Контрольная работа по "эконометрике"

 

Требуется:

1. Осуществить выбор факторных признаков для построения двухфакторной регрессионной модели.
2. Рассчитать параметры модели.
3. Для характеристики модели определить:
• линейный коэффициент множественной корреляции,
• коэффициент детерминации,
• средние коэффициенты эластичности, бетта –, дельта – коэффициенты.

Дать их интерпретацию.

4. Осуществить оценку надежности уравнения регрессии.
5. Оценить с помощью t-критерия Стьюдента статистическую значимость коэффициентов уравнения множественной регрессии.
6. Построить точечный и интервальный прогнозы результирующего показателя.
7. Отразить результаты расчетов на графике.

Выполнение задач отразить в аналитической записке, приложить  компьютерные распечатки расчетов.

 

 

Решение задачи 2

1. Выбор факторных признаков  для построения двухфакторной  регрессионной модели.

Статистические данные по всем переменным приведены в таблице 2.1. В этом примере n = 10, m = 3.

В таблице 2.2 приведены  промежуточные результаты при вычислении коэффициента корреляции по формуле:

.

 

В таблице 2.3 приведены  сводные результаты корреляционного  анализа.

^{Таблица 2.1.}

Y	X1	X2	X3
Объем прибыли	Среднегодовая ставка по кредитам	Ставки по депозитам	Размер внутрибанковских расходов
40 44 28 52 50 64 70 68 78 90	32 40 44 28 50 56 50 56 60 62	60 68 80 76 44 96 100 104 106 98	50 54 60 62 70 54 84 82 86 84

 

^{Таблица 2.2.}

t	Y	X1
1	40,00	32,00	-18,40	338,56	-15,80	249,64	290,72
2	44,00	40,00	-14,40	207,36	-7,80	60,84	112,32
3	28,00	44,00	-30,40	924,16	-3,80	14,44	115,52
4	52,00	28,00	-6,40	40,96	-19,80	392,04	126,72
5	50,00	50,00	-8,40	70,56	2,20	4,84	-18,48
6	64,00	56,00	5,60	31,36	8,20	67,24	45,92
7	70,00	50,00	11,60	134,56	2,20	4,84	25,52
8	68,00	56,00	9,60	92,16	8,20	67,24	78,72
9	78,00	60,00	19,60	384,16	12,20	148,84	239,12
10	90,00	62,00	31,60	998,56	14,20	201,64	448,72
å	584,00	478,00	0,00	3222,40	0,00	1211,60	1464,80
сред	58,40	47,80				121,16
знач

 

^{Таблица 2.3.}

	Объем прибыли	Среднегодовая ставка по кредитам	Ставки по депозитам	Размер внутрибанковских расходов
	Столбец 1	Столбец 2	Столбец 3	Столбец 4
Объем прибыли Среднегодовая ставка по кредитам Ставки по депозитам Размер внутрибанковских расходов	1 0,741   0,697   0,778	1   0,616   0,688	1   0,607	1

 

Анализ результатов  коэффициентов парной корреляции показывает, что зависимая переменная, т.е. объем  прибыли имеет тесную связь со всеми рассматриваемыми факторами: среднегодовой ставкой по кредитам ( ), со ставками по депозиту ( )  и с размером внутрибанковских расходов ( ). Однако факторы X₁ и X₃ тесно связаны между собой ( ), что свидетельствует о наличии мультиколлинеарности. Из этих двух переменных оставим в модели X₃ – размер внутрибанковских расходов, т.к. его связь с результативным признакам сильнее. В этом примере n=10, m = 3, после исключения незначимых факторов n = 10, k = 2.

 

 

 

 

2. Выбор вида модели и оценка ее параметров

Оценка параметров регрессии  осуществляется методом Гаусса, используются данные, приведенные в таблице 2.4.

^{Таблица 2.4.}

n	Y	X2	X3	Х2Y	Х3Y	Х22	Х32	Х2X3
	Объем прибыли	Среднегодовая ставка по днпозитам	Размер внутрибанковских расходов
1	40	60	50	2400	2000	3600	2500	3000
2	44	68	54	2992	2376	4624	2916	3672
3	28	80	60	2240	1680	6400	3600	4800
4	52	76	62	3952	3224	5776	3844	4712
5	50	44	70	2200	3500	1936	4900	3080
6	64	96	54	6144	3456	9216	2916	5184
7	70	100	84	7000	5880	10000	7056	8400
8	68	104	82	7072	5576	10816	6724	8528
9	78	106	86	8286	6708	11236	7396	9116
10	90	98	84	8820	7560	9604	7056	8232
Итого	584	832	686	51088	41960	73208	48908	58724

 

 

Для определения неизвестных параметров b₀, b₁, b₂ уравнения множественной линейной регрессии используем стандартную систему нормальных уравнений, которая имеет вид:

Подставим данные таблицы 2.4 в систему:

10b₀+832b₁+686b₂=584;

832b₀+73208b₁+58724b₂=51088;

686b₀+58724b₁+48908b₂=41960.

 

 

Для решения данной системы воспользуемся методом Гаусса.

Запишем систему в виде:

 

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

 

Умножим 1-ую строку на (686). Умножим 2-ую строку на (-10). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

 

Умножим 2-ую строку на (832). Умножим 3-ую строку на (-686). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

 

Умножим 1-ую строку на (1362320). Умножим 2-ую строку на (-16488). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

 

Из 1-ой строки выражаем b₂

b₂ = (-23614820096) / (-31888309376) = 0,74

Из 2-ой строки выражаем b₁

b₁ = (-135648 – 406792*0,74) / (-1362320) = 0,32

Из 3-ой строки выражаем b₀

b₀ = (51088 – 73208*0,32 – 58724*0,74) / 832 = -19,08

Уравнение регрессии зависимости  объема прибыли от размера ставки по депозитам и объема внутрибанковских расходов можно записать в следующем виде:

y = -19,08 + 0,32x₁ + 0,74x₃.

Расчетные значения Y определяются путем последовательной подстановки в эту модель значений факторов, взятых для каждого наблюдения.

Прибыль зависит от ставки депозитов и величины внутрибанковских расходов. То есть с увеличение внутрибанковских расходов на 1000 рублей приводит к увеличению прибыли на 740 рублей, при неизменной величине ставки по депозитам, а увеличение ставки депозитов в 2 раза приведет к увеличению прибыли в 0,64 раза при прочих неизменных условиях.

 

3. Регрессионный анализ

Результат регрессионного анализа содержится в таблицах 2.5 – 2.7.

^{Таблица 2.5}

Регрессионная статистика
№	Принятые наименования	формула	Результат
1	Коэффициент множественной  корреляции		0,828
2	Коэффициент детерминации, R2		0,685
3	Скорректированный R2		0,595
4	Стандартная ошибка		12,05
5	Количество наблюдений	n	10

 

^{Таблица 2.6.}

	df – число степеней свободы	SS – сумма квадратов	MS	F-критерий Фишера
Регрессия	k=2
Остаток	n – k – 1=7
Итого	N – 1 =9

 

^{Таблица 2.7.}

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика
Y – пересечение   Ставка по депозитам   Внутрибанковские расходы	-19,08   0,32   0,74	20,294   0,240   0,353	-0,940   1,3352   2,099

 

Пояснения к таблице 2.7. Во втором столбце содержаться коэффициенты уравнения регрессии b₀, b₁, b. В третьем столбце содержатся стандартные ошибки коэффициентов уравнения регрессии, а в четвертом – t-статистика, используемая для проверки значимости коэффициентов уравнения регрессии.

С целью расширения возможностей содержательного анализа модели регрессии используются частные коэффициенты эластичности, которые определяются по формуле

 

Частные коэффициенты эластичности единицы, следовательно, их влияние на результативный признак Y значительно.

Определим бета-коэффициенты по формуле:

Бетта-коэффициент показывает, на какую часть величины среднего квадратического отклонения S_y  измениться зависимая переменная Y с изменением соответствующей независимой переменной X_j на величину своего среднеквадратического отклонения при фиксированном на постоянном уровне значении остальных независимых переменных.

Определим дельта-коэффициенты по формуле:

Долю влияния фактора  в суммарном влиянии всех факторов можно оценить по величине дельта-коэффициентов.

 

 

4 Оценка качества модели

В таблице 2.8 приведены  вычисленные по модели значения  Y и значения остаточной компоненты.

^{Таблица 2.8.}

 

Вывод остатков
Наблюдение	Предсказанное	Остатки
1	37,19	2,81
2	42,71	1,29
3	51,01	-23,01
4	51,20	0,80
5	46,87	3,13
6	51,69	12,31
7	75,19	-5,19
8	74,99	-6,99
9	78,60	-0,60
10	74,55	15,45

 

Проверку независимости  проведем с помощью d-критерия Дарбина – Уотсона.

В качестве критических  табличных уровней при N = 10 двух объясняющих факторов при уровне значимости в 5% возьмем величины d = 0,7 и d = 1,64.

Так как полученное значение критерия попало в интервал от d₂ до 2, можно сделать вывод об отсутствии автокорреляции.

Вычислим для модели коэффициент детерминации.

.

Он показывает долю вариации результативного признака под воздействием изучаемых факторов. Следовательно, около 69% вариации зависимой переменной учтено в модели и обусловлено влиянием включенных факторов. Значение коэффициента детерминации находится в таблице 2.5.

Проверку значимости уравнения  регрессии произведем на основе вычисления F-критерия Фишера: .

Значение F-критерия Фишера можно найти в таблице 2.6.

Так как F_рас > F_табл, уравнение регрессии следует признать адекватным.

 

5 Оценка статистической значимости коэффициентов уравнения регрессии

Значимость коэффициентов  уравнения регрессии b₀, b₁, b₂ оценим с использованием t-критерия Стьюдента. Табличное значение t-критерия при 5% уровне значимости и степенях свободы (10 – 2 – 1 = 7) составляет 2,36.

 

Так как расчетные значения t-критерия меньше табличного, можно сделать вывод об отсутствии статистической значимости параметров уравнения регрессии.

 

6 Определение точечных и интервальных  прогнозных оценок объема прибыли 

Построим точечный и  интервальный прогнозы на 2 шага вперед на основе приростов от фактически достигнутого уровня.

Средний абсолютный прирост  Х₂:

Х₂¹¹=98+4,222=102,222

Х₂¹²=102,222+4,222=106,444

**Прогноз рассчитывается при неизменности прочих условий на протяжении всех наблюдений мы видим прирост параметра Х2 то есть для прогнозирования на 11 и 12 наблюдение его значения составят 102,222 и 106,444 соответственно

Средний абсолютный прирост  Х₃:

Х₃¹¹=84+3,778=87,778

Х₃¹²=87,778+3,778=91,556

*Аналогично параметру Х2 получаем прогнозируемые значения для Х3

Подставим полученные значения в уравнение регрессии:

Y₁₁ = -19,08 + 0,32 * 102,222 + 0,72 * 87,778=76,83

Y₁₂ = -19,08 + 0,32 * 106,444 + 0,72 * 91,556=80,9