Контрольная работа по "Математике"

Задача 1.  .

Решение. Покажем по определению,  что предел  последовательности равен , т. е.

                               .

            

                       

 

                .

Для любого,  сколь угодно малого , находим , такое, что

для всех  , выполняется неравенство   , т. е. число   есть предел последовательности .

 

Задача 2. .

Решение.   Покажем по определению,  что                                                     

                       

Для любого,  сколь угодно малого , существует    такое, что любого   , удовлетворяющего   неравенству ,  выполняется неравенство   , т. е.  число 8  есть  предел  функции    при   .

Задача 3. 

Решение.   Перейдём к пределу при  :     .

 

      Ответ  0

Задача 4. 

Решение.  Перейдём к пределу при :    

Имеем неопределенность вида . Умножим числитель и знаменатель на выражение сопряженное числителю 

             

                                   

         Ответ     0

Задача 5. 

Решение.   Перейдём к пределу при 

                        

Имеем неопределенность вида .   При функции   и   , заменим бесконечно малые функции их эквивалентными:    и    ,  получим предел

        

   Ответ

                         

Задача 6.

Решение.   Перейдём к пределу при 

                        

Имеем неопределенность вида .   При функции ,  и   , заменим бесконечно малые функции их эквивалентными:  ,    и    ,  получим предел

        

   Ответ  -1

Задача 7.    

Решение.   Перейдём к пределу при 

                        

Ответ

Задача 8 .     ,  

Решение.  Найдём стационарные точки функции , принадлежащие интервалу :

                       

 

        

   .

Вычислим значение функции  в точке    и на концах интервала:

 

,   ,  .

Выберем  наименьшее и  наибольшее значения функции:

             ,     .

Ответ.          ,     .

 

 

Задача 9 .    

1)Функция не определена при , 

      область  определения  функции  .

2)Четность, нечетность. Заменим x на -x.

Функция общего вида, не является периодической.

3) Найдём  точки пересечения  с осями координат, положим поочерёдно x и y равными нулю.

                ,   точка О(0;0).

    4) Интервалы  монотонности,  точки экстремума. Найдём первую производную

.

   

   не существует в точке

     Получили 3 интервала, найдем знак производной   на каждом интервале. 

 

x			0
	-	+	0	-
y			max

          Нашли точки экстремума 

5) Интервалы выпуклости, вогнутости  графика функции,  точки перегиба.

       

       не существует в точке   .

x			1
	-	-	0	+
y

 

 

 

 

 

 

Точка  перегиба графика  функции 

    

6) Найдем асимптоты  графика функции 

    а) вертикальные  асимптоты, функция не определена в точках  

       найдем  предел слева и справа в  точке

       предел  слева            

      предел  справа           

       пределы равны бесконечности, следовательно, прямая - вертикальная асимптота.

    б) Найдем  наклонные асимптоты,    уравнение  наклонной асимптоты   

        Находим  k:  

        Находим  b:  

         

       Горизонтальная   асимптота   , то есть при график функции стремится к    прямой    .

        Строим график функции