Конечные поля (Поля Галуа)

Министерство науки и  образования Украины

Днепропетровский национальный университет имени Олеся Гончара

Механико-математический факультет

 

 

 

 

 

 

РЕФЕРАТ

на тему:

«Конечные поля (Поля Галуа)»

 

 

 

 

Выполнили:                                                                                                      Ст. гр. ММ-12м-03

Ягнюкова И. В.

Ст. гр. ММ-12м-01

Соколова А.

Проверила:

Дашкова О. Ю.

 

 

 

Днепропетровск

2012

Содержание

Эварист Галуа. Биография и научные достижения. 3

Необходимые характеристики полей 7

Поля Галуа 8

Построение и пример построения поля GF(9) 11

Список использованной литературы и интернет-ресурсов: 14

 

 

Эварист Галуа. Биография и научные достижения.

 

Эвари́ст Галуа́ (фр. Évariste Galois; 25 октября 1811, Бур-ля-Рен, О-де-Сен, Франция — 31 мая 1832, Париж, Франция) — выдающийся французский математик, основатель современной высшей алгебры. Радикальный революционер-республиканец, он был застрелен на дуэли при неоднозначных обстоятельствах в возрасте двадцати лет.

Галуа родился в Бур-ля-Рене (Bourg-la-Reine), предместье к югу от Парижа. Он был вторым среди троих детей Николя-Габриэля Галуа и Аделаиды-Мари Демант. Отец был убеждённым республиканцем, и когда Эваристу исполнилось 4 года, отец стал мэром города, сохранив этот пост при реставрации монархии и далее, вплоть до 1829 года.

В возрасте 12 лет Эварист поступил в Королевский коллеж Луи-ле-Гран. В годы учёбы Галуа стал свидетелем попытки заговора учеников, придерживающихся республиканских взглядов, против руководства колледжа из-за слухов о возможном переформировании колледжа в иезуитское училище (коим он был до этого). Такое переформирование предположительно могло упрочить позиции сторонников Людовика XVIII. Заговор был раскрыт и более ста учащихся колледжа были с позором исключены.

Лишь с 16 лет Галуа начал читать серьёзные математические сочинения. В числе прочих ему попался  мемуар Нильса Абеля о решении уравнений произвольной степени. По мнению преподавателей, именно математика превратила его из послушного ученика в выдающегося. Тема захватила Галуа, он начал собственные исследования и уже в 17 лет опубликовал свою первую работу в журнале «Annales de Gergonne». Однако талант Галуа не способствовал его признанию, так как его решения часто превосходили уровень понимания преподавателей, прояснению его умозаключений не способствовало также то, что он не трудился ясно излагать их на бумаге и часто опускал очевидные для него вещи.

В 1828—1829 годах на Галуа обрушивается череда несчастий: Галуа дважды, с разрывом в год, проваливает экзамен в Политехническую школу (École Polytechnique). В первый раз краткость решений и отсутствие пояснений на устном экзамене привели к тому, что Галуа не был принят. Через год на устном экзамене он оказался в той же ситуации и в отчаянии от непонимания экзаменатора швырнул в него тряпкой. Поступление в политехническую школу было важно для него и потому, что она была центром республиканцев. Следующая неудача была в том, что одобренная Коши работа в двух частях, отправленная ему на рецензию, затем была утеряна Коши и не попала в Парижскую Академию на конкурс математических работ. В 1829 году священник иезуит, вновь прибывший в родной город Галуа, доводит отца Эвариста до самоубийства написанием от его имени нескольких злобных памфлетов (за Николя-Габриэль Галуа закрепилась слава остроумного писателя сатирических памфлетов). Не выдержав позора, отец Галуа не увидел иного выхода, кроме самоубийства.

В 1829 году Галуа всё же удаётся  поступить в Высшую нормальную школу, в которой он проучился всего год и был исключён за участие в политических выступлениях республиканского направления.

1830 год: Июльская революция во Франции. Король Карл X свергнут, но левым не удалось добиться своего — провозгласить республику, и дело закончилось заменой короля на более либерального Луи Филиппа Орлеанского.

Роковое невезение продолжается. Галуа  посылает Фурье для участия в конкурсе на приз Академии мемуар о своих открытиях — но спустя несколько дней Фурье неожиданно умирает, так и не успев им заняться. В оставшихся после его смерти бумагах рукопись не была обнаружена. Приз получает Абель. Всё же Галуа удаётся опубликовать 3 статьи с изложением основ своей теории. Статья, посланная Пуассону, отвергнута со следующей резолюцией:

Галуа продолжает участвовать в  выступлениях республиканцев, ведёт  себя вызывающе. Дважды был заключён в тюрьму Сент-Пелажи. Первый раз его арестовали 10 мая 1831 года. 15 июня в суде присяжных департамента Сены начался разбор дела. Благодаря стараниям адвоката Дюпона, Галуа был оправдан и без дальнейших проволочек отпущен на свободу. Второй раз Галуа просидел в Сент-Пелажи с 14 июля 1831 года до 16 марта 1832 года, когда его, заболевшего, перевели в больницу, помещавшуюся в доме № 86 по улице Лурсин. Есть сведения, что Галуа оставался здесь ещё некоторое время после того, как 29 апреля кончился срок его заключения. Эта больница — его последнее известное место жительства.

Здесь он встретил Стефани, дочь Жана-Луи, одного из врачей. Возможно, отказ с  её стороны стал главной причиной трагической гибели молодого революционера.

Рано утром 30 мая около пруда  Гласьер в Жантийи Галуа был смертельно ранен на дуэли, формально связанной с любовной интригой, хотя имеются также подозрения, что конфликт был спровоцирован роялистами. Противники стреляли друг в друга из пистолетов на расстоянии нескольких метров. Пуля попала Галуа в живот. Несколько часов спустя один из местных жителей случайно наткнулся на раненого и отвез его в больницу Кошен. Обстоятельства дуэли выяснить не удалось, неясно даже, с кем именно был поединок. В десять часов утра 31 мая 1832 года Галуа скончался. Похоронен 2 июня 1832 года на Монпарнасском кладбище. В ночь перед дуэлью Галуа подготовил новый вариант мемуара для Академии, где кратко изложил итоги своих исследований, и переслал его своему другу Огюсту Шевалье.

За 20 лет жизни Галуа успел  сделать открытия, ставящие его на уровень крупнейших математиков XIX века. Решая задачи по теории алгебраических уравнений, он заложил основы современной алгебры, вышел на такие фундаментальные понятия, как группа (Галуа первым использовал этот термин, активно изучая симметрические группы) и поле (конечные поля носят название полей Галуа).

Галуа исследовал старую проблему, решение  которой с XVI века не давалось лучшим математикам: найти общее решение уравнения произвольной степени, то есть выразить его корни через коэффициенты, используя только арифметические действия и радикалы.

Нильс Абель несколькими годами ранее доказал, что для уравнений степени 5 и выше решение «в радикалах» невозможно; однако Галуа продвинулся намного дальше. Он нашёл необходимое и достаточное условие для того, чтобы корни уравнения допускали выражение через радикалы. Но наиболее ценным был даже не этот результат, а те методы, с помощью которых Галуа удалось его получить.

Работы Галуа, немногочисленные и  написанные сжато, поначалу остались непоняты современниками. Огюст Шевалье и младший брат Галуа, Альфред, послали последние работы Галуа Гауссу и Якоби, но ответа не дождались. Только в 1843 году открытия Галуа заинтересовали Лиувилля, который опубликовал и прокомментировал их (1846).

Открытия Галуа произвели огромное впечатление и положили начало новому направлению — теории абстрактных алгебраических структур. Следующие 20 лет Кэли и Жордан развивали и обобщали идеи Галуа, которые совершенно преобразили облик всей математики.

 

 

Необходимые характеристики полей

Определение 1. Поле называется совершенным, если оно либо характеристики 0, либо характеристики  и совпадает со своим .

Поле  характеристики  совершенно тогда и только тогда, когда для каждого элемента поля существует элемент , такой, что . Этот элемент однозначно определяется элементом , так как отображение взаимно однозначно. Элемент обозначается .

Если  - поле характеристики  и несовершенно, то в существуют элементы, которые не являются -ми степенями элементов из . Если - такой элемент, условимся обозначать это его свойство так: .

Примером  совершенного поля характеристики является простое поле .

Определение 2. Полем Галуа называется поле, содержащее конечное число элементов.

Очевидно, что характеристика поля Галуа отлична  от нуля, так как любое поле характеристики нуль содержит (бесконечное) поле рациональных чисел.

Предположим, что  - поле Галуа характеристики . Так как отображение - изоморфизм поля на подполе , то эти два поля имеют одно и то же (конечное) число элементов. Из того, что , следует, что .

Мы доказали таким образом следующую теорему.

Теорема 1.

Каждое поле Галуа совершенно.

 

Поля Галуа

Пусть - поле Галуа характеристики и - простое поле, содержащееся в . Из конечности поля сразу следует, что является конечным алгебраическим расширением поля . Пусть есть степень и - базис поля над . Тогда каждый элемент поля представим единственным образом в виде . Так как каждый элемент может независимо от других принимать значений (поскольку - является полем, содержащим в точности элементов), отсюда следует, что число элементов в равно . Таким образом, число элементов в равно . Таким образом, число элементов поля Галуа характеристики всегда является степенью .

Отметим, что подобные рассуждения  можно применить для получения  следующего результата: если   - поле Галуа, состоящее из элементов, и - конечное расширение поля степени , то состоит из элементов (и будет поэтому также полем Галуа).

Элементы поля , отличные от 0, образуют мультипликативную группу порядка . Поэтому для всех элементов этой группы, а следовательно, для всех элементов поля , включая 0. Так как степень полинома равна числу элементов поля , мы получаем, что полином полностью разлагается на линейные множители в и что , где - все элементы поля . Отсюда следует также, что является полем разложения над полинома и будет поэтому нормальным расширением поля . Следовательно, любые два поля Галуа с одинаковым числом элементов (а поэтому с одной и той же характеристикой ) изоморфны.

Поле Галуа, имеющее  элементов, обозначается через . Существование полей для любого простого числа и любого целого числа следует из существования полей разложения. Легко показать, что любое поле разложения полинома над будет на самом деле полем .

Теорема.

Мультипликативная группа поля Галуа  - циклическая.

Простейшим примером конечного  поля является   — кольцо вычетов по модулю простого числа p.

Свойства конечных полей:

• Характеристика конечного поля является простым числом.
• Число элементов любого конечного поля есть его характеристика в натуральной степени:  .
• Для каждого простого числа   и натурального   существует конечное поле из   элементов, единственное с точностью до изоморфизма. Это поле изоморфно полю разложения многочлена  .
• Мультипликативная группа   конечного поля   является циклической группой порядка  .
• В частности, в конечном поле всегда существует примитивный элемент  , порядок которого равен  , то есть   и   для  .
• Любой ненулевой элемент   является некоторой степенью примитивного элемента:

.

• Поле   содержит в себе в качестве подполя   тогда и только тогда, когда   является делителем  .

Примеры

• , где   — простое:   и так далее.
• , где   — главный идеал кольца  , порожденный неприводимым многочленом   степени  .

 

Построение и пример построения поля GF(9)

Построение

Построение  поля  , где p — простое число, n — натуральное число, начинается с построения его простого подполя   (которое совпадает со всем полем при n=1).

Простое поле   строится как кольцо   вычетов по модулю  , которое в виду простоты   не имеет делителей нуля и является полем.

Элементы   — числа  . Операции проводятся как с обычными целыми числами с приведением результата по модулю  .

Поле   при n>1 строится как факторкольцо  , где   — неприводимый многочлен степени n над полем  . Таким образом, для построения поля из   элементов достаточно отыскать многочлен степени  , неприводимый над полем  .