Элементы теории множеств

Дополнением нечеткого множества А называется нечеткое множество с функцией принадлежности  μ (x)=1-μ_А (x).

Пусть нечеткие множества  А и В заданы соответственно табл. 1.2 и 1.3.

Таблица 1.2

x	2	4	6	8	9	11
μА (x)	0.1	0	0,7	0,2	0	0,9

Таблица 1.3

x	2	4	6	8	9	11
μВ (x)	0	0,1	0,3	0,8	0,1	0,8

Тогда нечеткое множество  задается табл. 1.4.

Таблица 1.4

x	2	4	6	8	9	11
μ (x)	0,9	0,9	0,3	0,2	0,9	0,1

 

Пример. Начальник отдела информационных технологий Ефремов решил составить математико-психологический портрет работников своего отдела, оценив степень принадлежности каждого из них двум наиболее важным, по мнению Ефремова, множествам, характеризующим личностные качества: множеству А добрых людей и множеству В трудолюбивых людей.

Результаты он оформил  следующим образом (табл. 1.5):

Таблица 1.5

Сотрудники	1	2	3	4	5	6	7	8
μА	0,8	0,7	0,4	0,9	0,3	0,5	0,6	0,4
μВ	0,3	0,6	0,8	0,7	0,6	0,5	0,8	0,9
μА В	0,3	0,6	0,4	0,7	0,3	0,5	0,6	0,4

 Общий показатель каждого сотрудника по совокупности признаков А и В будет определяться функцией μ_{А В}(x) которая показана в нижней строке таблицы. Следовательно, сотрудник под номером 4 - является лидером по совокупности двух рассматриваемых признаков.

Лутфи Заде считает, что вся математика (а не только теория множеств) должна быть нечеткой, ибо человек, по его мнению, рассуждает, обучается и принимает решение в нечеткой, расплывчатой обстановке.

1.2 Соответствия

Понятие соответствия.

Понятием соответствия мы сталкиваемся постоянно в повседневной жизни. Например  каждому студенту после экзамена соответствует оценка, а каждому госслужащему — его оклад.

Определение. Соответствием R между множествами Х и У называется подмножество R декартова произведения Х У:

R Х У.

Множество Х в этом случае называют областью отправления данного соответствия, а множество У - его областью прибытия.

 Для наглядного изображения соответствий применяют графы. Для этого элементы каждого из множеств Х и У изображают точками на плоскости, после чего проводят стрелки от х к у, если (х,у) принадлежит соответствию.

Например, на рис. 1 изображено соответствие «юноша х дружит с девушкой у».

Многие соответствия обозначаются специальными знаками, поставленными между элементами х и у. Например, соответствие «прямая х параллельна прямой у» обозначают х║у. В общей теории соответствий пишут x R y, чтобы обозначить, что элементы x и y находятся в соответствии R.

Пусть X множество больных, находящихся на излечении в больнице, а Y множество их болезней. Тогда x R y обозначает, пациент х страдает болезнью y.  Понятно, что одной и той же болезнью в данной больнице может страдать не один больной, а отдельно взятый пациент может страдать несколькими болезнями. Значит, если взять какого-либо больного а, то ему соответствует множество R(а), состоящее из болезней, которыми он болеет. Аналогично болезни b соответствует множество R (b), состоящее из больных, страдающих этой болезнью.

 Множество R(а) называют образом пациента, а при соответствии R, а множество R^-1(b) прообразом болезни b при том же соответствии. Определим эти понятия в общем виде. Пусть R—соответствие между множествами Х и Y и а — элемент из Х. Назовем образом этого элемента множество R(а) всех у У, таких, что а R у. Прообразом элемента b Y при том же соответствии назовем множество R^-1(b)  элементов х Х - таких, что х R b.

        Рис.1.

 На рис.1: R (Ваня) = {Наташа, Таня}; R (Володя) = {Наташа}; R (Петя)=Ø; R (Игорь)=Ø;   R^-1 (Наташа)={Ваня, Володя}; R^-1 (Оля)=Ø; R^-1 (Таня) = {Ваня}.

 Если множества Х и Y конечны и соответствие R между ними изображено графом, то R(а) состоит из концов всех стрелок, начинающихся в точке а, а R^-1(b) — из начал всех стрелок, оканчивающихся в точке b.

Любому подмножеству А множества Х соответствует его образ R (А) в У. Этот образ является объединением образов всех элементов из А, т. е. R (А) = R (а).

Образ всего множества  Х при этом соответствии называют множеством (или областью) значений соответствия R и обозначают R (X). Если соответствие R задано графом, то R (Х) состоит из концов всех стрелок графа.

Точно так же любому подмножеству В множества У соответствует  его прообраз R^-1 (В) — объединение прообразов всех элементов из В. Иными словами, R^-1 (В) = В(b).

Прообраз всего множества У при соответствии R называют областью определения этого соответствия и обозначают R^-1 (У). Если соответствие R задано графом, то областью его определения является множество начал всех стрелок. Например, на рис. 1 областью определения соответствия R является множество R^-1(У) = {Ваня, Володя}, а областью значений R (Х) = {Наташа, Таня}.

Виды соответствий.

Иногда область определения R^-1 (У) соответствия R совпадает с  областью отправления Х, т. е. для любого а Х найдется такое у У, что а R у. В этом случае говорят, что соответствие R всюду определено. Например, если вся студенческая группа Х явилась на экзамен, то соответствие R - «студент х получил отметку у» - всюду определено (R^-1 (У) = Х).

 Если область значений R (Х) соответствия R совпадает с его областью прибытия У, то говорят, что это соответствие сюръективно. В этом случае каждый элемент b из У является образом какого-нибудь элемента из Х. Пусть на экзамене студенты показали самые разные знания — от плохих до отличных, т. е. R (Х) = {2, 3, 4, 5}. Тогда вышеупомянутое отношение «студент а получил отметку b» сюръективно (R (Х) = У).

 Если соответствие задано графом и всюду определено, то из каждой точки множества Х выходит хоть одна стрелка (рис. 2).

         Рис.2.                          Рис.3.

Если же оно сюръективно, то каждая точка множества У является концом какой-нибудь стрелки (рис. 3).

Соответствия различаются и по числу элементов в образах и прообразах элементов. Если при соответствии R образ каждого элемента х Х или пуст, или содержит лишь один элемент, то R называют функциональным соответствием, или функцией. Иными словами, соответствие R функционально, если из того, что х R y₁ и х Rу₂, можно сделать вывод: y₁=у₂. Таким образом, в графе функционального соответствия нет расходящихся стрелок, он таков, как на рис. 4, — из каждой точки множества Х не выходит ни одно стрелки или выходит одна стрелка.

                    Рис. 4.                         Рис. 5.

Всюду определенное функциональное соответствие называют отображением множества Х в множество У. Таким образом, R является отображением Х в У, если для любого х Х найдется одно и только одно у У, такое, что х R у.

 Соответствие между множеством студентов, сдававших экзамен, и полученными оценками является функциональным, если множество студентов — область определения, а оценки — множество значений соответствия.

Наконец, бывают соответствия, при которых прообраз любого элемента у  У либо пуст, либо содержит лишь один элемент. Иными словами, для таких соответствий из x₁ R у и х₂ R у следует: х₁ = х₂. Эти соответствия называют инъективными. Граф инъективных соответствий не может содержать стрелок, сходящихся в одной точке, т. е. он таков, как на рис. 5.

 Например, соответствие  «сидит за» между множеством Х студентов и множеством У столов не является инъективным, так как за одним и тем же столом могут сидеть несколько студентов. А соответствие «сидит на» между множеством Х студентов и множеством У стульев является инъективным (так как на одном стуле может сидеть не более одного студента). Инъективные функциональные соответствия называют обратимыми.

 Если соответствие обладает всеми четырьмя свойствами (т. е. всюду определено, сюръективно, функционально и инъективно), то оно называется биективным. Иными словами, R биективно, если оно является таким отображением Х в Y, что образ Х совпадает с Y и никакие два элемента из Х не переходят в один и тот же элемент из Y, т. е. это взаимно однозначное соответствие между множествами (см. § 1). Граф биективного соответствия показан на рис. 6.

      Рис. 6.

Множества являются равномощными, если между ними можно установить биективное соответствие.

1.3 Отношения

Понятия и определения

В соответствии “студент, а учится в одной группе со студентом b” — и а, и b принадлежат к одному и тому же множеству студентов. А, например, в соответствии “число х больше числа у” и х, и у принадлежат одному и тому же множеству действительных чисел. Соответствия, для которых области отправления и прибытия совпадают, играют особую роль во многих вопросах, и потому им присвоено особое название — они называются отношениями. При этом, поскольку речь идет об элементах одного и того же множества Х, будем говорить не об отношениях между Х и Х^/, а об отношениях во множестве Х. Например, дружба — отношение в студенческой группе, быть сыном, быть моложе — на множестве людей.

Поскольку понятие отношения  частный случай понятия соответствия, то все сказанное о соответствиях переносится на отношения.

Некоторые особенности  у отношений (по сравнению с соответствиями в общем случае) все-таки имеются. Например, отношение R^-1, обратное отношению R в множестве Х, само является отношением в том же самом множестве (так как в этом случае в записи х R у и х, и у принадлежат Х). При этом у R^-1 х в том и только в том случае, когда х R  у. Если, скажем, Х — множество людей и R — отношение “быть женатым на”, то обратным ему будет отношение “быть замужем за”, поскольку х женат на у в том и только в том случае, когда у является женой х.

Точно так же, если R и S — отношения в Х, то их композиция RS также является отношением в Х. При этом и SR также отношение в Х, причем следует иметь в виду, что, вообще говоря, RS и SR не совпадают. Например, если R — отношение “быть братом”, а S — “быть женой”, то RS отношение “быть братом жены”, а SR “быть женой брата”.

Свойства  отношений.

Пусть на множестве Х  задано отношение R. Будем брать любые пары (х, у) из этого множества и смотреть - верно для них х R у или ложно. В частности, можно брать (х, х), состоящее из одинаковых элементов. Может случиться, что для всех таких пар истинно х R х. Например, отношение “учиться в одной группе” на множестве студентов таково, что х R х для всех х — любой студент учится в одной группе сам с собой. Точно так же — отношение равенства на множестве чисел — для любого х из этого множества выполняется х R х, ибо любое число равно самому себе.

Такое отношение будем  называть рефлексивным (от латинского слова reflectio — отражение, в записи х R х элемент х как бы отражается в букве R). Таким образом, отношение R в множестве Х называется рефлексивным, если для всех х Х имеем х R х.

Если же ни для какого х Х не выполняется х R х, такое отношение называется антирефлексивным. Антирефлексивны отношения “выше” и “ниже”, “легче” и “тяжелее”.

В некоторых отношениях х и у находятся в симметричном, равноправном положении, т.е. так, что  из х R у всегда вытекает у R х. Например, отношение “быть знакомым” в множестве людей обладает этим свойством: если х знаком с у, то, значит, и у знаком с х.

Свойство отношения R, заключающееся в том, что из х R у следует у R х, называется симметричностью этого отношения. Можно сказать также, что отношение R симметрично тогда и только тогда, когда оно совпадает с обратным ему отношением: R=R^-1.

Конечно, не всякое отношение  обладает свойством симметричности. Если Вы знаете Ельцина, совсем не обязательно, что он Вас знает.