Элементы теории множеств

МОСКОВСКИЙ ГУМАНИТАРНО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ  ИНСТИТУТ

КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И  ИНФОРМАТИКИ

 

 

 

Тема 1: Элементы теории множеств.

 

 

Учебные цели:

Дать основные понятия  и определения теории множеств; рассмотреть  операции над множествами; дать основные понятия, определения и виды соответствий; основные понятия, определения и свойства отношений.

 

 

Вопросы:

 

1. Множества.
2. Соответствия.
3. Отношения.

 

Автор фондовой лекции:

старший преподаватель кафедры  математики и информатики 

Грибова Е.П.

Рецензенты:

1._____________________________________________________________

2._________________________________________________________________

 

Лекция обсуждена  и одобрена на заседании кафедры  математики и информатики

Протокол №      от «       » ____________200__г.

 

1.1.  Множества

 Основные понятия теории множеств.

Одна из важнейших  задач психологии понять, как человек  мыслит, как он видит окружающий его мир и себя в нем. Внешний  мир представляется человеку через  конкретные предметы и явления. Каждый предмет обладает рядом признаков. Он может быть сходным с другим предметом или, напротив, отличаться от него. Сравнивая предметы, можно обнаружить в них некоторые общие признаки, что позволяет объединить их в определенный класс. Такие классы и называются множествами. Например, в один класс (в одно множество) мы отнесем лужу перед нашим домом, озеро Ильмень, Каспийское море и Северный Ледовитый океан (это будет множество природных водоемов).

Определение. Множеством называется такой класс (совокупность) каких-либо объектов, обладающих одним и тем же признаком, что объекты, не входящие в этот класс, таковым признаком не обладают.

Это определение нестрогое, математически строгого определения  здесь дать нельзя, ибо не существует более широкого понятия, чем множество. Создатель теории множеств Георг  Кантор говорил, что «множество есть многое, мыслимое нами как целое».

Для психологии понятие множества  является весьма продуктивным, ибо  психологов как раз и интересуют процессы образования понятий, выделения  признаков и их обобщения.

Обычно множества обозначаются прописными латинскими буквами А, В, С,... Множества состоят из элементов, которые принято обозначать строчными буквами а, b, с,... Если элемент а принадлежит множеству А, то это записывается так: а А, а если не принадлежит, то используется запись а А.

Обозначим буквой М множество высказываний мудрецов древней Греции. Фраза а: «Познай самого себя» принадлежит множеству M ,а фраза b «Пролетарии всех стран соединяйтесь!»- нет, т. е. а M , b M.

Множество считается  заданным, если известно, какие элементы в него входят, а какие - нет.  Существуют два основных способа задания  множеств:

1. перечислением элементов. Пусть, например, В — множество студенческих оценок. Тогда В = {2, 3, 4, 5}. Фигурные скобки показывают, что его элементы объединены в одно целое;
2. указанием характеристического свойства. Предположим, мы хотим задать множество всех психологов. Пусть это будет множество Р, Характеристическим свойством назовем тот признак (в данном случае «быть психологом»), которым обладают элементы данного множества, а все другие объекты не обладают. Это принято записывать так: Р = {х | х — психолог}.

 Множества бывают конечные и бесконечные. Конечные множества содержат конечное число элементов. Множества, не являющиеся конечными, называются бесконечными.

Число элементов конечного  множества называется его мощностью. Мощность множества А обозначают |А|. Пусть, например, А = {а,b,с,d,е}. Тогда |А| = 5.

 Множества, содержащие  одинаковое количество элементов (более точно, множества, между элементами которых можно установить взаимнооднозначное соответствие) называются равномощными. И если множество В = {1, 2, 3, 4, 5}, то оно равномощно приведенному множеству А: |А| = |B| = 5.

Для бесконечных множеств картина взаимно однозначное соответствие), называются равномо более сложная. С точки зрения теории множеств «бесконечности» бывают разные

 Пусть, например, дано  множество натуральных чисел: N={1, 2,…, }. Его элементы пронумерованы, т. е. они выстроены в последовательность. Множество называется счетным, если оно равномощно множеству N натуральных чисел, т. е. если его  
можно представить в виде {х₁, х₂, х₃, ...}. Здесь х_i — элемент, соответствующий числу i.

Например, множество целых  чисел Z счетно, так как целые числа можно расположить в последовательность 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3…

Говорят, что такие  множества имеют мощность счетного множества.

Если каждый элемент множества А является одновременно элементом множества В, то говорят, что множество А является подмножеством множества В. Записывается это так: А В.

Множество студентов  МГЭИ, например, является подмножеством  множества всех студентов России.

Декартовым  произведением является множество, состоящее из упорядоченных пар, причем первый элемент является элементом первого множества, второй элемент второго множества.

Например А = {а,b,с,d}, В = {1,2,3,4}, тогда А×В={(a;1),(b;2),(c;3),(d;4)}.

Множества А и В равны (запись А = В), если они содержат одни и те же элементы (другими словами, если А В и В А).

 Пустое множество (обозначается Ø) не содержит ни одного элемента и является подмножеством любого множества.

Любое непустое множество А имеет по крайней мере два различных подмножества: само А и пустое множество Ø.

Операции  над множествами.

 Объединением множеств А и В (обозначается А В) называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В. Символически это записывается так: А В = { х | х А или х В}.

 Если один и тот же элемент содержится в нескольких из данных множеств, то в объединение этот элемент включается один раз. Пусть, например, А = {а, b, с, d}, а В = {с, d, е}. Тогда А В = {а, b, с, d, е}.

Аналогично определяется объединение  произвольной (в том числе и  бесконечно) совокупности множеств. Если совокупность содержит небольшое количество множеств, то их объединение описывается явно: A B C D.

Пусть А множество студентов гуманитарного факультета МГЭИ, B- множество студентов-юристов, С — множество студентов экономистов этого же института. Объединением этих трех множеств будет множество D:  D =А В С;

это будет множество  всех студентов МГЭИ. Пусть М — множество студентов всего мира. Тогда D М = М.

 Пересечением множеств А и В (обозначается А В) называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат и А, и В: А В={ х | х А и х В}.

 Если А = {а,b,с,d}, В = {с,d,е}, то А В = {с,d}.

 Пусть А — множество студентов гуманитарного факультета МГЭИ; В — множество мужского населения на Земле; тогда А В - множество юношей на гуманитарном факультете.

 Разностью множеств А и В (обозначается А\В) называется множество таких элементов множества А, которые не содержатся в В. Если А = {а,b,с,d}, В = {с,d,е}, то А\В = {а,b}, а В\А = {е}.

Пусть, например, в процессе следствия  выработалось множество версий U - универсум. В ходе дальнейшего расследования выяснилась несостоятельность некоторых версий В. Значит, дальнейшей разработке должны подлежать версии С= U\В.

 Разность С множеств А и В иногда называется дополнением множества В до А. Дополнение до универсума (U\В) называется абсолютным дополнением. Оно содержит все элементы универсума, кроме элементов, входящих в В и обозначается .

Дизъюнктивной суммой, или симметрической разностью множеств (обозначается А В), называется множество всех элементов, принадлежащих или множеству А, или множеству В, но не обоим вместе. Если А = {а, b,с,d }, В = {с, d, е}, то А В = {а, b, е}.

Пусть Е — множество людей, любящих математику, G — множество любителей психологии. Тогда множество S=E G есть множество почитателей математики или психологии, за исключением людей, любящих обе эти науки.

Например. Пусть даны два множества А={1,2,3,4,5} и В={2,4,5,6,8,10}. Определите пересечение, объединение, разности этих двух множеств, симметрическую разность.

1. А В= ;
2. А В= ;
3. А\В = ;
4. В\А = ;
5. А В = .

Рассмотрим свойства операций над множествами:

1. = А.
2. А В=В А, А В=В А — коммутативность.
3. А (В С)=(А В) С, А (В С)=(А В) С - ассоциативность.
4. А (В С)=(А В) (А С), А (В С)=(А В) (А С)-дистрибутивность.
5. = , = закон де Моргана.
6. A A=A, A A=A.
7. А (А В)=А, А (А В)=А — законы поглощения.

Для наглядного изображения  операций над множествами какого-либо универсума U используют круги Эйлера, которые часто называются также диаграммами Венна. Обычно универсум представляется прямоугольником (точнее, множеством точек прямоугольника), а множества изображают фигурами (как правило, кругами) лежащими внутри этого прямоугольника.

 Нечеткие  множества.

Теория множеств была создана Георгом Кантором и его  учениками во второй половине ХIХ  в. С тех пор в этой теории появилось  много нового, например решение вопроса  о «границе» множества. Дело в  том, что из-за многозначности языка (или недостаточности данных) не всегда можно достоверно сказать, входит ли данный элемент в некоторое множество или нет. Например, когда мы говорим о множестве всех психологов, то включаем в него только дипломированных специалистов или студентов-психологов тоже? Играет роль и точка зрения определенного индивида.

 Например, если известно, что научному работнику Джону  50 лет, то юная студентка отнесет  его к множеству пожилых людей,  а старик-профессор — к множеству  молодых перспективных ученых.

 Решение этой проблемы было  получено в работах американского  математика Лутфи Заде. Он предложил рассматривать функцию принадлежности μ_А (а), значения которой заключены в отрезке от 0 до 1. Если элемент а не принадлежит множеству А, то μ_А (а) = 0. Чем ближе значение μ_А (а) к единице, тем больше степень принадлежности данного элемента а множеству. Тогда множество А будет представлено совокупностью пар: А = {(а,μ(а)), (b,μ(b)), (с,μ(с)),…}.

Функция принадлежности μ_А (а) фактически представляет субъективную оценку вероятности вхождения элемента а в множество. Если, скажем, имеем пару (а, 1), то элемент а точно входит в множество, если (b; 0,9), то b «почти наверняка» входит; если (с; 0,1), то с «скорее всего не входит» в множество А, и т. д.

 Пусть множество М = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Рассмотрим подмножество А множества М, которое описывается понятием «несколько элементов множества М». Это понятие нечеткое, так как однозначно нельзя сказать, сколько и какие элементы множества М входят в А.  
Множество А можно задать, например, табл. 1.1.

Элемент множества М	1	2	3	4	5	6
Степень принадлежности множеству А	0,01	0,2	0,8	0,8	0,8	0,7

Степень принадлежности можно описывать, используя функцию  принадлежности μ_А (x), задаваемую аналитически, т. е. формулой.

В психологии также используются нечеткие множества: множество приятных ощущений, серьезных отклонений, очень больших затрат, юных правонарушителей и т.п. Из данных нечетких множеств можно конструировать другие нечеткие множества с помощью операций объединения, пересечения и дополнения.

 Объединением нечетких множеств А и В называется нечеткое множество А В с функцией принадлежности: μ_{А В}= max[μ_А (x), μ_В (x)],

где μ_А (x), μ_В (x) - функции принадлежности множеств А и В соответственно.

 Пересечением нечетких множеств А и В называется нечеткое множество А В, функция принадлежности которого задается формулой: μ_{А В}= min[μ_А (x), μ_В (x)].