Эконометрика

 

Содержание

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Эконометрика – это наука, в  которой на базе реальных статистических данных строятся, анализируются и совершаются математические модели реальных экономических явлений. Одним из важнейших направлений эконометрики является построение  прогнозов по различным экономическим показателям. Основной задачей эконометрики будем считать использование статистических и математических методов с целью найти эмпирическое представление результатов экономической теории, а затем их подтвердить или опровергнуть.

Однако математические методы для  представления результатов экономической теории используются также в математической экономике. Разделение «сфер интересов» эконометрики и математической экономики – это различие в критериях качества полученных моделей. В эконометрике построенная модель тем лучше, чем лучше она описывает имеющиеся эмпирические данные. В математической экономике соответствие модели эмпирическим данным не всегда свидетельствует о ее качестве, и наоборот, не всегда требуется добиваться этого соответствия.

Применение статистических методов  для анализа экономических данных имеет многовековую историю. Отмечено, что первое эмпирическое исследование спроса (Charles Davenant, 1699) было опубликовано более трех столетий назад, а первое современное исследование (Rodulfo Enini, 1907) – в начале 20в. Мощным толчком в развитии эконометрики стало основание в 1930 г. Эконометрического общества и выход в январе 1933 г. первого номера журнала Econometrica. Основной  целью деятельности общества, как было определено в первом номере журнала, должно было стать “…изучение возможностей объединения теоретико-количественных и эмпирико-количественных подходов к решению экономически задач, а также распространения конструктивных и точных методов анализа, аналогичных тем, которые в настоящее время доминируют в естественных науках.

Однако существует несколько видов  количественного анализа в экономике, ни один из которых по отдельности не должен ассоциироваться с эконометрикой. Так, эконометрика – это не экономическая статистика. Эконометрика – это и не раздел общей экономической теории, хотя значительная часть экономической теории определенно имеет количественный характер. Слово «эконометрика» не является также простым эквивалентом фразы «применение математики в экономике». Как показывает опыт, все три   перечисленных дисциплины, – статистика, экономическая теория и математика, - необходимы, но ни одной из них, взятой по отдельности, не  достаточно для реального понимания количественных взаимосвязей в  современной экономической жизни. Именно объединение всех этих трех  дисциплин дает к нему ключ. Именно объединение их и составляет предмет  эконометрики”.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Нестационарные  временные ряды

 

В экономической практике принято рассматривать два основных типа нестационарных временных рядов:

Случайное блуждание (со сдвигом)

X_t = X_t-1 + _t – Случайное блуждание (процесс случайного блуждания – random walk)

Такие ряды так же принято  называть временными рядами со стохастическим трендом.

Вторым основным типом  является ряд вида:

Х_t =   + β_t + _t

Такие ряды называются также временными рядами с детерминистическим трендом.

 

 

200

 

150

 

100

 

50

 

Рис. Нестационарный временной ряд c  детерминистическим трендом

 

Рассмотрим временной ряд со стохастическим трендом

Y_t = + Y_t-1 + _t

Данное уравнение является частным случаем более общей  модели

Y_t = + Y_t-1 + _t

 

В зависимости от значения  можно выделить два случая:

|а| < 1 — процесс является стационарным;

|а|  1 — процесс является нестационарным.

При  |а| >1 процесс  становится «взрывным», т. е. шок, произошедший в системе в момент времени  t, будет иметь более сильное  влияние на нее в момент времени t+1, еще более сильное – в момент t+2  и т.д.

На рисунке изображены процессы нестационарных временных  рядов с коэффициентом  >1.  Рисунок A показывает первые  250, а рисунок  Б  – первые 450 наблюдений одного и того же процесса.  Видно, как с увеличением числа наблюдений усиливается взрывной» характер процесса.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. А

 

 18

 

 0

 

 16

 

 0

 

 14

 

 0

 

12

 

0

О    50    100  150 200  250  300  350  400  450 Рис. Б

 

Аналогичные тенденции  прослеживаются для процессов с  коэффициентом  < -1.

Такого рода процессы, а также процесс с коэффициентом  = -1, редко соответствуют экономическим данным, поэтому, как правило, основной упор делается на рассмотрение процессов, имеющих единичный корень, - т.е. случая, когда =1.

 

Тренд и его  анализ.

 

Тренд или тенденция  временного ряда – это несколько  условное понятие. Под трендом понимают закономерную, неслучайную составляющую временного ряда (обычно монотонную), которая может быть вычислена по вполне определенному однозначному правилу. Тренд временного ряда часто связан с действием физических законов или каких-либо других объективных закономерностей. Однако, вообще говоря, нельзя однозначно разделить случайный процесс или временной ряд на регулярную часть (тренд) и  колебательную часть (остаток). Поэтому обычно предполагают, что тренд - это некоторая  функция простого вида (линейная, квадратичная и т.п.), описывающая

“поведение в целом” ряда или процесса. Если выделение  такого тренда упрощает исследование, то предположение о выбранной форме тренда считается допустимым.

Для временного ряда уравнение  линейного тренда имеет вид

При r>0 говорят о положительном  тренде (с течением времени значения временного ряда имеет тенденцию возрастать), при r<0 об отрицательном (тенденция убывания). При r, близких к нулю, иногда говорят о боковом тренде. Как было сказано выше, для случая, когда t=1,2,3,...n, имеем:

Однако на практике не стоит отдельно вычислять r  и уX и только потом подставлять их в уравнение тренда. Лучше прямо в формуле тренда произвести сокращения, после которых она примет вид:

После выделения линейного  тренда нужно выяснить, насколько  он значим. Это делается с помощью анализа коэффициент корреляции. Дело в том, что отличие коэффициента корреляции от нуля и тем самым наличие реального тренда (положительного или отрицательного) может оказаться случайным, связанным со спецификой рассматриваемого отрезка временного ряда. Другими словами, при

анализе другого набора экспериментальных данных (для того же временного ряда) может оказаться, что полученная при этом оценка намного ближе к нулю, чем исходная (и, возможно, даже имеет другой знак), и говорить о реальном тренде тут уже становится трудно.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Автокорреляция  уровней временного ряда

 

При наличии во временном  ряде тенденции и циклических  колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих. Корреляционную зависимость между  последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда.

Количественно ее можно  измерить с помощью линейного  коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько  шагов во времени.

Формула для расчета коэффициента автокорреляции имеет вид:

        (1.1)

где

Эту величину называют коэффициентом  автокорреляции уровней ряда первого  порядка, так как он измеряет зависимость  между соседними уровнями ряда и .

Аналогично можно определить коэффициенты автокорреляции второго  и более высоких порядков. Так, коэффициент автокорреляции второго  порядка характеризует тесноту  связи между уровнями и и определяется по формуле:

        (1.2)

где

 

Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом. С увеличением лага число  пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Считается целесообразным для обеспечения статистической достоверности коэффициентов автокорреляции использовать правило – максимальный лаг должен быть не больше .

Свойства коэффициента автокорреляции.

Он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, параболу второго порядка или экспоненту), коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю.

По знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержат положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.

Последовательность коэффициентов  автокорреляции уровней первого, второго  и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости  ее значений от величины лага (порядка  коэффициента автокорреляции) называется коррелограммой.

Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет  определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, а следовательно, и лаг, при котором связь между  текущим и предыдущими уровнями ряда наиболее тесная, т.е. при помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда.

Если наиболее высоким  оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд  содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка  , то ряд содержит циклические колебания с периодичностью в моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать одно из двух предположений относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ. Поэтому коэффициент автокорреляции уровней и автокорреляционную функцию целесообразно использовать для выявления во временном ряде наличия или отсутствия трендовой компоненты и циклической (сезонной) компоненты.  Рассматривается как указание на значимость корреляции с соответствующим лагом.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сглаживание временных  рядов

 

Сглаживание временного ряда используется для удаления из него высокочастотных компонент (которые обычно являются несущественными, так как вызваны случайными факторами). Один из простейших методов сглаживания - метод скользящих или подвижных средних (MA в англоязычной нотации), он является одним из наиболее старых и широко известных. Этот метод основан на переходе от начальных значений временного ряда к их средним значениям на некотором заданном интервале времени (длина которого называется шириной окна). Этот интервал времени как бы скользит вдоль ряда, с чем и связано название метода. В каждый момент этого скольжения мы видим только часть ряда, чем и вызвана “оконная” терминология.

Полученный в результате такого сглаживания новый временной  ряд обычно ведет себя более регулярно (гладко), что связано с удалением в процессе сглаживания резких случайных отклонений, попадающих в окно. Сглаживание полезно применять даже в самом начале исследования временного ряда, так как при этом часто удается прояснить вопрос о наличии и характере тренда, а также

выявить сезонные колебания.

Несколько слов нужно  сказать о сезонных колебаниях. Они проявляются во многих временных рядах, в частности, в экономике, метеорологии. Сезонными колебаниями называют все такие изменения, которые соответствуют определенному (почти) строго периодическому ритму (не обязательно равному одному году, как для обычных сезонов), присущему Вселенной, природе или человеческой деятельности. Такая периодичность может ярко проявляться в процессах человеческой деятельности, например, в изменениях объема перевозок местным транспортом в последние дни каждой недели или же утром и вечером в течение каждого дня, в росте ошибок при выполнении производственных операций по понедельникам и др. Но наиболее типичные сезонные колебания связаны именно со сменой сезонов года. Они затрагивают огромное число параметров жизни человека (как современного, так и в древности). Обычно при

исследовании временных  рядов стремятся выделить сезонные колебания для того, чтобы их изолировать и изучить другие, более сложные периодические компоненты.

Простейшее сглаживание  методом MA с шириной окна 2m+1 производится по следующим формулам:

x*k=(xk-m+xk-m+1+...+xk+xk+1+...+xk+m)/2m+1.

Выбор ширины окна диктуется  содержательными соображениями, связанными с предполагаемым периодом сезонных колебаний или с желательным исключением определенного рода высокочастотных колебаний. На практике обычно при отсутствии сезонности ширину окна берут равной 3, 5 или 7. Не рекомендуется брать окно шире, чем в четверть числа анализируемых данных. Чем шире окно, тем больше колебательных компонент будет исключено и тем более гладкий вид полученного при сглаживании ряда. Однако при слишком больших окнах полученный ряд уже значительно отличается от исходного, теряются многие индивидуальные особенности и ряд все более приближается к постоянному. Если взять ширину окна максимально возможной (равной общему числу данных значений x1,x2,...), то приходим просто к постоянной величине, равной среднему значению всех этих xi.