Этапы построения математической модели

Совокупность математических соотношений указанных двух классов определяет оператор модели. В большинстве случаев оператор модели включает в себя систему обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений в частных производных и интегро-дифференциальных уравнений. Для обеспечения корректности постановки задачи к системе уравнений добавляются начальные или граничные условия, которые, в свою очередь, могут быть алгебраическими или дифференциальными соотношениями различного порядка.

Для контроля правильности полученной системы математических соотношений требуется проведение ряда обязательных проверок:

• Контроль размерностей, включающий правило, согласно которому приравниваться и складываться могут только величины одинаковой размерности.
• Контроль порядков, состоящий из грубой оценки сравнительных порядков складываемых величин и исключением малозначимых параметров.
• Контроль характера зависимостей заключается в проверке того, что направление и скорость изменения выходных параметров модели, вытекающие из математических соотношений, такие, как это следует непосредственно из «физического» смысла изучаемой модели.
• Контроль экстремальных ситуаций - проверка того, какой вид принимают математические соотношения, а также результаты моделирования, если параметры модели или их комбинации приближаются к предельно допустимым значениям, чаще всего к нулю или бесконечности. В подобных экстремальных ситуациях модель часто упрощается, математические соотношения приобретают более наглядный смысл, упрощается их проверка.
• Контроль граничных условий, включающий проверку того, что граничные условия действительно наложены, что они использованы в процессе построения искомого решения и что значения выходных параметров модели на самом деле удовлетворяют данным условиям.
• Контроль физического смысла - проверка физического или иного смысла исходных и промежуточных соотношений.
• Контроль математической замкнутости, состоящий в проверке того, что выписанная система математических соотношений дает возможность, притом однозначно, решить поставленную математическую задачу. Например, если задача свелась к отысканию n неизвестных из некоторой системы алгебраических уравнений, то контроль замкнутости состоит в проверке того, что число независимых уравнений должно быть n. Если их меньше n, то надо установить недостающие уравнения, а если их больше n, то либо уравнения зависимы, либо при их составлении допущена ошибка. Однако если уравнения получаются из эксперимента или в результате наблюдений, то возможна постановка задачи, при которой число уравнений превышает n, но сами уравнения удовлетворяются лишь приближенно, а решение ищется, например, по методу наименьших квадратов

Понятие корректности задачи имеет большое значение в прикладной математике. Например, численные методы решения оправдано применять лишь к корректно поставленным задачам. Доказательство корректности конкретной математической задачи - достаточно сложная проблема.

Математическая модель является корректной, если для нее осуществлен и получен положительный результат всех контрольных проверок размерности, порядков, характера зависимостей, экстремальных ситуаций, граничных условий, физического смысла и математической замкнутости.

Пример. Математическая постановка задачи.

Требуется найти зависимости x(t), y(t) и Vx(t), Vy(t) из решения системы дифференциальных  уравнений:

,            

,      

при следующих начальных условиях:

x(0) = x0 ,                           y(0) = y0 ,

Vx(0) = V0 cos a ,      Vy(0) = V0 sin a

Как можно видеть, с математической точки зрения задача о баскетболисте свелась к задаче Коши для системы ОДУ первого порядка с заданными начальными условиями. Полученная система уравнений является замкнутой, т.к. число независимых уравнений (4) равно числу искомых параметров задачи (x, y, Vx, Vy). Выполним контроль размерности задачи:

уравнение динамики

связь скорости и перемещения

Существование и единственность решения задачи Коши доказана математиками. Поэтому данную математическую модель можно считать корректной.

2.4. ВЫБОР И ОБОСНОВАНИЕ ВЫБОРА МЕТОДА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

При использовании разработанных математических моделей, как правило, требуется найти зависимость некоторых неизвестных заранее параметров объекта моделирования (например, координат и скорости центра масс тела), удовлетворяющих определенной системе уравнений. Таким образом, поиск решения задачи сводится к отысканию некоторых зависимостей искомых величин от исходных параметров модели. Как было отмечено ранее, все методы решения задач, составляющих «ядро» математических моделей, можно подразделить на аналитические и алгоритмические.

Аналитические методы более удобны для последующего анализа результатов, но применимы лишь для относительно простых моделей. В случае, если математическая задача допускает аналитическое решение, оно, без сомнения, предпочтительнее численного.

Алгоритмические методы сводятся к некоторому алгоритму, реализующему вычислительный эксперимент с использованием ЭВМ. Точность моделирования в подобном эксперименте существенно зависит от выбранного метода и его параметров (например, шага интегрирования). Алгоритмические методы, как правило, более трудоемки в реализации, требуют обширной библиотеки специального программного обеспечения и мощной вычислительной техники.

Общим для всех численных методов является сведение математической задачи к конечномерной. Это чаще всего достигается дискретизацией исходной задачи, т.е. переходом от функции непрерывного аргумента к функциям дискретного аргумента. Например, траектория центра тяжести баскетбольного мяча определяется не как непрерывная функция времени, а как дискретная функция координат от времени. Полученное решение дискретной задачи принимается за приближенное решение исходной математической задачи.

Применение любого численного метода неминуемо приводит к погрешности результатов решения задачи. Выделяют три основных составляющих погрешности при численном решении исходной задачи:

• неустранимая погрешность, связанная с неточным заданием исходных данных (начальные и граничные условия, коэффициенты и правые части уравнений);
• погрешность метода, связанная с переходом к дискретному аналогу исходной задачи;
• ошибка округления, связанная с конечной разрядностью чисел, представляемых в ЭВМ.

Численный, или приближенный, метод реализуется всегда в виде вычислительного алгоритма. Прежде всего, алгоритм должен быть реализуем - обеспечивать решение задачи за допустимое машинное время. Важной характеристикой алгоритма является его погрешность. Для очень малых значений погрешности время вычислений может быть недопустимо большим. Поэтому на практике добиваются некоторого компромисса между точностью и затрачиваемым машинным временем.

Если погрешность в процессе вычислений неограниченно возрастает, то такой алгоритм называется неустойчивым, или расходящимся. В противном случае алгоритм называется устойчивым, или сходящимся.

2.5. РЕАЛИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ  МОДЕЛИ В ВИДЕ ПРОГРАММЫ для  ЭВМ 

Процесс создания программного обеспечения можно разбить на ряд этапов:

• составление технического задания на разработку программного обеспечения;
• проектирование структуры программного комплекса;
• кодирование алгоритма;
• тестирование и отладка;
• сопровождение и эксплуатация.

Техническое задание на разработку программного обеспечения оформляют в виде спецификации. Примерная форма спецификации включает следующие семь разделов:

1. Название задачи - дается краткое  определение решаемой задачи, название программного комплекса, указывается система программирования для его реализации и требования к аппаратному обеспечению (компьютеру, внешним устройствам и т.д.).

2. Описание - подробно излагается  математическая постановка задачи, описываются применяемая математическая модель для задач вычислительного характера, метод обработки входных данных для задач не вычислительного (логического) характера и т.д.

3. Управление режимами работы программы - формируются основные требования к способу взаимодействия пользователя с программой – описывается интерфейс «пользователь-компьютер».

4. Входные данные - описываются  входные данные, указываются пределы, в которых они могут изменяться, значения, которые они не могут принимать, и т.д.

5. Выходные данные - описываются  выходные данные, указывается, в каком виде они должны быть представлены (в числовом, графическом или текстовом), приводятся сведения о точности и объеме выходных данных, способах их сохранения и т.д.

6. Обработка ошибок - перечисляются возможные ошибки пользователя при работе с программой (например, ошибки при вводе входных данных). Указываются способы диагностики (под диагностикой понимается, обнаружение ошибок при работе программного комплекса) и защиты от этих ошибок, а также возможная реакция пользователя при совершении им ошибочных действий и реакция программного комплекса (компьютера) на эти действия.

7. Тестовые задачи - приводятся один или несколько тестовых примеров, на которых в простейших случаях проводится отладка и тестирование программного комплекса.

Для  повышение надежности программного обеспечения и увеличение производительности труда программиста разработаны современные технологии программирования: объектно-ориентированная и визуальная, которые мы будем изучать на практических занятиях.

Изучим модель в системе AnyLogic с использованием тестового примера

AnyLogic является инструментом моделирования, основанным на новых, нетрадиционных для области имитационного моделирования принципах. Вместо того чтобы долго рассказывать об особенностях этого инструмента, мы сразу начнем с изучения простейшей модели.

2.6. ПРОВЕРКА АДЕКВАТНОСТИ  МОДЕЛИ 

Под адекватностью математической модели понимается степень соответствия результатов моделирования – экспериментальным данным или тестовой задаче.

Проверка адекватности модели преследует две цели:

1. убедиться в справедливости гипотез, принятых на этапах концептуальной и математической постановок.
2. установить, что точность полученных результатов соответствует точности, оговоренной в техническом задании.

Проверка разработанной математической модели выполняется путем сравнения с имеющимися экспериментальными данными о реальном объекте или с результатами других, созданных ранее и хорошо себя зарекомендовавших моделей. В первом случае говорят о проверке путем сравнения с экспериментом, во втором - о сравнении с результатами решения тестовой задачи.

Решение вопроса о точности моделирования зависит от требований, предъявляемых к модели, и ее назначения. В моделях, предназначенных для выполнения оценочных расчетов, удовлетворительной считается точность 10-15 %. В моделях, используемых в управляющих системах, требуемая точность может быть 1-2% и даже более.

Как правило, различают качественное и количественное совпадение результатов сравнения. При качественном сравнении требуется лишь совпадение некоторых характерных особенностей исследуемых параметров (например, наличие экстремальных точек, возрастание или убывание параметра). При количественном сравнении большое значение следует придавать точности исходных данных для моделирования и соответствующих им значений сравниваемых параметров.

Неадекватность результатов моделирования возможна, по крайней мере, по трем причинам:

1. значения задаваемых параметров модели не соответствуют допустимой области этих параметров, определяемой принятой системой гипотез
2. принятая система гипотез верна, но константы и параметры в использованных определяющих соотношениях установлены не точно.
3. не верна исходная совокупность гипотез.

Все три случая требуют дополнительного исследования как моделируемого объекта (с целью накопления новой дополнительной информации о его поведении), так и исследования самой модели (с целью уточнения границ ее применимости).

При возникновении проблем, связанных с адекватностью модели, ее корректировку требуется начинать с последовательного анализа всех возможных причин, приведших к расхождению результатов моделирования и результатов эксперимента. Проверка адекватности – чрезвычайно важный этап моделирования. Попытка проигнорировать его и быстрее перейти к решению «настоящей задачи» приводит к огромным временным издержкам. Особенно опасной является ситуация, в которой при решении реальной задачи с использованием не проверенной должным образом модели получаются правдоподобные результаты. Для других условий модель может дать качественно неверные результаты, но истоки ошибок разработчики будут искать уже не в модели .