Контрольная работа по "Математике"

Медианы пересекаются в  одной точке (центроид, центр тяжести) и делятся этой точкой в отношении 2:1 считая от вершины. Медиана разбивает треугольник на два равных по площади треугольника. Медианы разбивают треугольник на шесть равных по площади треугольников. Площади треугольников АМВ, ВСМ и САМ – равны. Если точка М лежит внутри треугольника и обладает свойством 4, то это точка пересечения медиан. Треугольник с построенными высотами.

Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной  точке (точка пересечения высот, ортоцентр). Если треугольник остроугольный  – Н лежит внутри него, если тупоугольный – вне треугольника, если прямоугольный – совпадает с вершиной прямого угла. Треугольник АВС и АНВНС – подобны: Четырехугольник ВСНВНС вписывается в окружность: ÐВСНВ+ÐНВНСВ=180°. Четырехугольник АНСННВ вписывается в окружность: ÐА+ÐНСННВ=180°. Середины сторон треугольника, основания его высот и середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами лежат на одной окружности (окружность девяти точек). Треугольник с построенными биссектрисами.

Основное свойство биссектрис:  (то же верно и для биссектрисы внешнего угла треугольника). Биссектрисы пересекаются в одной точке L – центре вписанной окружности. Расстояние от точки L до любой стороны треугольника равно r – радиусу вписанной окружности. Замечание! Точки LA, LB и LC в общем случае не являются! точками касания сторон треугольника и вписанной окружности.

Треугольник с построенными серединными перпендикулярами. Серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке О – центре описанной окружности. Точка О равноудалена от вершин: ОА=ОВ=ОС=R – радиус описанной окружности.

(см. рис. 5) . Теорема синусов: .

Точка О лежит:

*внутри остроугольного треугольника; *на середине гипотенузы прямоугольного треугольника; *вне тупоугольного треугольника. Связь между серединными перпендикулярами и высотами: высоты треугольника НАНВНС (см. рис.2) лежат на серединных перпендикулярах треугольника АВС. Треугольник с построенными средними линиями.

средняя линия – отрезок, соединяющий середины 2-х сторон треугольника. Средняя линия МАМВ параллельна стороне АВ и равна  половине ее длины. Средние линии образуют треугольник, подобный данному. Коэффициент подобия – 1/2, площади относятся как 1:4. Углы, вписанные в окружность.

Угол, вершина которого лежит на данной окружности, а стороны  ее пересекают, называется вписанным. Градусная мера дуги ВС окружности есть градусная мера центрального угла ВОС, опирающегося на эту дугу. Угол ВАС равен половине угла ВОС (мера вписанного угла равна половине меры дуги, на которую этот угол опирается). Сумма противоположных углов вписанного 4-х угольника равна 180º. Вписанные углы, опирающиеся на равные дуги равных окружностей (или одной окружности) – равны. Отрезок АВ виден из точки М под углом γ, если ÐАМВ=γ. Если одна из сторон выпуклого многоугольника видна из всех оставшихся вершин под одним и тем же углом, то вокруг этого многоугольника можно описать окружность (обратное также верно).

Угол, вершина которого лежит вне окружности, а стороны  пересекают эту окружность. ÐСМD=1/2×(ÐСОD-ÐAOB) – угол равен полуразности мер дуг, которые он вырезает из окружности. Треугольники АМВ и СМD – подобны: ; ÐМАВ=ÐМDС, ÐМВА=ÐМСD. Свойство отрезков секущих: МА·МС=МВ·МD=МТ2=МО2-R2 (MT – отрезок касательной, МО – расстояние от М до центра О, R – радиус окружности).

Угол, вершина которого лежит внутри окружности.

 – угол равен полусумме мер дуг, которые он вырезает из окружности. Треугольники МВС и МАD подобны: ÐМВС=ÐМАD; ÐМСВ=ÐМDА (т.к. опираются на равные дуги). МА:МВ=МС:МD=ВС:АD. Свойство отрезков секущих: МА·МС=МВ·МD= =R2-МО2. Выпуклый многоугольник, описанный вокруг окружности.