Контрольная работа по "эконометрике"

Задача №1

 

По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая  зависимость объема выпуска продукции (У, млн. руб) от объема капиталовложений (Х, млн. руб).

 

Y	26	28	36	34	38	44	42
X	40	39	43	46	50	53	57

 

Требуется:

1. Для характеристики У от Х построить следующие модели:
• линейную,
• степенную,
• показательную,
• гиперболическую.
2. Оценить каждую модель, определив:
• индекс корреляции,
• среднюю относительную ошибку,
• коэффициент детерминации,
• F – критерий Фишера.
3. Составить сводную таблицу вычислений, выбрать лучшую модель, дать интерпретацию рассчитанных характеристик.
4. Рассчитать прогнозное значение результативного признака, если прогнозное значение фактора увеличится на 110% относительно среднего уровня.
5. Результаты расчетов отобразить на графике.

 

Решение задачи 1

1. Построение моделей регрессии

Построение  линейной модели парной регрессии.

Определим линейный коэффициент  парной корреляции по следующей формуле, используя данные таблицы 1.1:

Можно сказать, что связь  между объемом капиталовложений X и объемом выпуска продукции Y прямая, достаточно сильная.

Уравнение линейной регрессии  имеет вид: .

Значения параметров a и b линейной модели определим, используя данные таблицы 1.1.

Уравнение регрессии имеет  вид: .

С увеличением объема капиталовложений на 1 млн руб. объем выпускаемой продукции увеличивается в среднем на 907 тыс. руб. Это свидетельствует об эффективной работе предприятия.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 ^{Таблица  1.1}

t	y	x	yx	x 2
1	26	40	1040	1600	-9,43	88,90	-6,86	47,02	29,21	-3,21	12,33
2	28	39	1092	1521	-7,43	55,18	-7,86	61,73	28,30	-0,30	1,07
3	36	43	1548	1849	0,57	0,33	-3,86	14,88	31,93	4,07	11,31
4	34	46	1564	2116	-1,43	2,04	-0,86	0,73	34,65	-0,65	1,91
5	38	50	1900	2500	2,57	6,61	3,14	9,88	38,28	-0,28	0,74
6	44	53	2332	2809	8,57	73,47	6,14	37,73	41,00	3,00	6,81
7	42	57	2394	3249	6,57	43,18	10,14	102,88	44,63	-2,63	6,27
Итого	248	328	11870	15644	0,00	269,71	0,00	274,86		0,00	40,44
Ср. знач	35,43	46,86	1695,71	2234,86							5,78

 

Рассчитаем коэффициент  детерминации:

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 83,9% объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений).

Оценку значимости уравнения  регрессии проведем с помощью  F-критерия Фишера:

;

F>F_табл = 6,61 для a=0,05; k₁ = m = 1, k₂ = n – m – 1 = 5/

Уравнение регрессии с  вероятностью 0,95 в целом статистически  значимое, т.к. F >F_табл.

Определим среднюю ошибку:

.

В среднем расчетные  значения для линейной модели отличаются от фактических значений на 5,78%.

Построение степенной  модели парной регрессии

Уравнение степенной модели имеет вид: .

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:

lg = lg a +b lg x. данные приведены в таблице 1.2.

^{Таблица 1.2}

	Факт. Y(t)	lg(y)	Переменная X(t)	lg(x)
1 2 3 4 5 6 7 å         28	26 28 36 34 38 44 42 248	1,41497 1,44716 1,55630 1,53148 1,57978 1,64345 1,62325 10,79640	40 39 43 46 50 53 57 328	1,60206 1,59106 1,63347 1,66276 1,69897 1,72428 1,75587 11,66847
Сред. знач	35,43	1,54234	46,86	1,66692

 

Обозначим Y = lg , X = lg x, A = lg a. тогда уравнение примет вид: Y = A + bX – линейное уравнение регрессии. Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 1.3.

^{Таблица 1.3}

	y	Y		x		X		YX		X2				Ei
1	26		1,4150		40		1,6021		2,2669		2,5666		28,9063		2,9063	11,1779	8,4463
2	28		1,4472		39		1,5911		2,3025		2,5315		28,0028		0,0028	0,0101	0,0000
3	36		1,5563		43		1,6335		2,5422		2,6682		31,6507		-4,3493	12,0814	18,9165
4	34		1,5315		46		1,6628		2,5465		2,7648		34,4443		0,4443	1,3067	0,1974
5	38		1,5798		50		1,6990		2,6840		2,8865		38,2413		0,2413	0,6351	0,0582
6	44		1,6435		53		1,7243		2,8338		2,9731		41,1406		-2,8594	6,4986	8,1762
7	42		1,6232		57		1,7559		2,8502		3,0831		45,0714		3,0714	7,3128	9,4334
å         28	248		10,7964		328		11,6685		18,0260		19,4738				-0,5426	39,0226	45,2280
Сред. знач	35,4286		1,5423		46,8571		1,6669		2,5751		2,7820					5,5747

 

Уравнение регрессии будет  иметь вид: Y = –0,5483 + 1,2542X.

Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения.

Получим уравнение степенной  модели регрессии: = 0,283 ´ x^1,2542.

Определим индекс корреляции:

связь между показателем  y и фактором x можно считать достаточно сильной.

Коэффициент детерминации равен 0,8323:

Вариация результата Y (объем выпуска продукции) на 83,23% объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений).

Рассчитаем F-критерий Фишера:

F >F_табл = 6,61 для a = 0,05; k₁ = m = 1, k₂ = n –m –1 = 5.

Уравнение регрессии с  вероятностью 0,95 в целом статистически  значимое, т.к. F >F_табл.

Средняя относительная  ошибка

В среднем расчетные  значения для степенной модели отличаются от фактических значений на 5,57%.

 

 

Построение показательной  функции

Уравнение показательной  кривой: .

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого осуществим логарифмирование обеих частей уравнения:

.

Обозначим:  .

Получим линейное уравнение  регрессии:

Y=A+Bx.

Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 1.4.

^{Таблица 1.4}

t	y	Y	x	Yx	x2							Ei
1	26	1,41497335	40	56,5989	1600	-0,1274	0,0162	-6,8571	47,0204	29,1140	9,6971	-3,1140	11,9770
2	28	1,44715803	39	56,4392	1521	-0,0952	0,0091	-7,8571	61,7347	28,3591	0,1289	-0,3591	1,2824
3	36	1,5563025	43	66,9210	1849	0,0140	0,0002	-3,8571	14,8776	31,5016	20,2357	4,4984	12,4956
4	34	1,53147892	46	70,4480	2116	-0,0109	0,0001	-0,8571	0,7347	34,0849	0,0072	-0,0849	0,2498
5	38	1,5797836	50	78,9892	2500	0,0374	0,0014	3,1429	9,8776	37,8619	0,0191	0,1381	0,3633
6	44	1,64345268	53	87,1030	2809	0,1011	0,0102	6,1429	37,7347	40,9669	9,1998	3,0331	6,8934
7	42	1,62324929	57	92,5252	3249	0,0809	0,0065	10,1429	102,8776	45,5065	12,2954	-3,5065	8,3488
итого	540	10,7963984	328	509,0245	15644	0,0000	0,0438	0,0000	274,8571		51,5832	0,6051	41,6104
сред	77,14	1,54234262	46,8571429	72,7178	2234,86								5,9443
знач

 

 

Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения:

Определим индекс корреляции:

Связь между показателем  y и фактором x можно считать достаточно сильной.

Индекс детерминации: R² = = 0,899² = 0,8087.

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 80,87% объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений).

Рассчитаем F-критерий Фишера:

F> F_табл = 6,61 для a = 0,05; k₁=m=1, k₂ = n – m – 1 = 5.

Уравнение регрессии с  вероятностью 0,95 в целом статистически  значимое, т.к. F> F_табл.

Средняя относительная  ошибка:

В среднем расчетные  значения для показательной функции отличаются от фактических на 5,94%.

Построение гиперболической  функции

Уравнение гиперболической  функции:

Произведем линеаризацию модели путем замены X= . В результате получим линейное уравнение .

Рассчитаем его параметры  по данным таблицы 1.5.

Получим следующее уравнение  гиперболической модели: .

Определим индекс корреляции:

Определим индекс детерминации: R² = = 0,931² = 0,868.

Таблица 1. 5.

t	y	x	X	yX	X2					Ei
1	26	40	0,0250	0,6500	0,0006	-9,4286	88,8980	28,7865	7,7646	-2,7865	10,7173
2	28	39	0,0256	0,7179	0,0007	-7,4286	55,1837	27,4880	0,2622	0,5120	1,8287
3	36	43	0,0233	0,8372	0,0005	0,5714	0,3265	32,3197	13,5445	3,6803	10,2230
4	34	46	0,0217	0,7391	0,0005	-1,4286	2,0408	35,3921	1,9378	-1,3921	4,0943
5	38	50	0,0200	0,7600	0,0004	2,5714	6,6122	38,9150	0,8373	-0,9150	2,4080
6	44	53	0,0189	0,8302	0,0004	8,5714	73,4694	41,2083	7,7937	2,7917	6,3448
7	42	57	0,0175	0,7368	0,0003	6,5714	43,1837	43,8904	3,5738	-1,8904	4,5011
итого	248		0,1520	5,2713	0,0034		269,7143		35,7139	0,0000	40,1172
сред	35,43		0,0217	0,7530	0,0005						5,7310
знач

 

 

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 96,01% объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений).

F-критерий Фишера:

F> F_табл= 6,61 для a = 0,05; k₁=m=1, k₂ = n – m – 1 = 5.

Уравнение регрессии с  вероятностью 0,95 в целом статистически  значимое, т.к. F> F_табл.

Средняя относительная  ошибка:

В среднем расчетные  значения для гиперболической модели отличаются от фактических значений на 5,73%.

 

Выбор лучшей модели

Для выбора лучшей модели построим сводную таблицу результатов.

 Таблица 1.6.

Параметры   Модель	Коэффициент детерминации R2	F-критерий Фишера	Индекс корреляции rYX (ryx)	Средняя относительная  ошибка Eотн
Линейная	0,839	26,10	0,916	5,78
Степенная	0,832	24,82	0,912	5,57
Показательная	0,809	21,14	0,899	5,94
Гиперболичская	0,868	32,76	0,931	5,73

Все модели имеют примерно одинаковые характеристики, но лучшие значение по всем параметрам имеет гиперболическая модель. Ее можно взять в качестве лучшей для построения прогноза.

 

Расчет прогнозного значения результативного  показателя

Прогнозное значение результативного  признака (объема выпуска продукции) определяется по уравнению гиперболической  модели, подставив в него планируемую (заданную по условию) величину объема капиталовложений:

Х_прог = *110% = 46,86 * 110% = 51,54

 (млн руб.).

Фактические, расчетные  и прогнозные значения по лучшей модели отображаются на графике.

^{рис. 1.1}

 

Задача 2

 

По десяти кредитным учреждениям  получены данные, характеризующие зависимость  объема прибыли (Y) от среднегодовой ставки по кредитам (X₁), ставки по депозитам (X₂) и размера внутрибанковских расходов (X₃).

 

Вариант	Наблюдения
У Х1 Х2 Х3	40       44        28        52        50        64        70        68        78        90 32       40        44        28        50        56        50        56        60        62 60       68        80        76        44        96        100      104      106      98 50       54        60        62        70        54        84        82        86        84