История развития теории вероятности

 

Пример 3. Круглая мишень вращается с постоянной угловой скоростью. Пятая часть мишени окрашена в зеленый цвет, а остальная — в белый (рис. 4). По мишени производится выстрел так, что попадание в мишень — событие достоверное. Требуется определить вероятность попадания в сектор мишени, окрашенный в зелёный цвет.

    Решение. Обозначим   — "выстрел попал в сектор, окрашенный в зелёный цвет". Тогда  . Вероятность получена как отношение площади части мишени, окрашенной в зелёный цвет, ко всей площади мишени, поскольку попадания в любые части мишени равновозможны.

 

Аксиомы теории вероятностей:

 

   Из статистического определения вероятности случайного события следует, что вероятность события есть число, около которого группируются частоты этого события, наблюдаемые на опыте. Поэтому аксиомы теории вероятностей вводятся так, чтобы вероятность события обладала основными свойствами частоты.

 
    Аксиома 1. Каждому событию   соответствует определенное число  , удовлетворяющее условию   и называемое его вероятностью.

    Аксиома 2. Вероятность достоверного события равна единице.

    Аксиома 3. Вероятность невозможного события равна нулю.

 
   Аксиома 4. (аксиома сложения). Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме их вероятностей.

Зависимые и независимые случайные  события.  
Основные формулы сложения и умножения вероятностей

 

    Понятия зависимости и независимости случайных событий. Условная вероятность. Формулы сложения и умножения вероятностей для зависимых и независимых случайных событий. Формула полной вероятности и формула Байеса.

                      Теоремы сложения вероятностей

     Найдем вероятность суммы событий   и   (в предположении их совместности либо несовместности).

 
    Теорема 2.1. Вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме их вероятностей:

              

Теорема 2.1 сложения вероятностей справедлива только для несовместных событий. Использование ее для нахождения вероятности совместных событий может привести к неправильным, а иногда и абсурдным выводам, что наглядно видно на следующем примере. Пусть выполнение заказа в срок фирмой "Electra Ltd" оценивается вероятностью 0,7. Какова вероятность того, что из трех заказов фирма выполнит в срок хотя бы какой-нибудь один? События, состоящие в том, что фирма выполнит в срок первый, второй, третий заказы обозначим соответственно . Если для отыскания искомой вероятности применить теорему 2.1 сложения вероятностей, то получим  . Вероятность события оказалась больше единицы, что невозможно. Это объясняется тем, что события   являются совместными. Действительно, выполнение в срок первого заказа не исключает выполнения в срок двух других.

 
     Сформулируем теорему сложения вероятностей в случае двух совместных событий (будет учитываться вероятность их совместного появления).

 

Теорема 2.2. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих двух событий без вероятности их совместного появления:

                     

 
Зависимые и независимые  события. Условная вероятность.

 
    Различают события зависимые и независимые. Два события называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятность появления другого. Например, если в цехе работают две автоматические линии, по условиям производства не взаимосвязанные, то остановки этих линий являются независимыми событиями.

 

 

 Несколько событий называются независимыми в совокупности, если любое из них не зависит от любого другого события и от любой комбинации остальных.

 
     События называются зависимыми, если одно из них влияет на вероятность появления другого. Например, две производственные установки связаны единым технологическим циклом. Тогда вероятность выхода из строя одной из них зависит от того, в каком состоянии находится другая. Вероятность одного события  , вычисленная в предположении осуществления другого события  , называется условной вероятностью события   и обозначается  .

 
    Условие независимости события   от события   записывают в виде  , а условие его зависимости — в виде  . Рассмотрим пример вычисления условной вероятности события.

 

Формулы умножения вероятностей:

 
   Пусть события   и   независимые, причем вероятности этих событий известны. Найдем вероятность совмещения событий   и  .

 
   Теорема 2.3. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

 

 
   Следствие 2.1. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

                              

 

Теорема 2.4. Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

 

 
      Следствие 2.2. Вероятность совместного появления нескольких зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились.

 

Формула полной вероятности

 
     Теорема 2.5. Если событие   наступает только при условии появления одного из событий  , образующих полную группу несовместных событий, то вероятность события   равна сумме произведений вероятностей каждого из событий   на соответствующую условную вероятность события  :

 

(2.1)

 

При этом события   называются гипотезами, а вероятности   — априорными. Эта формула называется формулой полной вероятности.

 

Формула Байеса

 
     Эта формула применяется при решении практических задач, когда событие  , появляющееся совместно с каким-либо из событий  , образующих полную группу событий, произошло и требуется провести количественную переоценку вероятностей гипотез  . Априорные (до опыта) вероятности   известны. Требуется вычислить апостериорные (после опыта) вероятности, т. е., по существу, нужно найти условные вероятности  . Для гипотезы   формула Байеса выглядит так:

 

 
 

Список используемой литературы:

1.       Горелова Г.В. Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением MS Excel. /Под ред. Г.В. Гореловой, И.А. Кацко. - Ростов н/Д: Феникс, 2006. - 475 с. 
2.       Ковбаса С.И., Ивановский В.Б. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для экономистов. - СПб.: Альфа, 2006. - 192 с. 
3.       Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Соколов В.В. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник. - М.: ФОРУМ, 2008. - 200 с. 
4.       Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. - 551 с. 
5.       Пехлецкий И.Д. Математика. / Под ред. И.Д. Пехлецкого. - М.: Издательский центр "Академия", 2005. - 421с. 
6.       Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 496 с.

 

Приложение

 

 

Задача 1: Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и поэтому набирает её наугад. Определить вероятность того, что ему придётся звонить не более чем в 3 места.

Решение: Вероятность набрать верную цифру из десяти равна по условию-1/10. Рассмотрим следующие случаи:  
1. первый звонок оказался верным, вероятность равна 1/10 (сразу набрана нужная цифра). 
2. первый звонок оказался неверным, а второй - верным, вероятность равна 9/10*1/9=1/10 (первый раз набрана неверная цифра, а второй раз верная из оставшихся девяти цифр). 
3. первый и второй звонки оказались неверными, а третий - верным, вероятность равна 9/10*8/9*1/8=1/10 (аналогично пункту 2).  
 
Всего получаем P=1/10+1/10+1/10=3/10=0,3 - вероятность того, что ему придется звонить не более чем в три места.  
 
Ответ: 0,3

Задача 2: В прямоугольник 5*4 см² вписан круг радиуса 1,5 см. Какова вероятность того, что точка, случайным образом поставленная в прямоугольник, окажется внутри круга?

Решение: По определению геометрической вероятности искомая вероятность равна отношению площади круга (в который точка должна попасть) к площади прямоугольника (в которой точка ставится), т.е.  
  
 
Ответ: 0,353

Задача 3.Из n аккумуляторов за год хранения k выходит из строя. Задача 1: Наудачу выбирают m аккумуляторов. Определить вероятность того, что среди них l исправных. 
n = 100, k = 7, m = 5, l = 3.

Решение: Имеем схему Бернулли с параметрами p=7/100=0,07 (вероятность того, что аккумулятор выйдет из строя), n = 5 (число испытаний), k = 5-3 =2 (число «успехов», неисправных аккумуляторов). Будем использовать формулу Бернулли (вероятность того, что в n испытаниях событие произойдет k раз).   
Получаем: 
 
 
Ответ: 0,0394.

Задача 4: Экспедиция издательства отправила газеты в три почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газет в первое отделение равна 0,95, во второе - 0,9, в третье - 0,8. Найти вероятность следующих событий: 
а) только одно отделение получит газеты вовремя; 
б) хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием.

Решение: Введем события 
А1 = (газеты доставлены своевременно в первое отделение), 
А2 = (газеты доставлены своевременно во второе отделение),  
А3 = (газеты доставлены своевременно в третье отделение),  
по условию P(A1)=0,95; P(A2) = 0,9; P(A3)=0,8.  
 
Найдем вероятность события Х = (только одно отделение получит газеты вовремя). Событие Х произойдет, если  
или газеты доставлены своевременно в 1 отделение, и доставлены не вовремя во 2 и 3,  
или газеты доставлены своевременно в 2 отделение, и доставлены не вовремя во 1 и 3,  
или газеты доставлены своевременно в 3 отделение, и доставлены не вовремя во 2 и 1.  
Таким образом,   
Так как события А1, А2, А3 - независимые, по теоремам сложения и умножения получаем  
 
 
Найдем вероятность события У=(хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием). Введем противоположное событие  =(все отделения получат газеты вовремя). Вероятность этого события  
 
Тогда вероятность события У:  
 
 
Ответ: 0,032; 0,316.

Задача  5.Из урны, в которой находятся 12 белых и 8 черных шаров, вынимают наудачу два шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся черными? 
Решение: Событие A- появление двух черных шаров. Общее число   возможных случаев n равно числу сочетаний из 20 элементов (12+8) по 2  
n= =   = 190 
Число случаев m, благоприятствующих событию A, составляет 
n= =   = 28

P(A)= 

 =   =   = 0,147

Ответ:0,147

 Задача 6.Известно, что 5%  всех мужчин и 2,5% всех женщин – дальтоники. Случайно выбранное лицо страдает дальтонизмом. Какова вероятность того, что это мужчина? Считать, что мужчин и женщин одинаковое число. Решение:Обозначим события:

 - случайно выбранный человек  - мужчина;  - случайно выбранный человек - женщина.

Вероятности этих событий:   =  = 0,5.

 - случайно выбранный человек  - дальтоник.

Условные вероятности  события  :  

События   и   образуют полную группу событий, поэтому вероятность cсобытия   находится по формуле полной вероятности:

. 
Требуется найти вероятность события  . По формуле Байеса, если событие   произошло, то   . Искомая вероятность 
.

Задача 2: Вычислительное устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо друг от друга. Вероятность отказа каждого элемента за смену равна р. Найти вероятность, что за смену откажут m элементов. 
р= 0,024, m=6.

Решение: Используем локальную теорему Лапласа:  
. 
Здесь n=1000, k =6, p=0,024, q= 1-p = 0,976, значения функции берутся из таблицы. Подставляем:  
 
 
Ответ: 0,000084

 

 

 

 

 

 

 

ТД-109

Гойман Елена ВячеславовнаСтраница