Кері матрица және лоардын шешу жолдары

Санау жүйесі арқылы есеп шығаруға үйрету, дағдыландыру. Программада бағдарлай  білу, өз бетінше іздей білу, талдай, таңдай білу, өзгерте білу, сақтай білу, білім мен ақпараттық технолгиялармен, компьютерлік технологиялармен техникалық обьектілердің көмегімен жеткізуді жүзеге асыра білу  білігі.

 

Дамытушылық:

 

Ойлау, жобалау қабілеттерін, логикалық  қабілеттерін дамыту.

 

Тәрбиелік: 

 

ДК жұмыс істегенде тәртіпке, тазалыққа, адамгершілікке тәрбиелеу

 

Пән аралық байланыс:

 

Сабақтың құрылымы:

 

1. Үй тапсырмасын сұрау

 

2. Жаңа тақырыппен жұмыс

 

3. Қорытынды

 

4. Компьтермен жұмыс. Есеп шығару. Слайдпен жұмыс. 

 

5. Бекіту. Үй тапсырмасын беру.

 

6. Бағалау 

 

Жаңа сабақ:

 

КОМПЬЮТЕРДІҢ АРИФМЕТИКАЛЫҚ НЕГІЗДЕРІ

 

Санау жүйесі

 

Ақпаратты кодтау барысында санау  жџйесі түсінігімен кездескенбіз. Бұл бөлімде біз, сан ұғымының, компьютердегі атқаратын кызметі маңызды болғандықтан санау жџйесін жан-жақты карастырамыз.

 

    Сан түсінігі - математикадағы  сияқты информатикада да негізгі  ұғым. Бірақ, егер математикада  сандарды љңдеу өдістеріне көп көңіл бөлінетін болса, онда информатикада сандарды ұсыну әдістерін айналып өтуге болмайды, өйткені тек осы арқылы ғана жадының қажетті көлемі, есептелу жылдамдығы мен жіберетін қатесі анықталады.

 

Санау жүйесі туралы түсінік

 

Сандарды цифр деп аталатын арнайы символдардың көмегімен бейнелеу қабылданған.

 

Сандардың аталу жѕне жазылу тәсілін  санау жүйесі деп атайды.

 

Санау жүйесі екі топқа бөлінеді: позициялық жѕне позициялық емес.

 

  Позициялық емес санау жүйесінде  әрбір цифрдың мѕні оның алатын орнына байланысты емес. Мұндай санау жүйесінің мысалы ретінде римдік жџйені алуға болады. Осы жџйеде жазылған XXX санында X цифры кез келген позицияда 10-ды (онды) білдіреді.

 

Позициялық емес санау жџйесінде  арифметикалық ѕрекеттерді орындау  біраз қиын болғандықтан, бџкіл дџние жџзі біртіндеп позициялық санау жџйесіне ауысты.

 

 Позициялық санау жүйесінде  цифрдың мәні оның орнына (позициясына)  байланысты болды. Позициялық  санау жүйесінің негізі деп  жүйедегі пайдаланылатын цифрлар  санын айтады.

 

Ондық санау жүйесі

 

    Біз сандармен жұмыс  істегенде тек қана бір ондық  санау жџйесін қолдануға дағдыландық. "Ондық" деп аталуы былай  түсіндіріледі: бұл жүйенің негізінде  он негізі жатыр. Бұл жүйеде  санды жазу үшін он цифр  қолданылады: - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

 

   Ондық жүйе позициялық  болып табылады, өйткені ондық  санды жазуда цифрдың мәні  оның позициясына немесе санда  орналасқан орнына байланысты.

 

     Санның цифрына бөлінетін  позицияны разряд деп атайды.

 

Мысалы, 425 жазуы 4 жџздіктен, 2 ондықтан жѕне 5 бірліктен тұратын сан екенін білдіреді. 5 цифры - бірліктер разрядында, 2 - ондықтар разрядында, 4 - жџздіктер разрядында тұрады.

 

Егер осы  цифрларды басқа ретте жазатын  болсақ, мысалы, 524, онда сан 5 жџздіктен, 2 ондықтан және 4 бірліктен тұрады.

 

  Бұл кезде 5 џлкен болады  және санның џлкен цифры деп  аталады, ал 4 цифры кіші болады  да, осы санның кіші цифры деп  аталады. Егер 524 санын қосынды  түрінде жазатын болсақ:

 

5*102+2*101 +4*10°

 

оның цифрлары салмағының айырмашылығы айқын болады, бұл жазудағы 10 саны санау жџйесінің негізі. Санның ѕрбір цифры џшін 10 негізі цифрдың орнына байланысты дѕрежеленеді жѕне осы цифрға көбейтіледі. Бірліктер џшін дѕрежелеу негізі - нљлге, ондықтар џшін - бірге, жүздіктер үшін екіге тең және т.с.с.

 

     Егер ондық сан бөлшек болса, онда ол да қосынды түрінде оңай жазылады. Әрбір цифрдың бөлшек бөлігі џшін дәреже негізі теріс және - 1-ге тең - бђл бљлшек бөліктің џлкен цифры үшін, ал бөлшек бөліктің келесі цифры џшін -2 тең және т.с.с.

 

     Мысалы, 384,9506 ондық, саны мынадай қосындымен белгіленеді:

 

384,9506=3*102 +8*101 +4*10°+9*10-1 +5*10-2+0*10-3+6*10-4

 

    Осылайша, ондық санның  кез келген цифры - онның белгілі  бір бүтін дәрежесі, ал дәреженің  мәнін сәйкес цифрдың позициясы  көрсетеді.

 

Сұрақтар мен тапсырмалар:

 

1 . Санау жүйесі деп нені айтады?

 

2. Позициялық санау жџйесі позициялық  емес санау жџйесінен немен  ерекшеленеді?

 

3 . Позициялық санау жџйесінің  негізі деп нені айтады?

 

4. Санның негізін дѕрежесінің  қосындысы түрінде ұсыныңыз:

 

а) 3678,89810;

 

б) 7,2908310;

 

в) 37000,000110;

 

г) 0,003210.

 

Екілік санау жџйесі

 

  Компьютерде, әдетте, ондық  емес, позициялық екілік санау  жүйесі, яғни  негізі 2 болатын санау  жүйесі қолданылады.   

 

Екілік жџйеде кез келген сан  екі 0 және 1 цифрларының,  көмегімен  жазылады жѕне екілік сан деп аталады.         

 

Тек қана 0 және 1 цифрларынан тұратын  екілік санды ондық саннан ажырату  үшін екілік санды жазуда екілік санау  жџйесінің индексіне белгі қосылады, мысалы, 110101,1112 .

 

 Екілік санның әрбір разрядын (цифрын) бит деп атайды. Екілік жџйенің маңызды құндылығы - цифрларды физикалық берудің қолайлылығы (мысалы, 1 цифрына электр кернеуінің бар болуы, ал 0 цифрына электр кернеуінің жоқ болуы сѕйкес келуі мџмкін) және екілік сандармен арифметикалық және логикалық операцияларды орындауға арналған компьютер аппаратурасының, дәлірек айтқанда, арифметикалық және логикалық құрылғысының күрделілігінде болып табылады.     

 

Ондық сандар тәрізді, кез келген екілік санды екілік санға кіретін цифрлар  салмағының айырмашылығын анық бейнелейтін қосынды тџрінде жазуға болады. Бұл қосындыда негізі ретінде 2 санын қолдануға болады. Мысалы, 1010101, 101 екілік саны џшін қосындыны тљмендегідей љрнектеуге болады:

 

1*26 +0*25 +1*24 +0*23+1*22+0*21+1*20+1*2-1 +0*2-2+1*2-3

 

  Бұл қосынды ондық сан џшін жазылған қосындының ережесі бойынша жазылады. Берілген мысалда екілік сан жеті таңбалы бџтін саннан, џш таңбалы бљлшек бљліктерінен тұрады. Сондықтан, бүтін бөліктің үлкен цифры, яғни бірлік 27-1=26-не көбейтіледі, бџтін бљліктің нљлге тең келесі цифры, 25-не көбейтіледі және т.с.с., екінің дәрежесі кемуі бойынша ең төменгі дәрежеге дейін, үшінші цифрдың бөлшек бљлігі 23-не көбейтіледі. Осы қосындыда ондық жџйенің ережесі бойынша арифметикалық амалдарды орындай отырып, 85,625 санын аламыз. Осылайша, 1010101,101 екілік саны 85,625 ондық санына сѕйкес келеді, немесе 1010101,1012= 85,62510.

 

     Сандарды көшіру ережесі.  Екілік жџйенің елеулі кемшілігі  - мұнда санды жазу џшін 0 және 1 цифрлары көп пайдаланылады.  Бұл адамның екілік санды қабылдауын  қиындатады. Мысалы, 156 ондық санының екілік жүйедегі түрі мынадай: 10011100. Сондықтан екілік жџйе әдетте компьютердің "ішкі кажеттілігі" џшін қолданылады, ал адамның компьютермен жұмыс істеуі џшін џлкен санау жџйесі тандалады. Бұл кезде сегіздік немесе он алтылық жџйелер жиі қолданылады, өйткені кейін көрсетілетіндей, осы екі жџйелердің және екілік жџйенің арасында санды бір жџйеден басқаға ауыстыруды жеңілдететін карапайым байланыс бар.

 

 Әрбір коэффициент пен екінің  дәрежесінің көбейтінділерінің  қосындысын табу қажет.

 

Тапсырма:

 

1. Санды негізгі дѕрежесінің  қосындысы тџрінде көрсетіңіз:

 

а) 1001,0122;ѕ) 1,100012;

 

б) 0,0001012;в) 1000, 00012

 

2. Сандарды екілік санау жүйесінен  ондық санау жүйесіне ауыстырыңыз:

 

а) 101000112;                   в) 11010112;

 

ѕ) 110110012;                   г) 111012;

 

б) 10010012;                     д) 11101112.

 

Он алтылық санау жџйесі

 

 Екілік санау жџйесін компьютерден  тыс жерде қолдану өте қолайсыз  екенін атап өттік. Мысалы, 89512810=110110101000100110002.

 

    Екілік санды жазуды қысқарту џшін негізі 16 болатын санау жџйесі қолданылады. Бұл жүйені он алтылық санау жүйесі деп атайды.

 

     Он алтылық позициялы  санау жџйесінде санды жазу  џшін ондық санау жџйесінің  цифрлары 0, 1,2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9 жѕне жетпейтін  алты цифрды белгілеу џшін ондық сандарының мәні 10, 11, 12, 13, 14 және 15 болатын сәйкес латын алфавитінің алғашқы џлкен әріптері: A, B, C, D, E, F қолданылады. Осылайша ондық жүйенің барлық цифрлары жѕне сонымен қатар, латынның алты әріптері он алтылық жџйенің -"цифрлары" болып табылады.

 

     Он алтылық жџйенің  барлық цифрларын келтірейік: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B C, D, E, F. Он алтылық  санау жүйесінде F санынан кейін  F+1 саны келеді, ал ондық санау  жүйесіндегі 15 санынан кейін 15+1=16 саны келеді деген жазуға сәйкес келеді.

 

     Сондықтан, он алтылық  санның тџрі, мысалы, 3E5A1 болуы мџмкін. Осы санды негізі 16 болатынын  ескеріп, қосындысы түрінде есептеп  жазсақ, мынаны аламыз:

 

ЗЕ5А116=3*164+E*163 +5*162 +A*161+1*16°

 

  Ондық жүйенің ережесі бойынша  арифметикалық амалдарды орындай отырып жѕне А=10, Е=14 ескерсек, ЗЕ5А116=25539310 санын аламыз. Ондық жүйеге қарағанда он алтылық жүйедегі санның ықшамды екендігін байқауға болады.

 

Тапсырма:

 

1. Сандарды он алтылық санау  жџйесінен ондық санау жџйесіне  ауыстырыңыз:

 

а) 9116;                  в) 23516;

 

ѕ) 4016;                  г) 7С3116;

 

б) 5А16;                 д) Ғ54І6;

 

Көп білгіңіз келсе

 

Сегіздік санау жүйесі

 

  Сегіздік санау жүйесі, яғни  негізі 8 болатын санау жүйесінде  сандар сегіз цифрдың көмегімен  өрнектеледі: 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7. Мысалы, 357 сегіздік санында жеті бірлік, бес сегіз жѕне џш сегіздің квадраты бар, яғни 3578=3*82+5*8'+7*8°, мұнда 357 санының индексі "8" санау жџйесін білдіреді. Жазылған қосындыда ондық жүйенің ережесі бойынша арифметикалық ѕрекеттерді орындай отырып, 3578=23910 аламыз, яғни 357 сегіздік саны 239 ондық санға сәйкес келеді.

 

Тапсырма:

 

1. Сандарды сегіздік санау жџйесінен  ондық санау жџйесіне ауыстырыңыз:

 

а) 5558;                 в)       2358;

 

ѕ) 6368;                 г)       7318;

 

б) 2378;                 д)       3548.

 

Сандарды бір санау жүйесінен  басқа санау жүйесіне ауыстыру

 

     Сандарды бір санау  жүйесінен басқа санау жүйесіне  ауыстыру қажеттілігі жиі туындайды.  Санды екілік, сегіздік немесе  он алтылық жүйеден ондық жџйеге ауыстыру жоғарыда көрсетілген. 

 

Бүтін ондық  сандарды екілік санау жүйесіне ауыстыру

 

  Ондық  санды екілікке ауыстырған кезде  осы санды 2-ге бөлу қажет.  Мысалы, 891 санын ондық жџйеден  екілік санау жүйесіне аудару. Шешімі:

 

891:2=445, қалдық 1

 

445:2=222, калдық 1

 

222:2= 111,қалдық 0

 

111:2=55, қалдық 1

 

55:2=27, қалдық 1

 

27:2=13, қалдық 1

 

13:2=6, қалдық 1

 

6:2=3, қалдық 0

 

3:2=1, қалдық 1

 

1:2=0, қалдық 1 (екілік санның үлкен  цифры).

 

     Бір қатарға соңына  бөліндіні, одан кейін соңғысынан бастап барлық қалдықтарды жазамыз: Жауап: 89110=11011110112.

 

     Ауыстыру ережесі.  Бүтін оң ондық санды екілік  санау жџйесіне ауыстыру үшін  осы санды 2-ге бөлу қажет.  Алынған бљлінді 2-ден кіші  болғанша бљліндіні қайтадан 2-ге  бөле береді. Нәтижені бір қатарға соңғы бөліндіні, одан кейін соңғысынан бастап барлық қалдықтарды жазу керек.

 

Тапсырма:

 

1. Сандарды ондық санау жүйесінен  екілік санау жүйесіне ауыстырыңыз:

 

а) 322;       6)150;

 

в)283;        г)428;

 

д)315;       е)181;  

 

ж) 176.

 

Ондық бөлшектерді  екілік санау  жџйесіне ауыстыру

 

     Ондық бөлшектерді  екілік санау жџйесіне ауыстыру  үшін оны 2-ге көбейтіп, бүтін  бөліктерді іздеу керек.

 

    Мысал. 0,625 ондық бөлшегін  екілік санау жүйесіне ауыстырайық.

 

    Екілік бөлшектің үтірден кейінгі бірінші цифрын табу үшін берілген санды 2-ге көбейтіп және көбейтіндінің бүтін бөлігін бөліп алу қажет.

 

Шешуі:

 

0,625*2=1,250, бүтін бөлігі 1-ге тең. 

 

0,250*2=0,500, бүтін бөлігі 0-ге тең. 

 

0,500*2=1,000, бүтін бөлігі 1-ге тең.

 

     Соңғы көбейтіндінің  бөлшек бөлігі нөлге тең. Ауыстыру  аяқталды.   Бір қатарға алынған  бүтін бөліктің бірінші цифрынан  бастап жазамыз. Жауап: 0,62510=0,1012.

 

     2-ге көбейткенде әрқашан  ондық санның тек қана бөлшек  бөлігі қатысады.

 

   Ауыстыру ережесі. Оң ондық бөлшекті екілік санау жџйесіне ауыстыру үшін бөлшекті 2-ге көбейту қажет. Көбейтіндінің бүтін бөлігі екілік бөлшектің үтірден кейінгі бірінші цифры ретінде алынады да, бөлшек бљлігі екіге көбейтіледі. Екілік бөлшектің келесі цифры ретінде осы көбейтіндінің бүтін бөлігін алады, ал көбейтіндінің бөлшек  бөлігін қайтадан 2-ге көбейтеді және т.с.с.

 

      Ақырғы ондық бљлшекті  екілік санау жџйесіне ауыстырған  кезде периодты бөлшек алынуы  мүмкін.

 

Мысалы, 0,3 ондық бөлшегін екілік санау  жүйесіне келтірейік.

 

Шешуі:

 

0,3*2=0,6 бүтін бөлігі 0-ге тең;

 

0,6*2=1,2 бүтін бөлігі 1-ге тең;

 

0,2*2=0,4 бүтін бөлігі 0-ге тең;

 

0,4*2=0,8 бүтін бөлігі 0-ге тең;

 

0,8*2=1,6 бүтін бөлігі 1-ге тең;

 

0,6*2=1,2 бүтін бөлігі 1-ге тең 

 

0,6 бөлшек бөлік есептеудің екінші катарында болған еді. Сондықтан есепте қайталана бастайды. Демек, екілік санау жџйесінде 0,3 периодты бөлшек түрінде ұсынылады.

 

Жауап: 0,310=0,0(1001)2.

 

    Практикада осы операциялар  үтірден кейін берілген цифр  саны алынғанша жалғасады.

 

Тапсырма:

 

1. Ондық бөлшектерді екілік санау жџйесіне ауыстырыңыз.

 

а) 0,322;                 ѕ) 150,7006;    б) 283,245;

 

в) 315,075;             г) 181,369;      ғ) 176,526.

 

Ондық сандарды он алтылық санау  жџйесіне ауыстыру

 

     Ондық санды он  алтылық санау жџйесіне ауыстыру үшін санды 8-дің орнына 16-ға бөлу қажет.

 

Мысалы, 891 санын ондық жџйеден  он алтылық санау жџйеге ауыстырайық.

 

Шешуі:

 

891:16=55, қалдық 11-ге тең, он алтылық  жџйеде "11 саны" латынның В әріпімен  белгіленеді;