Контрольная работа по "Математике"

Вопрос 1. Предмет, метод  и функции математики. Математика как феномен культуры. Математика и философия. Математика и искусство.

ПРЕДМЕТ науки обычно понимают как совокупность, систему тех  закономерностей, которые изучаются  ею. Строго говоря, математика непосредственно  не изучает реально законы развития природы или общества, как, например, физика, химия, биология, история и  др. Она помогает в их изучении другим наукам, связывает эти науки, законы, усиливает их.

Математика позволяет  получать абстрактное знание о законах  и процессах, а эти знания затем  используют все другие науки.

Служение наукам не является единственной функцией математики, ее главной целью. У нее есть свои, важнейшие внутренние цели эволюции.

Специфика математического  МЕТОДА изучения действительности определяет и особенность критерия истины в  математике. В математике критерий истины выступает в своеобразной форме: мы не можем доказать истинность математического предложения, основываясь  лишь только на практике, как во многих других науках.

Простой факт отсутствия общих  точек у двух параллельных прямых  
нельзя проверить на практике, сколько бы мы не брали точек на  
этих прямых. Более сложный пример - так называемая функция  
Дирихле: значение функции для рациональных чисел равно 1, а для  
иррациональных чисел - 0. Нельзя построить график этой простой  
по определению функции.

Практика является исходным пунктом математических понятий, но в качестве непосредственного критерия истины утверждений теоретической  математики она обычно не выступает. Только в прикладной математике практика может определять адекватность и  эффективность математического  аппарата для описания конкретных систем и процессов. При этом практика как  критерий адекватности теории не всегда применима.

В астрофизике есть математические модели зарождения и эволюции  
космических систем, которые нельзя проверить на практике, но  
можно описать проверенными математическими моделями других теорий  
- скажем, ядерной физики.

Деление математики на теоретическую  и прикладную хотя и традиционно, тем не менее, как отмечено выше, - часто лишь условное. Математика, наряду с созданием новых теоретических  методов решения практических задач, изучает и оттачивает применяемый  ею самой инструментарий, развивает  математические теории и методы, ищет более широкие и естественные сферы ее применимости, эволюционирует сама для нужд эволюции других наук, которые, в свою очередь, эволюционируют, используя математику.

Те достижения математики, которые еще не нашли приложения, развивают внутреннюю сущность и  структуру математики и могут  обрести в дальнейшем самые неожиданные  применения, вплоть до революционных  для развития науки и техники.

Древнегреческими математиками была создана теория конических сечений,  
которая была использована лишь через 2000лет, когда Кеплер создавал  
теорию движения небесных тел. Эта теория, в свою очередь, затем помогла  
Ньютону создать классическую механику.

Математика реализует  не только мировоззренческие, но и воспитательные, культурные и эстетические ФУНКЦИИ.

Мировоззренческая роль математики состоит, в частности, в том, что  она помогает вникать в суть явлений, происходящих в окружающем нас мире, особенно тех, что не лежат на поверхности, выявлять, описывать и исследовать  как внешние, так и внутренние связи системы.

Дифференциальные уравнения  эволюционных систем различной природы  и различного происхождения - часто  одни и те же, что демонстрирует  общность законов природы, общества, познания.

"Не зная математики, нельзя знать ни прочих наук, ни мирских дел. И что еще  хуже, люди, в ней не сведущие, не ощущают собственного невежества, а потому не ищут от него  лекарства. И напротив того, знакомство с этой наукой подготовляет душу и возвышает ее ко всякому прочному знанию, так что, если кто познал источники мудрости, касающиеся математики, и правильно применил их к познанию прочих наук и дел, тот сможет без ошибок и без сомнений, легко и по мере сил постичь и все последующие науки" (Ф.Бэкон).

Воспитательная роль математики состоит, в частности, в том, что  ее изучение и применение вырабатывает исследовательский, творческий подход к делу; настойчивость, терпение и  трудолюбие; аккуратность; логичность и строгость суждений; умение выделять главное и игнорировать второстепенное, не влияющее на суть проблемы; умение ставить  новые задачи и др. Воспитательная функция математики подчинена функциям общечеловеческого воспитания.

"Нигде, как в математике, ясность и точность вывода  не позволяет человеку отвертеться  от ответа разговорами вокруг  вопроса. Математика учит точности  мысли, подчинению логике доказательства, понятию строго обоснованной  истины, а все это формирует  личность, пожалуй, больше, чем музыка. Математика полезна тем, что  она трудна" (А.Д.Александров).

КУЛЬТУРНАЯ роль математики состоит, в частности, в том, что  повышение общематематической культуры естественным образом, в соответствии с функциями математики, содействует  повышению и профессиональной и  общей культуры (мышления, поведения, выбора).

Математика - это своего рода особая культура и искусство формализации знаний.

"Если поручить двум  людям, один из которых математик,  выполнение любой незнакомой  работы, то результат всегда будет  следующим: математик сделает  ее лучше" (Д.Юнг).

Эстетическая роль математики (эстетика - наука о прекрасном) состоит, в частности, в том, что она  сводит разрозненные элементы и связи  системы в целостную композицию, обладающую эстетическими качествами (красота, обаяние, цвет, форма, пропорция, симметрия, гармония, единство частей целого, удовольствие и др.).

"Математик так же, как  художник или поэт, создает узоры.  И если его узоры более устойчивы,  то лишь потому, что они составлены  из идей <...>. Узоры математика  так же, как узоры художника  или поэта, должны быть прекрасны;  идеи так же, как цвета или  слова, должны гармонически соответствовать  друг другу. Красота есть первое  требование: в мире нет места  для некрасивой математики" (Г.Х.Харди).

Математизация сфер общества - характерная черта нашей эпохи. Математизации подвержены не только естественнонаучные области, но и социально-гуманитарные: история, филология, социология и др. Благодаря математизации развивается  язык наук, следовательно, и сами науки. Математика также обогащается новыми идеями и приложениями вследствие этого.

Математика широко используется как в традиционных, естественнонаучных, областях (физика, биология, экономика  и др.), так и в гуманитарных - истории, лингвистике, психологии, социологии и др. Она образует специальные  ветви (математическая физика, математическая биология, математическая экономика  и др.) или методы (математические методы лингвистики, социологии и др.).

Математизация - существенный фактор прокладывания и укрепления междисциплинарных связей, решения  междисциплинарных проблем, проникновения  не только в количественно отражаемую сущность явлений, но и в их качественную сущность.

"Никакой достоверности  нет в науках там, где нельзя  приложить ни одну из математических  наук, и в том, что не имеет  связи с математикой" (Леонардо  да Винчи).

ФИЛОСОФИЯ в математике. Констатации  и оценки

Тезис о взаимных влияниях математики и философии хотелось бы подкрепить высказываниями самих  ученых.

Еще Платон считал математику необходимым введением в философию. Недаром над входом в его академию было начертано: "Не геометр, да не войдет". В пору средневековья лидеры господствующих тогда философских учений нередко  решали логико-философские проблемы, тесно увязывая их с проблемами математики. В частности, рассуждая о бесконечности, о сотворении мира.

По мере развития науки  область контактов математики и  философии все более расширяется, а их взаимный интерес становится глубже и разностороннее.

Известный французский математик XIX в. Л. Пуансо, занявшись исследованиями теории чисел, посчитал необходимым  обратиться к философии, поскольку  увидел, что эта тема не только пересекается, но тесно связана с философскими проблемами. Проводя, например анализ алгебры, Пуансо ставит проблему следующим  образом. Он считает, что надо выявить "специфические свойства алгебры, ... чтобы бросить свет на философию  науки"5. Пуансо убежден, что именно философское осмысление математических проблем способно придать им более  глубокое понимание. Лишь на этом пути может быть, по его мнению, "выявлена истинная природа алгебры и найдено  истинное решение первых основ математики"6.

Близкие мысли о взаимных отношениях математики и философии  высказывает несколько десятилетий  спустя другой видный ученый XIX в., представитель  немецкой науки Ф. Клейн, кстати напомнить, зять Гегеля. Клейн писал: "Я принадлежу к тем математикам, которые желают более близкого общения с философскими кругами". И поясняет, почему он придерживается высказанного мнения: "Я глубоко  убежден, что есть масса вопросов, которые должны одинаково занимать как философов, так и математиков"7. В качестве доказательства своего убеждения  Клейн ссылается на факт совпадения интересов схоластов и математиков. Первые решали вопрос о том, как мог  Бог создать бесконечный мир  в конечное время, измеряемое Библией  шестью днями (после которых он день отдыхал), то есть вполне философское  занятие. Вторые же (математики) по существу пытались разрешить ту же проблему - существование бесконечного числа  точек в пространстве конечного  отрезка.

Также и другой немецкий математик  Г. Вейль, много занимавшийся философскими аспектами математики, природой математического  мышления, отмечает, что два этих раздела человеческой культуры соприкасаются  очень близко. Его поражало, насколько "тесно сплетаются в своих основах  математика с общими проблемами познания"8.

Чем же именно, если говорить конкретнее, философия становится методологически  полезной для математики?

Философия ценна своим  умением и нацеленностью выделять общее, находить обобщенный взгляд на вещи и явления. Вступив в должность  ректора Казанского университета Н. Лобачевский в одном из первых выступлений перед учеными обратился  к коллегам (и не только математикам) с просьбой убрать из текстов лекций все частное, мелкое, отвлекающее  память. При этом он сослался на роль философии, подчеркнув необходимость  философских осмыслений в любой  науке. Они должны быть обязательными, ибо без философских обобщений  наука мертва, превращается в простое  скопище фактов.

Значение философии проявляется  и в том, что она, несмотря на склонность к обобщениям и широте подхода, помогает находить верные пути познания мира и  способы адекватного выражения  его результатов. Характерно в этой связи известное замечание А. Эйнштейна: "Если под философией понимать поиск знания в его наиболее широкой форме, то очевидно ее можно  считать матерью всех научных  исканий", то есть условием успеха в  овладении природой, стратегией научного поиска.

В литературе отмечается и  такое важное назначение философии, проявившееся в современных течениях анализа языка. Представители аналитического направления в частности, интересующиеся философскими аспектами языка точной науки, отмечают следующее. По мнению М. Даммита, обратившего внимание на язык физики и математики, "философия  может быть принята нами только как  то, что дает возможность овладеть ясным видением тех понятий, посредством  которых мы думаем о мире, и таким  образом достигнуть более точного  охватывания того способа, каким  мы репрезентируем мир в нашем  мышлении"9.

Необходимость сотрудничества математики с философией стала острой особенно на современном этапе. Реализуя внутренние потенции, математика ныне поднялась к абстракциям, особенно отрешенным от мира действительности. Конечно, она всегда умела находить аналогии, выявляя сходства, часто  весьма далеких, явлений, наводя между  ними перемычки. Но если вначале то были аналогии между утверждениями  и доказательствами, позднее - между  теориями (за которыми стояли уже более  абстрактные объекты, чем констатируемые утверждениями и описываемые  доказательствами), то современная  математика ставит вопрос о самой  природе аналогий. Все это усиливает  роль формальных методов исследования, подчеркивает настоятельность развития в математике тех начал, которые, по определению Н. Бурбаки, делают ее "скоплением абстрактных форм".

Тем самым нарастает опасность  такого применения приемов формализации, которое односторонне заслонит иные возможности исследований. Здесь  стоит напомнить об одном предупреждении И. Лакатоса: "При современном  господстве формализма невольно впадаешь в искушение перефразировать  Канта: история математики, лишившись  руководства философии, сделалась  слепой, тогда как философия математики, повернувшись спиной к наиболее интригующим  событиям истории математики, сделалась  пустой"10.

Мы отметили немало фактов позитивного влияния философии  на математику, как и событий обратного  влияния, хотя и отмеченного здесь  в меньшей мере, но достаточно мощного, поскольку математика питает философию  явно сильнее, чем это делают другие науки. Такова ее природа. Хотелось бы выделить еще один момент. Принимая роль философии, математики связывали  даже надежды в развитии своей  науки именно с философией. В этом отношении очень показательно признание  Д. Гильберта.