Контрольная работа по "Математике"

Задача № 4.1.

Дано.

Найти координаты, модуль и направляющие косинусы вектора АВ.

А (1; 1; 1)

В (1; 2; 2).

Решение.

Векторы – это направляющие отрезки  А и В.

А (Ха; Уа; Za)

B (Xв; Ув; Zв).

Вектор АВ = (Хв – Ха; Ув – Уа; Zв – Za).

Вектор АВ = (1 – 1; 2 – 1; 2 – 1).

Вектор АВ = (0; 1; 1).

Для вектора АВ X=0;    У=1;   Z=1.

Длина вектора:

а=(Х; У; Z)

a=√X² У² Z²

cos α = X/√ X² У² Z²

cos β = Y/√ X² У² Z²

cos γ = Z/√ X² У² Z²

Вектор АВ (0х; 1у; 1z).

Вектор IАВI = √ 0 ² + 1² +1 ² = √2 =1

Направляющие косинусы:

cos α = 0/√ 2

cos α = 0/√ 2 =0 = 90 градусов.

cos β = 1/√ 2 = 45 градусов.

cos γ = 1/√ 2 = 45 градусов.

Это направляющие косинусы.

 

Задача № 4.2.

Дано.

Вычислить скалярное и векторное  произведения векторов

Вектор С1 = 2а – в

Вектор отрезка а = (1; -1; 0)

Вектор отрезка в = (-2; 1; 0)

Решение.

Скалярным произведением векторов называется число, равное произведению длины этих сторон на косинус угла между ними.

Векторы отрезков а*в = IaI* IвI* cos φ (векторная  форма).

Векторы отрезков а*в = IaI* IвI* cos α (векторная форма).

Вектор отрезка а (Ха; Уа; Za).

Вектор отрезка в (Хв; Ув; Zв).

Cos 90 градусов = 0.

а*в = (Ха*Хв + Уа*Ув + Za*Zв) – число координатной формы.

Вектор а ┴ вектор в = > а*в = 0.

Угол между векторами

Cos α = (a*в)/ (IaI*IвI)

Cos α = (Ха*Хв + Уа*Ув + Za*Zв)/ √ (X² a + У² a + Z² a) * √ (X² в + У² в + Z² в).

С1 = 2а - в

С1*С2

С2 = а + в

Вектор отрезка а = (1; -1; 0)

Вектор отрезка в = (-2; 1; 0)

2а = (2; -2; 0)

С1 = 2а – в = (0; -1; 0).

С2 = (0; -1; 0)

С1 = (0; -1; 0).

С2 = (0; -1; 0)

С1*С2 = (0 + 0 + 0) = 0

С2 = (-1; 0; 0)

С1*С2 = 0

Ic1I = √ (0 + 1 + 0) = 0,999

Ic2I = √(0 + 1 + 0) = 1,0

Cos α = (C1*C2)/(IC1I* IC2I)

Cos α = (C1*C2)/(IC1I* IC2I)

Cos α = 0

Векторные произведения векторов –  векторы компанарны, если они лежат  в одной плоскости.

ОА = 3i +2j – вектор ОА разложен по векторам I и j.

Вектор ОА = (3; 2).

Вектор АВ = (4i – 2j + 5k).

Вектор АВ = (4; -2; 5).

Векторным произведением  векторов а и в является вектор с, который удовлетворяет следующим  условиям:

1.IcI = а*IвI*sin α,

Где α – угол между векторами а и в, sin α ≥ 0; 0 ≤ π.

2.Вектор с ортогонален (перпендикулярен) векторам а и в.

3.Векторы а, в и  с образуют правую тройку векторов.

Вектор с =вектор а*вектор в или с=Ia, вI.

Свойства векторного произведения векторов:

1.в*а = -а*в

Правило нахождения векторного произведения векторов:

Вектор а = (Ха; Уа; Za)

Вектор  = (Хв; Ув; Zв)

Вектор с = [a, в] = Xa Ya Za

Xв Ув Zв

Вектор С1 (0; -1; 0).

С2 (-1; 0; 0)

 Вектор С  I j k

0 -1 0

-1 0 0 = (-1 – 0)

(0 – 0) – j * (0 – 0)

(-1 – 0) + k (0 – 1)

(-1 – 0) =

= -i +1j + k

Вектор С1 = -I + 0j +1k

C1 = (-1; 0; 1) = √2 = 1,414 кв. единиц.

Геометрическим смыслом  векторного произведения векторов является площадь параллелограмма, построенного на векторах а и в.

 

Задача № 4.3

Дано. Заданы вершины треугольника АВС. Вычислить его S и косинус внутреннего угла В.

А (2; 3; -1);

В (-3; 4; 1);

С (-2; 2; -4).

Вектор АС = (-2 – (+2); 2 – 3; -4 – (+1) = (-4; -1; -5).

Вектор АВ = (-3 – (+2); 4 – 3; 1 – (-1) =(-1; 1; 2).

Вектор АС*АВ = i j k

-4 -1 -5

-1 1 2 =i -1 -4

       -4  2 – j 1 –  4

-1 2 +

+k -4 – 1

      -1 -4 = i (-4 -2) –j (1 – 4)  + k (4 + [-1]) = -6i – 3j +3k

IAC*ABI = √36 + 9 + 9 = √54 = 7,35

S ∆ = 7,35/2 = 3,675

Вектор угла ВА = (2 -4; 2 – 0; 1 – 2)

Вектор ВА (-2; 2; -1).

ВС = (-1 -4; 1 – 1; -1 -2)

ВС = (-4; 1; -2).

Cos α = 12/(2 √16) =1,5

Cмешанное произведение векторов – это число, равное скалярному произведению вектора а на вектор, равный векторному произведению векторов в и с и обозначается:

а*в*с или (а,в,с).

Смешанноен произведение векторов а, в, с по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на векторах.

Вектор а = (Ха, Уа, Za)

Вектор в = (Хв, Ув, Zв)

Вектор с = (Хс, Ус, Zс)

Векторы а*в*с = Ха Уа Za

Хв Ув Zв

Хс Ус Zc

Векторы а*в*с = 0 или больше нуля, значит, они компланарны и лежат на одной плоскости. Если векторы а*в*с больше нуля, то они представляют собой правую тройку векторов, а если а*в*с меньше нуля, то они представляют собой левую тройку векторов.

Тогда V пар. = Iа*в*сI

V пир. = 1/6 V пар.

Определение взаимной ориентации векторов в пространстве

Определение взаимной ориентации векторов а, b и с основано на следующих соображениях. Если abc > 0 , то а , b , с — правая тройка; если abc <0 , то а, b , с - левая тройка. Установление компланарности векторов. Векторы а, b и с компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.

 

Определение объемов  параллелепипеда и треугольной  пирамиды. Нетрудно показать, что объем параллелепипеда, построенного на векторах а, b и с вычисляется как V =|аbс|, а объем треугольной пирамиды, построенной на этих же векторах, равен V =1/6*|abc.

 

Задача № 4.4

Дано. Выяснить, компланарны ли векторы а, в, с. Если они не компланарны, то какую тройку (правую или левую) они образуют?

А Σ -3; 1; 4; в Σ 2; 0; 0; с Σ -3; 1; 1.

Вектор А (-3; 1; 4)

Вектор В (2; 0; 0)

Вектор С (-3; 1; 1)

А*В*С = -3  1 4

2 0 0

-3 1 1

А*В*С = -3 (0+3) – 1 (2+0) + 4 (2 – 1) = - 9 – (2) + 4 = -7

Векторы А, В, С – не компланарны.

Вектор А (-3; 1; 4)

Вектор В (2; 0; 0)

Вектор С (-3; 1; 1)

А*В*С = -3  1 4

       2  0 0

        -3 1 1

А*В*С = -3 (0*1) – (1)* (0) – (1)*(0*1 – (-3) *(0) + 4 = 1

Векторы образуют правую тройку (произведение векторов со знаком плюс).

Примерный расчет.

Вектор А (-6; 2; 1)

Вектор В (-2;-5; 6)

Вектор С (-14; -1; 8)

А*В*С = -6  -2 1

-2 -5 6

-14 -1 8

А*В*С = -6 (-40 +6) – 2 (-16+84) + 1 (2 – 70) = -6 (-34) – 2*68 + (-68) = 204 – 136 – 68 = 0

Векторы компланарны.

Вектор А (2; -1; 0)

Вектор В (-1; 1; -2)

Вектор С (3; -4; 0)

А*В*С = 2  -1 0

       -1 1 -2

        3  -4 0

А*В*С = 2 (1*0) – (-4)* (-2) – (-1)*(1*0 – 3 *(-2) + 0 = 2*(-8)+(+6) = -16+6=-10

Векторы образуют левую  тройку (произведение трех векторов со знаком минус). Рассмотрим произведение векторов а, b и с, составленное следующим образом: (ахb )•с. Здесь первые два вектора перемножаются векторно, а их результат скалярно на третий вектор. Такое произведение называется векторноскалярным, или смешанным, произведением трех векторов. Смешанное произведение представляет собой некоторое число. Выясним геометрический смысл выражения (ахb)*с. Построим параллелепипед, ребрами которого являются векторы а, b , с и вектор d =ахb (см. рис. 22).

 

Имеем: (а х b) • с = d • с = |d| • прdс, |d|=|а х b| =S, где S — площадь параллелограмма, построенного на векторах а и b, прdс = Н Для правой тройки векторов и прdс = - Н для левой, где Н— высота параллелепипеда. Получаем: (axb )*c =S *(±H ), т. е. (axb )*c =±V , где V — объем параллелепипеда, образованного векторами а, b и с. Таким образом, смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком «плюс», если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком «минус», если они образуют левую тройку. Свойства смешанного произведения. 1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей, т. е. (а х b )•с=(b х с)•а=(с х а)•b . Действительно, в этом случае не изменяется ни объем параллелепипеда, ни ориентация его ребер. 2. Смешанное произведение не меняется при перемене местами знаков вкторного и скалярного умножения, т. е. (ахb )•с=а*(bx с). Действительно, (ахb )•с=±V и а•(b хс)=(b хс)•а=±V . Знак в правой части этих равенств берем один и тот же, так как тройки векторов а , b , с и b , с , а — одной ориентации. Следовательно, (a хb )•с=a (b хс). Это позволяет записывать смешанное произведение векторов (а х b )с в виде abc  без знаков векторного, скалярного умножения. 3. Смешанное произведение меняет свой знак при перемене мест любых вух векторов-сомножителей, т. е. abc =-acb , abc =-bac , abc =-cba . Действительно, такая перестановка равносильна перестановке сомножителей в векторном произведении, меняющей у произведения знак. 4.Смешанное произведение ненулевых векторов а, b и с равно нулю огда и только тогда, когда они компланарны. Если abc =0 , то а, b и с— компланарны. Допустим, что это не так. Можно было бы построить параллелепипед с объемом V¹ 0. Но так как abc =±V , то получили бы, что abc¹0 . Это противоречит условию: abc =0. Обратно, пусть векторы а, b , с — компланарны. Тогда вектор d =ахb будет перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы а, b ,с, и следовательно, d ^с. Поэтому d •с=0, т. е. abc =0. Выражение смешанного произведения через координаты. Пусть заданы векторы a =ахi +ayj +azk , b =bxi +byj +bzk , с=cxi +cyj +czk . Найдем их смешанное произведение, используя выражения  в  координатах для векторного и скалярного произведений:

 

Полученную формулу  можно записать короче:

так как правая часть равенства (8.1) представляет собой разложение определителя третьего порядка по элементам третьей строки. Итак, смешанное произведение векторов равно определителю третьего порядка, составленному из координат перемножаемых векторов. Проективная геометрия. Прямые второго порядка.

Многоугольник описан вокруг окружности, если все его стороны  касаются этой окружности. Центр вписанной  окружности равноудален от сторон многоугольника. Если внутри выпуклого многоугольника есть точка, равноудаленная от всех его  сторон, то в этот многоугольник вписывается окружность с центром в данной точке. В выпуклый 4-х угольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны: a+c=b+d. Радиус r вписаной окружности многоугольника вычисляется по формуле , где S – площадь, а P – периметр многоугольника.

Теоремы Вариньона.

Середины сторон 4-х  угольника являются вершинами параллелограмма (рис.11). Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон и середины диагоналей 4-х угольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Если 4-х угольник из п.2 – выпуклый, то площадь параллелограмма MNPQ равна половине площади ABCD.

Свойства хорд.

 

 

Прямая, проходящая через  середины двух параллельных хорд окружности проходит через центр этой окружности. Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности. Параллельные хорды AB и CD (рис. 12) высекают на окружности равные дуги AD и BC. Равные хорды одной (или двух равных) окружности стягивают равные дуги. Угол между хордой АВ и касательной в точке А равен половине меры дуги АВ. Линия центров двух окружностей. Линия центров – прямая, проходящая через центры двух окружностей. Общие внешние (внутренние) касательные двух окружностей пересекаются в точках, лежащих на линии центров.

 

 

Если две окружности касаются, то точка касания лежит  на линии центров.

Основные вычислительные формулы.

Теорема косинусов:

Площадь треугольника:

• – стороны треугольника,   – углы,– высота, –   полупериметр,  – - радиус описаной окружности, – радиус вписаной окружности.

Площадь выпуклого четырехугольника: , и – диагонали,  – угол между ними. Площадь выпуклого многоугольника с периметром , описанного вокруг окружности радиуса R: .

Формула Герона для вычисления площади треугольника: , где .

 

 

Длина отрезков, на которые  делят стороны  , треугольника   точки касания вписаной окружности: Теорема Птолемея: во вписанном 4-х угольнике произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон: . Площадь трапеции:  и – основания,  h– высота трапеции. Чтобы найти радиус окружности, описанной вокруг многоугольника, нужно найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника, вершинами которого служат три каких-либо вершины данного многоугольника. Некоторые замечательные теоремы планиметрии.

Теорема Менелая.

Точки А1, В1 и С1 лежат  на одной прямой тогда и только тогда, когда .

Теорема Чевы.

Прямые АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке тогда  и только тогда, когда 

.

Теорема Пифагора.

Некоторые свойства прямоугольного треугольника:

 – радиус вписаной окружности

 – радиус описаной окружности

 – высота из вершины прямого  угла.

Векторы компланарны.

 

Задача № 4.5

Дано.

Пирамида построена  на векторах АВ, АС, АD.

А (2; 1; 3)

В (-1; 2; 0)

С (1; 6; 3)

D (-1; -2; -3).

Найти.

Объем пирамиды и ее высоту.

Пирамида построена  на векторах АВ, АС, АД.

Точка А (2; 1; 3)

Точка В (-1; 2; 0)

Точка С (1; 6; 3)

Точка D (-1; -2; -3)

Решение.

Вершинами пирамиды служат точки А(2; 1; 3), В(-1; 2; 0), С(1; 6; 3) и D (-1; -2; -3). Найти объем пирамиды.

Решение:

Вектор АВ = (-1 – 2; 2 – 1; 0 – 3).

Вектор АВ = (1; 1; -3).

Вектор АС = (1 – 2; 6 – 1; 3 – 3)

Вектор АС = -1; 5; 0).

Вектор АД = (-1 – 2; -2 – 1; -3 – 3)

АД = (1; -1; 0).

АВ*АС*АД = 1 1 -3

     -1 5 0

     1 -1 0 = 72

V пирамиды = 1/6*72 =72/6 =12

V пирамиды = 1/3 S осн.*Н

I=1

J=-1

K=0

Основание построено  на векторах АД и АС.

V = 12

H =64/√625= 2,56 м

Последовательность  решения примерной задачи:

Находим векторы  а, b и с:

а=AB =(-1;-3;-2),  b =АС=(1;3;-1),   с=AD =(2; -2; -5).

Находим b и с:

 

 

=-1•(-17)+3•(-3)-2•(-8)=17-9+16=24.

Следовательно, V =1/6*24=4.

Треугольник с построенными медианами.