Контрольная работа по математическому анализу

Контрольная работа «Математический анализ. Часть 2»

Вариант №8

8.Вычислите интеграл.

 

18.Вычислите интеграл.

 

 28.Вычислите интеграл.

 

38.Найдите общее решение дифференциального уравнения.

 

 

Решаем для 

 

Упрощаем:

 

Делим обе части уравнения на :

 

Интегрируем обе стороны относительно x:

 

Оценка интегралов:

,где - произвольная константа

Ответ:

 

48.Найдите частное  решение уравнения, удовлетворяющее  начальному условию.

 

Допустим что

Умножаем обе стороны :

 

Применим обратное правило произведения:

 

На левой стороне:

 

Интегрируем обе стороны относительно x:

 

Оценка интегралов:

 

Делим обе части уравнения на :

 

Решаем для используя начальные условия:

Заменяем в

 

Решаем уравнение:

 

Заменяем в

Ответ:

 

58.Найдите общее  решение дифференциального уравнения.

 

Общее решение будет суммой дополнительного решения и частного решения.

Найдем дополнительное решение путем решения:

 

Предположим, что решение будет пропорционально для некоторой константы .

Заменяем в дифференциальном уравнении:

 

Заменяем:

 

 

Фактор

 

С для любого конечного λ нули должны исходить от полинома:

 

Фактор

Решить для λ: λ = 1 или λ = 1

Корень дает в качестве решения, где - произвольная константа.

Корень λ=1 дает в качестве решения, где - произвольная константа.

Общее решение является суммой решений

 

Определим конкретное решение

методом неопределенных коэффициентов:

Конкретное решение имеет форму:

 

Решаем относительно неизвестных констант и :

Вычисляем

 

Заменяем конкретное решение в дифференциальном уравнении:

 

 

Упрощаем:

 

Приравниваем коэффициенты на обеих сторонах уравнения:

 

Приравниваем коэффициенты x в обеих сторонах уравнения:

Решаем систему:

 

 

Заменяем и в

 

Ответ: