Каноническое представление функции конечного порядка в полуплоскости

Содержание

 

1. Вступление
2. Уточнённый порядок и его свойства.
3. Каноническое представление функции конечного порядка в полуплоскости.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Вступление

 

В теории и практике применения функций комплексного переменного  интерес представляют дифференцируемые функции, причем имеющие производные  не в отдельных точках, а на множествах — в областях. Такие функции  называют аналитическими.

Аналитические функции широко распространены в математике и ее физических приложениях. Ряд задач  классического вещественного анализа  решается переходом к комплексным  переменным. Все элементарные и специальные функции аналитичны в тех или иных областях, причем выход в комплексную плоскость обнаруживает глубокие связи между этими функциями. Теория аналитических функций прямо связана с теорией двумерного уравнения Лапласа и, следовательно, с теорией гармонических функций. Важной характеристикой аналитической функции являются ее особенности, т. е. точки комплексной плоскости, в которых нарушается аналитичность. Классификация особенностей аналитической функции позволяет во многом охарактеризовать и свойства функции в целом.

Функции комплексной переменной использовались уже в 18 в., в частности  в работах Л. Эйлера (L. Euler). Окончательно теория аналитических функций одной переменной оформилась в работах О. Коши (А. Cauchy), К. Вейерштрасеа (К. Weierstrass) и Б. Римана (В. Riemann) в 19 в. Теория аналитических функций многих переменных продолжает интенсивно развиваться.

Теория интерполяции аналитическими функциями, рождение которой связано  с именами Ньютона и Лагранжа, является важной отраслью современного анализа. Интерес к этой тематике обусловлен обширной сферой её приложений в вопросах полноты систем аналитических функций в комплексной области, в теорий дифференциальных уравнений, уравнений в свёртках, краевых задачах, задачах оптимального управления и других областях математики.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Уточнённый порядок и его свойства.

 

Определение 1.1. Абсолютно непрерывная функция ρ(r) ,r ∈ (0, +∞), называется уточнённым порядком в смысле Валирона, если выполняются следующие два условия:

1) ,

2) существует множество E - нулевой меры такое, что

 

Функцию мы будем обозначать через V(r). В дальнейшем мы будем рассматривать только случай >0. При таком ограничении функция V(r) является возрастающей в некоторой окресности бесконечности. Мы будем дополнительно требовать, чтобы функция V(r) была возрастающей на всей полуоси (0;+∞), причём . Это ограничение носит технический характер и не уменьшает общности наших дальнейших рассуждений, упрощая в некоторых случаях доказательства. Так, если для аналитической функции f(z) в некоторой окрестности бесконечности справедливо неравенство ln|f(z)|≤MV(|z|), то указанное ограничение на функцию V(r) позволяет в этом случае сделать заключение, что указанное неравенство, возможно с другой константой, справедливо во всей полуплоскости.

Определение 1.2. Положительная функция L(r) называется медленно растущей, если

 

равномерно на любом отрезке 0 < a ≤ h ≤ b < ∞.

В дальнейшем мы будем обозначать через.

Такое обозначение оправдано следующей леммой.

Лемма 1.1. При любом уточнённом порядке (r)L(r) - есть медленно растущая функция.

Приведём необходимые  в дальнейшем свойства уточнённого  порядка и медленно растущих функций.

1) Равномерно по параметру k на любом отрезке 0 < a ≤ k ≤ b < ∞ выполняется соотношение

 

Отсюда, в частности, следует свойство 2.

2) При любом , если q ≤ r' /r" ≤ 1/ q.

Если уточнённый порядок снабжается индексом i, то мы будем обозначать

.

3) Пусть f(r) - положительная функция, (r) - уточнённый порядок,

                                          (1.1)

Тогда существует уточнённый порядок такой, что

,                  (1.2)

кроме того, выполняется  равенство (1.1) с заменой V(r) на в знаменателе левой части.

4) Равномерно по параметру k на любом отрезке 0 < a ≤ k ≤ b < ∞

                               (1.3)

Доказательство. В силу леммы 1.1 равномерно на любом отрезке  
0 < a ≤ k ≤ b < ∞  L(t)=L(r)(1+0(r)) ,r→∞ если t∈[r,kr]. Подставляя вместо L(t) это выражение в левую часть равенства (1.3), получим требуемое.

5) Пусть a, b > 1 ,M > 0 - заданные числа. Тогда существуют числа 
K, N > 0 такие, что

 

Доказательство. Пусть x₀ таково, что при x ≥ x выполняется неравенство ρ(x) + x ρ'(x) ln x ≥ ρ/2. Из свойства 1 следует, что

 

Простым дифференцированием убеждаемся, что функция  принимает наибольшее значение при x, удовлетворяющем условию:

.         (1.4)

6) Пусть f(r) – положительная функция при r∈(0,∞),

                                  (1.5)

 Тогда существует уточнённый порядок ρ(r) такой, что

 и

                               (1.6)

7)При λ < ρ + 1 , a > 0

              (1.7)

При λ > ρ + 1

                (1.8)

Определение1.3. Верхней относительной мерой измеримого множества U , U ∈ (0,∞), называется

где mesG означает лебегову меру множества G. Еслӣ , то U называется множеством нулевой относительной меры, или E⁰ − множеством.

Заметим, что функция

                                (1.9)

монотонно стремится к нулю при r→∞.

Верхней линейной плотностью множества кружков в комплексной плоскости называется число

где a_n − центр, r_n – радиус кружка C_n.

Еслӣ то множество (C_n) называется множеством кружков нулевой линейной плотности, или C⁰ − множеством.

В дальнейшем будет полезна лемма, полученная А.Ф.Гришиным, о гладких мажорантах функций, сходящихся к нулю.

Лемма 1.3. Пусть при r→∞ ε(r)↓0 ,φ(r)↑∞ ,φ(a)>0 , φ − дифференцируемая функция, . Тогда

1. при, r→∞,
2. ε₁(r) – абсолютно непрерывная функция,
3. ε₁(r)φ(r) – неубывающая функция,
4. , где . В частности, если φ(r)=ln r, то при r ≥ 2

 

 

 

3. Каноническое  представление функции конечного  порядка в полуплоскости

 

В теории целых функций  конечного порядка фундаментальную  роль играет классическая теорема Адамара  о каноническом представлении целой  функции конечного порядка. При изучении функций конечного порядка в полуплоскости , аналогичную роль играет другое каноническое представление.

Обозначим через C(a,r) открытый, а через K(a,r) - замкнутый круг с центром в точке a радиуса r. Через C⁺(a,r), K⁺(a,r) мы будем обозначать соответственно полукруги C⁺(a,r) ∩ CC⁺  и K⁺(a,r) ∩ CC⁺.

Определение 2.1 Пусть даны последовательность различных комплексных чисел и последовательность чисел . Множество пар называется дивизором D. называется кратностью точки в дивизоре D.

Условимся о таких обозначениях: , если и - дивизоры, то включение D ⊂ D' означает, что  
|D| ⊂ |D'| и, если , то . По заданному дивизору

определим следующие меры:

  

Если это не будет вызывать недорозумений, то индекс D в выражениях будем опускать. Дивизор корней произвольной функции f(z) будем обозначать через . Обозначим через

В частности, положим 

Говоря о дивизоре корней некоторой функции f(z), мы иногда будем обозначать его через , где в последовательности каждая точка встречается ровно раз.

Определение 2.2. Классом AK называется множество функций f(z), аналитическиx в открытой полуплоскости CC⁺ и ограниченных в любом полукруге C⁺(0, r), r > 0.

Функция класса AK в точках вещественной оси R мы доопределяем по формуле

когда z стремится к t по любому некасательному пути. Такой предел существует почти всюду. Там же, где он не существует полагаем

Теорема 2.1. Пусть f ∈ AK и пусть μ - риссовская мера субгармонической функции ln |f(z)|. Тогда

1) существует мера ν  на вещественной оси R, имеющая ограниченную полную вариацию на любом сегменте [a,b] причём, если ν({a})=ν({b})=0, то

2) для почти всех в  смысле меры Лебега x ∈ R существует предел , причём ln|f(x)| принадлежит классу , интегрируемых по мере Лебега функций на любом сегменте [a,b],

3) dν(x) = ln |f(x)|dx + dσ(x), где σ - сингулярная относительно меры Лебега мера на вещественной оси,

4) если , то мера конечна на любом ограниченном борелевском множестве GCC⁺,

5) для любого .

Заметим, что . Кроме риссовской меры μ и меры , введенной в п.4 теоремы 2.1, будем ещё рассматривать неванлинновскую меру , определяемую равенством . Таким образом . Меры μ и будем также называть внутренними мерами субгармонической функции ln|f(z)|. Мера ν называется граничной мерой функции f(z), а мера σ называется сингулярной граничной мерой функции f(z).

Определение 2.3. Полной мерой функции f ∈ AK называется мера , при этом мера ν рассматривается как мера в , причём dν(z) − 0, если ℑz > 0.

Все рассматриваемые меры мы будем считать продолженными  в комплексную плоскость, считая их ограничение на нижнюю полуплоскость  ℑz<0 нулевой мерой, а если речь идёт о внутренних мерах, заданных в CC⁺, то их ограничение на вещественную ось - есть нулевая мера. Граничная мера ν, вообще говоря, знакопеременная мера.

Теорема 2.2. Пусть функция f ∈ AK , n ≥ 0 - кратность нуля функции f(z) в точке a, aCC⁺, - граничная мера функции f(z). Тогда справедливы следующие формулы:

               (2.1)

                (2.2)

Определение 2.4. Пусть функция f(z) голоморфна в CC⁺. Уточнённый порядок ρ(r) называется полуформальным порядком функции f(z), если существует такая константа M, что для всех z CC⁺ выполняется неравенство

ln|f(z)| < MV(|z|)                                               (2.3)

и выполняется следующее  условие Б.Я.Левина: существуют числа q∈(0;1), δ∈(0; π/2), M такие, что в каждой области

найдётся точка z, в которой выполняется неравенство

ln|f(z)| > −MV(|z|).                                                (2.4)

Если выполняется только условие (2.3), то ρ(r) называется формальным порядком функции f(z).

Заметим, что если , то формальный порядок функции f(z) является её полуформальным порядком. При ≤1 - это, вообще говоря, неверно.

Из неравенства (2.3) следует, что всякая функция формального  порядка ρ(r) принадлежит классу AK.

Определение 2.5. Классом назовём множество функций, для которых ρ(r) является полуформальным порядком.

Определение 2.6. Голоморфная  в CC⁺ функция f(z) называется функцией конечного порядка, если существует уточнённый порядок ρ(r), являющийся её формальным порядком.

Пусть - множество чисел ρ вида , где ρ(r) - полуформальный порядок функции f(z). Порядком функции f(z) в CC⁺ называется число .

Если ρ_1,f - порядок в смысле эквивалентных между собой определений Е.Титчмарша и Н.В.Говорова, то ρ_1,f≤ ρ_f.

Определение 2.7. Классом , назовём множество голоморфных в CC⁺ функций, порядок которых не превосходит ρ.

Чтобы сформулировать основную теорему о представлении функции  из класса , введём, следуя, канонический множитель Бляшке - Неванлинны:

Теорема 2.3. Пусть - полная, а ν - граничная мера функции f(z). Тогда существуют вещественные постоянные a₀, …, a_q такие, что

1)                            (2.5)

все входящие в (2.5) бесконечные  произведения и интегралы сходятся абсолютно,

2)                                                               (2.6)

3)

4) если ρ=q, то                                                         (2.7)

где

                       (2.8) 

Пусть заданы дивизор DCC⁺ и вещественная локально интегрируемая функция u(x), x∈R. Определим меру формулой