначают излишки сырья, времени, других ресурсов, остающихся в производстве данного оптимального плана.

Решим систему уравнений  относительно базисных переменных:

x₃, x₆, x₅,

Полагая, что свободные  переменные равны 0, получим первый опорный план:

X1 = (0,0,12,0,8,8)

Базисное решение называется допустимым, если оно неотрицательно.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x3	12	4	-3	1	0	0	0
x6	8	1	3	0	-1	0	1
x5	8	-1	3	0	0	1	0
F(X0)	-8M	-10-M	4-3M	0	M	0	0

 

Переходим к основному  алгоритму симплекс-метода.

1. Проверка критерия  оптимальности.

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной  строке находятся отрицательные  коэффициенты.

2. Определение новой  базисной переменной.

В качестве ведущего выберем  столбец, соответствующий переменной x₂, так как это наибольший коэффициент по модулю.

3. Определение новой  свободной переменной.

Вычислим значения D_i по строкам как частное от деления: b_i / a_i2

и из них выберем наименьшее:

min (- , 8 : 3 , 8 : 3 ) = 2²/₃

Следовательно, 2-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент  равен (3) и находится на пересечении  ведущего столбца и ведущей строки.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	min
x3	12	4	-3	1	0	0	0	-
x6	8	1	3	0	-1	0	1	22/3
x5	8	-1	3	0	0	1	0	22/3
F(X1)	-8M	-10-M	4-3M	0	M	0	0	0

 

Поскольку в последнем  столбце присутствует несколько минимальных элементов 2²/₃, то номер строки выбираем по правилу Креко.

Метод Креко заключается  в следующем. Элементы строк, имеющие  одинаковые наименьшие значения min=2²/₃, делятся на предполагаемые разрешающие элементы, а результаты заносятся в дополнительные строки. За ведущую строку выбирается та, в которой раньше встретится наименьшее частное при чтении таблицы слева направо по столбцам.

4. Пересчет симплекс-таблицы.

Формируем следующую  часть симплексной таблицы.

Вместо переменной x₆ в план 1 войдет переменная x₂.

Строка, соответствующая  переменной x₂ в плане 1, получена в результате деления всех элементов строки x₆ плана 0 на разрешающий элемент РЭ=3

На месте разрешающего элемента в плане 1 получаем 1.

В остальных клетках  столбца x₂ плана 1 записываем нули.

Таким образом, в новом  плане 1 заполнены строка x₂ и столбец x₂.

Все остальные элементы нового плана 1, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.

Получаем новую симплекс-таблицу:

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x3	20	5	0	1	-1	0	1
x2	22/3	1/3	1	0	-1/3	0	1/3
x5	0	-2	0	0	1	1	-1
F(X1)	-102/3	-111/3	0	0	11/3	0	-11/3+M

 

1. Проверка критерия  оптимальности.

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной  строке находятся отрицательные  коэффициенты.

2. Определение новой  базисной переменной.

В качестве ведущего выберем  столбец, соответствующий переменной x₁, так как это наибольший коэффициент по модулю.

3. Определение новой  свободной переменной.

Вычислим значения D_i по строкам как частное от деления: b_i / a_i1

и из них выберем наименьшее:

min (20 : 5 , 2²/₃ : ¹/₃ , - ) = 4

Следовательно, 1-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент  равен (5) и находится на пересечении  ведущего столбца и ведущей строки.