Каноническое представление функции конечного порядка в полуплоскости

                           (2.9)

где

Меру  будем называть полной мерой пары: дивизора D и функции u(x).

Теорема 2.4. Пусть D - дивизор в CC⁺ - вещественная локально интегрируемая функция, x ∈ R ,ρ(r) - уточнённый порядок,  
. Причём мера удовлетворяет условию (2.6), а при целом ρ при некотором a_ρ выполняется условие (2.7), в котором dν(t) = u(t)dt. Тогда функция f(z), определяемая формулой (2.5), в которой числа при k<ρ произвольные, принадлежат классу и почти всюду  
ln|f(x)| = u(x).

Пусть ⍴ - нецелое и дивизор D={(a_n, q_n)}  удовлетворяет условию

.                                        (2.10)

Тогда по теореме 2.4 функция

           (2.11)

принадлежит классу . Её мы будем называть каноническим произведением дивизора D.

Случай целого ⍴ сложнее. Если ⍴ - целое, то из одного условия (2.10) ещё не следует, что функция, определяемая равенством (2.11) принадлежит классу  , для этого нужно ещё выполнение условия (2.7).

Теорема 2.5. Пусть дивизор D удовлетворяет условию (2.10) и ⍴≥1 - целое. Тогда существует константа M и вещественная измеримая функция u(x) ,|u(x) ≤ M × V(|x|), такие, что полная мера пары (D,u) удовлетворяет условию (2.6) и выполняется условие (2.7), причём в (2.8)  .

Заметим, что функция u(x), существование которой утверждается в теореме 2.5, определяется не единственным образом, при этом, если E(z) определена равенством (2.11), то функция

       (2.12)

принадлежит классу  .

Если дивизор D удовлетворяет  условию (2.10) и ⍴≥1 - целое, то функцию E₁(z), определённую равенством (2.12), мы будем называть присоединённой функцией дивизора D.

Подчеркнём, что присоединённая функция дивизора D при целом ⍴≥1 и выполнении условия (2.10) определяется неоднозначно, причём её сингулярная граничная мера равна нулю, почти всюду на вещественной оси ln|E₁(x)|=u(x) и функция u(x) выбирается таким образом, что

|ln|E₁(x)|| ≤ MV(|x|)                                         (2.13)

при некотором M>0.

Замечание. Имеется и другое определение присоединённой функции дивизора D в случае ⍴≥2. В качестве присоединённой функции E₁(z) берётся каноническое произведение дивизора D⋂A, при этом точки множества |A| образуют слабо регулярное множество  и лежит на двух лучах rgz=π/(2⍴) и rgz=3π/(2⍴).