Кездейсоқ оқиғалар

Шешуі: Барлық мүмкін жағдайлар саны 12-ден 12 бойынша алынған қайталанбалы орналастырулар санына тең; . Ал қолайлы жағдайлар саны 12 элементтен алынған барлық орналастырулар санына тең:

4-мысал: Қорапта қолғаптардың 10 түрлі парлары бар. Қораптан кездейсоқ 4 қолғап алынды. Алынған қолғаптар арасында өзара пар құрайтын қолғаптардың болмауы ықтималдығы қандай?

Шешуі: 20 қолғаптың ішінен төртеуін түрлі тәсілмен алуға болады, яғни . Ал бізге қолайлы жағдайлар саны -ке тең. Себебі қолғаптардың 10 парынан 4 сыңарын түрлі тәсілмен аламыз, ал әр пардан бір сыңарын 2 түрлі тәсілмен ала аламыз, яғни 4 сыңарды 2*2*2*2=2⁴ түрлі тәсілмен аламыз. Сонымен

5-мысал: Конверттегі 100 фотосуреттің ішінен бізге қажеттісі біреу ғана. Конверттен кездейсоқ 10 фотосурет алынды. Алынған суретер ішінде бізге қажетті суреттің бар болу ықтималдығын анықтайық.

Шешуі: 100 суреттің ішінен 10 суретті түрлі тәсілмен алуға болады, яғни . Ал егер алынған 10¹⁰⁰ суреттің ішінде бізге қажеттісі бар болса, онда бұлардың қалған 9-ы бізге қажетсіз. Онда осы қажетсіз 9 суретті 99 қажетсіз суреттер арасынан . Онда

 

2. Кездейсоқ шама.

Ықтималдықтар теориясындағы маңызды ұғымдардың бірі –

кездейсоқ шама. Сынаудың нәтижесінде, алдын ала белгісіз немесе алдын ала болжауға келмейтін кездейсоқ жағдайларға байланысты бірақ мәнге сәйкес келетін шаманы – кездейсоқ шама деп атаймыз.

Ендеше келесі мысалға  көңіл бөлейік:

1) Қалалық көлік қозғалысын  бақылауда бір сағат ішінде  кездейсоқ қиылыстан өтетін машиналар  саны – кездейсоқ мән қабылдайды.

2) Хаттар санағында  кездейсоқ пошта бөліміне әр  кун сайын түсетін хаттар саны - әр түрлі кездейсоқ мән қабылдайды. 
Бұл мысалдар мазмұны бойынша әр түрлі, бірақ олардың ортақ мағынасы бар: 
1) Әр мысалда кездейсоқ оқиғаны бейнелейтін шама туралы айтылады. 
2) Бұр әрбір шама кездейсоқ тәжірибе нәтижесіндегі сәйкес мән қабылдайды. 
Анықтама: Алдын ала белгісіз, тек тәжірибе нәтижесінде анықталатын бір мәнді шаманы кездейсоқ шама деп атайды.

Кездейсоқ шама кездейсоқ  оқиғамен тығыз байланысты. Егер кездейсоқ  оқиға тәжірибенің сапалық сипаттамасы  болса, ал кездейсоқ шама оның сандық сипаттамасы береді. Мына мысалдарға назар аударайық:

1. Оқты 4 рет атқандағы дәл тигізу саны;
2. Ұялы телефонға бір күнде түскен хаттар саны;
3. Қаңтар айындағы қалаға жауған қардың мөлшері.

Бұл арада кездейсоқ  шамалар алдын-ала көрсетілген  жеке тиянақты мәндерді қабылдайды. 

Анықтама: Мәндері жеке дара тиянақты сандар болатын кездейсоқ шаманы дискретті кездейсоқ шама деп атайды.

Басқа типті кездейсоқ  шамалар да бар. Мысалы:

1. нысанаға атқанда тигізген нүктенің абсциссасы;
2. белгілі биіктікке көтерілгенде ұшатын аппараттың жылдамдығы;
3. денені аналитикалық таразымен өлшегенде кететін қателіқ;
4. кездейсоқ алынған дәннің салмағы.

Берілген кездейсоқ  шаманың мүмкін болатын мәндері  бір-бірінен алшақ емес. Олар үзіліссіз  шеткі нүктелері бар, ал кейде  анықталмаған қандай да бір сандық аралықты толтырады.

2.1 Кездейсоқ шаманың қасиеттері

Анықтама: Мәндері үзіліссіз белгілі бір [а; b] кесіндісінде (мұндагы а < b, а және b тиянақты нақты сандар) орналасқан кездейсоқ шаманы үзіліссіз кездейсоқ шама деп атайды. х1, х2,..., хn мәндері болатын X дискретті шамасын қарастырайық. Әрбір мәннің болуы мүмкін, бірақ ақиқат емес. X кездейсоқ шамасы х1, х2,..., хn мәндері қандай да бір р1, р2, ...,рп ықтималдықтарын қабылдайды.

Анықтама: Дискретті кездейсоқ шаманың мүмкін болатын мәндері және олардың ықтималдықтарының арасындағы сәйкестік берілген кездейсоқ шаманың таралу заңдылығы деп аталады. 
Дискретті X кездейсок шамасының таралу заңдылығын кестемен берген ыңғайлы: 
Х х1 х2 ... хn

р p1 p2 … pn

Кестенің бірінші жолында  кездейсоқ шаманың барлык мүмкін болатын мәндері, ал екінші жолында  олардың ыктималдықтары көрсетілген. 
Практикада кездейсоқ шаманы сипаттау үшін кейбір сандық параметрлерді, мысалы, кездейсок шаманың мүмкін болатын мәндер жиынында шоғырланатын қандай да бір орта мән және орта мәнге байланысты олардың орналасуын сипаттайтын қандай да бір санды анықтаса жеткілікті. Мысалы:

1) 1,2,3,...100 жаңа туған  бұзаулардың ішінде ауру бұзаудың  болуы; 

2) сабаққа қатысып  отырған студенттердің саны; 

3) адамның өмір сүруінің  мерзімін ұзақтығы; 

4) малдың (қойдың, сиырдың)  температурасын өлшеген кезде жіберетін қателер т.с. с. 

Кездейсоқ шамаларды X, Y, Z деп белгілейміз, ал мәндерді – x, y, z деп белгілейміз. Кездейсоқ шамалар дискретті (үзілісті) және үзіліссіз шамалар болып бөлінеді.

Дискретті деп белгілі бір мәнге ие болатын және берілген ықтималдығымен анықталатын шаманы айтады. Сан мүмкіндігі шекті және шексіз болуы мүмкін. Мысалы, кітаптің бір бетіндегі әріптің сандары, атомдағы электрондардың энергиясы, бидайдың масағындағы дәндердің саны, т.с.с.  Үздіксіз кездейсоқ шама деп белгілі бір шекті және шексіз сан мәндері бар шамалардың мәндеріне сәйкес келетін шамаларды айтамыз. Кездейсоқ үздіксіз шаманың саны шексіз болуы мүмкін. Мысалы, бидайдың масағындағы дәндердің массасы, мал қораларындағы температураның белгілі бір уақыт аралығындағы мәні, т.с.с.  
Егер дискретті кездейсоқ шаманың орналасуы берілген болса Х және Р.  
х х1 х2 х3 … хп 

р р1 р2 р3 … рп 

Яғни Р=Р1+ Р2+...=. 

Ықтималдың ең үлкен  сан мәні 1-ге тең болады, немесе нормалдаудың келісімдік шарты болып сапалады. Дискретті кездейсоқ шамалардың орналасуын график жүзінде яғни көпжақтар арқылы сипаттауға болады.  
Кейде кездейсоқ шаманың орналасу заңдылығы белгісіз болғанда кездейсоқ шаманы сан мәндері арқылы сипаттауға болады, яғни ондай сандарды кездейсоқ шаманың сандық сипаттамасы деп атаймыз.  
Мысалы: математикалық күту , дисперсия , орта квадраттық ауытқу . 

2.2 Математикалық  күтім.

Осындай ұғымның бірі — математикалық күтім. Кездейсоқ шаманың мәнін сол мәннің ықтималдығына көбейтіндісінің  
Алгебралық қосындысын кездейсоқ шаманың математикалық күтуі деп атаймыз. 

Математикалық күтудің  қасиеттері.

1) М(С)=С. Тұрақты санның математикалық күтуі тұрақты санға тең болады. 

2) М(Сх)=С•М(х). Тұрақты сан М.К. алдына шығарып жазуға болады. 

3) М(ху)=М(х)•М(у), М(х1•х2• …•хп)=М(х1)•М(х2)•…•М(хп). 

4) М(х+у)=М(х)+М(у),М(х1+х2+…+хп)=М(х1)+М(х2)+…+М(хп). 

Мысал 1: 100 лотерея билеті шығарылған. Оның 40 билеті иесіне 50 теңгеден, 10 билеті 250 теңгеден, 5 билеті 500 теңгеден ұтыс әкеледі, ал калған билеттер ұтыссыз. Бір билетке қандай орташа ұтыс сәйкес келеді? 
Шешуі. X кездейсоқ шамасының мәндері0; 50; 250;500теңге 
десек, олардың ұтыс ыктималдықтары сәйкесінше —болады.  
Мына кестеде оқиғаның таралу заңдылығы берілген:

X 0 50 250 500

р 0,45 0,4 0,1 0,05

Мысалы, қандай да бір  ойыншы барлық 100 билетті сатып алса, онда ол 7000 теңге ұтар еді. Ал бір билеттің орташа ұтысы 70 теңге болады (өйткені 7000 : 100 = 70).

Сонда (0 • 45 + 50 • 40 + 250 • 10 + 500 • 5) : 100 = 0 • 0,45 + + 50 • 0,4 + 250• 0,1 + 500 • 0,05.

Жауабы: 70 теңге.

1-мысалдағы соңғы теңдіктің  оң жағында тұрған өрнек кездейсоқ шама мәндерінің сәйкес ықтималдықтарына көбейтінділерінің қосындысын береді. 
Анықтама: X кездейсоқ шамасы мәндерінің сәйкес ықтималдық мәндеріне көбейтінділерінің қосындысын X кездейсоқ шамасының математикалық күтімі деп атайды.

Математикалық күтімнің белгіленуі: М(Х).

Анықтама бойынша математикалық  күтім есептеу формуласы:

М(Х) = хІ + х2р2 + ... + хп-1 рn-1 + хпрп. (1)

Мысал 2: Машина жасауда керекті тетікті дайындау үшін 1, 2, 3, 4, 5 үлгі қолданылады. Ол үлгілердің ықтималдығы мына кестеде берілген:

X 1 2 3 4 5

р 0,2 0,4 0,7 0,5 0,1

10 машина жасауда қолданылатын  үлгілер сандарының орташа мәні  қандай болады?

Шешуі. Алдымен бір машинаға қажетті орта мәнді анықтаймыз. Содан кейін қорытындыны 10-ға көбейтеміз.

М(Х) = 1 • 0,2 + 0,4 + 3 • 0,7 + 4 • 0,5 + 5 • 0,1 = 5,6.

Сонда 5,5 • 10 = 56. Жауабы: 56.

Математикалық күтімнің қасиеттері:

1)егер С — тұрақты  болса, онда М(С) = С, М(СХ) = СМ(Х);

2) егер Х, Y,Z кездейсоқ  шамалар болса, онда М(Х+ Ү  + 2) = М(Х) + М(Ү) + М(2)

Кездейсоқ шама мәнінің математикалық күтімге қатысты қандай мөлшерде шашырай орналасуының сандық сипаттамасын беретін ұғымдардың бірі — дисперсия. Бұл ұғымның анықтамасын берместен бұрын ауытқудың анықтамасын берейік.

Анықтама: X кездейсоқ шамасымен М(Х) математикалық күтімнің айырымы, яғни Х-М(Х) ауытқу деп аталады,  X- М(Х) ауытқуы мен оның квадраты (X - М(Х))2 кездейсоқ шамалар болып табылады. Енді X кездейсоқ окиғасы дисперсиясының анықтамасын берейік. 
Анықтама: Ауытқудың екінші дәрежесінің математикалық күтімі X

кездейсоқ шамасының дисперсиясы деп аталады.

Дисперсияның белгіленуі В(Х).

Анықтама бойынша дисперсияның формуласы:

D(X)= M[X-M(X)]2 

Дисперсияның қасиеттері:

1) егер С тұракты  болса, онда

D(Х) = 0;

D(СХ) = С2D(Х);

2) D(X) = М(Х2) – М2(Х); 

3) X және Ү кездейсоқ шамалар болса, онда

D(Х+Ү) =D)(Х) + D(Ү).

Математикалық күтімнің қасиеттерін қолданып, (2) және (3)

формулаларының мәндес екенін дәлелдеуге болады.

Мысал 3. Дискретті кездейсоқ шама мына таралу заңдылығымен берілген: 
X 0 1 2 3 4

р 0,2 0,4 0,3 0,08 0,02

Кездейсоқ шаманың дисперсиясын табыңдар. 

Шешуі. Алдымен математикалық күтімді М(Х), содан кейін М(Х2) есептейміз: 
М(Х) = 0 • 0,2 + 1 • 0,4 + 2 • 0,3 + 3 • 0,08 + 4 • 0,02 = 1,32, МСХ2) = 0 • 0,2 + 1 • 0,4 + 4 • 0,3 + 9 • 0,08 + 16 • 0,02 = 2,64. (3) формула бойынша: D(Х) = 2,64 - 1,7424 = 0,8976.

Жауабы: 0,8976.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Қорытынды

Қорыта айтқанда: Әлемдегі кездейсоқ құбылыстар ерте заманнан

бері  зерттеліп келеді. Ол туралы Реньидің де жақсы пікірлері бар. Кездейсоқ құбылыстарға математикалық тұрғыдан қарау Паскаль мен Фермаға дейін болған. Демографиялық құбылыстар және адамдарды азық-түлікпен қамтамасыз жиілігінің біркелкілік фактілері Ежелгі Қытай мен Римде белгілі болған. Кездейсоқ құбылыстарды нақты әдістердің көмегімен анықтау мүмкіндігін Кордано мен Галилей де қарастырған.

Паскаль, Ферма және Гюйгенстен басап, кездейсоқ оқиға және оның ықтималдығы туралы математикалық  ғылым- ықтималдық теориясының алғашқы  ұғымдары қалыптаса бастады.

ХХ ғасырдың екінші жартысынан бастап құбылыстардың сандық өлшемдері  әр түрлі процестердің, атап айтсақ, өндірісті математикалық модельдеу  мен ғылыми шығармашылықтың алғашқы  шарты болды, яғни ықтималдық ерекше маңызға ие болды. «Оқиға туралы ғылым» көптеген мамандық иелерінің: инженерлер, экономистер, дәрігерлер және әр түрлі шаруашылық саласындағы мамндардың ортасына енді. Бүкіл әлемде осы ғылымға қызығушылықтың артқаны соншалық, тіпті ықтималдық теориясы жиі қолданылатын болды деп айтсақ қателеспейміз.

Ықтималдық теориясының негізгі мағынасын ашып ықтималдықтың жиілік теориясының негізін салған белгілі неміс математигі- Р.Мизес (1883-1953).

Ол ықтималдық теориясын  математика пәні емес, математикалық  әдістерде кең қолданылатын ғылым  қатарына қосты. Р.Мизес «Әр ықтималдыққа берілген есеп кейбір шынайы процестермен байланысқан»,- деп айтқан. Қазіргі ықтималдық теориясының дамуы, әсіресе А.Н.Колмогоровтың еңбегінде, ықтималдық теория жоғары математикалық тарауларымен: жиын теориясы, функция теориясы, функционалдық талдау және т.б. нақты математикалық ықтималдықпен тығыз байланысқан.

Қазіргі ықтималдық теориясының  әдістері қолданылмайтын сала жоқ. Ықтималдық статистика әдістерін қолдану көптеген ғылым салаларында дәстүрлі бағыт  болуда. Оларға: физика, геодезия, өлшеу теориясы және т.с.с. жаады. Кейінгі кезде ықтималдық теориясын мединицина және биология, әскери ғылым мен космонавтика, лингвистика, психология теориясы мен оқыту теориясы, т.б. ғылымда да қолдана бастады. Одан басқа ықтималдық әдістерінің негізінде ықтималдық теориясынан шыққан жаңа ғылымдар қатары пайда болуда. Бұлар- ақпарат теориясы, сенімділік теориясы, сапаны статистикалық бақылау, тәжірибені жоспарлау.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Қолданылған әдебиеттер тізімі

 

1.А.Әбілқасымова, Н.Р.Майкотов, Қ.И.Қаңлыбаев, Ә.С.Кенеш «Алгебра: Жалпы білім беретін мектептің 9-сыныбына арналған оқулық»-Алматы: «Мекеп» баспасы 2005-208бет. (121-137 беттер)

2.А.Әбілқасымова, И.Бекбоев,  А.Абдиев, З.Жұмағұлова «Алгебра: Жалпы  білім беретін мектептің 9-сыныбына  арналған оқулық»-Алматы: «Мекеп» баспасы 2006-184 бет. (139-152  беттер)

3.А.Әбілқасымова, И.Бекбоев,  А.Абдиев, З.Жұмағұлова «Алгебра: Жалпы  білім беретін мектептің 11-сыныбына  арналған оқулық»-Алматы: «Мекеп»  баспасы 2007-208 бет. (179-194  беттер)

4.Ә.Н.Шыныбеков «Алгебра және анализ бастамалары 9-сыныбына арналған оқулық»- Алматы: Атамұра, 2005-288 бет. (197-215 беттер)