История развития теории вероятности

История развития теории вероятности.

Можно выделить несколько  этапов:

1. Предыстория теории  вероятностей. В этот период, начало которого теряется в глубине веков, ставились и примитивно решались задачи, которые позже будут отнесены к теории вероятностей. Никаких специальных методов решения в этот период не было. Этот период закончился в XVI веке появление работ Кардано, Пачоли, Тарталья.

2. Возникновение теории  вероятностей как науки. В этот период вырабатываются первые специфические понятия, устанавливаются первые теоремы. Начало этого периода связано с именами Паскаля, Ферма, Гюйгенса. Этот период продолжается от середины XVI века до начала XVIII века. В этот период теория вероятностей находят свои первые применения в демографии, страховом деле, оценке ошибок наблюдения.

3. Следующий этап начинается с появления работы Я. Бернулли «Искусство предположения» (1713 год). Здесь была доказана теорема Бернулли, которая дала возможность широко применять теорию вероятностей к статистике. К этому периоду относятся работы Муавра, Лапласа, Гаусса, Пуассона, теория вероятностей начинает применяться в различных областях естествознания.

4. Следующий этап развития теории вероятностей связан, прежде всего, с русской (Петербургской) школой. Здесь можно назвать имена Чебышева, Маркова, Ляпунова. В это время теория вероятностей начинает широко применяться в различных областях естествознания, в первую очередь – в физике. Возникает статистическая физика, которая развивается в тесной связи с теорией вероятностей.

5. Современный этап развития теории вероятностей. Для успешного применения теории вероятностей к физике, биологии и другим наукам, а также к технике и военному делу необходимо было уточнить и привести в стройную систему основные понятия теории вероятностей. Поэтому этот период начался с установления аксиом науки. Первые работы этого периода связаны с именами Бернштейна, Мизеса, Бореля. Окончательное установление аксиоматики произошло в 30-е годы XX века, когда была опубликована и получила всеобщее признание аксиоматика Андрея Николаевича Колмогорова 

Основные понятия теории вероятностей

 
Классификация событий на возможные, вероятные и случайные. Понятия простого и сложного элементарного события. Операции над событиями. Классическое определение вероятности случайного события и её свойства. Элементы комбинаторики в теории вероятностей. Геометрическая вероятность. Аксиомы теории вероятностей.

Классификация событий: 
 
Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие события. Под событием понимают любой факт, который может произойти в результате опыта или испытания. Под опытом, или испытанием, понимается осуществление определённого комплекса условий.

Примеры событий:

– попадание в цель при  выстреле из орудия (опыт — произведение выстрела; событие — попадание  в цель); 
– выпадение двух гербов при трёхкратном бросании монеты (опыт — трёхкратное бросание монеты; событие — выпадение двух гербов); 
– появление ошибки измерения в заданных пределах при измерении дальности до цели (опыт — измерение дальности; событие — ошибка измерения).

 События обозначаются  заглавными буквами латинского  алфавита   и т.д.

 Также различают события совместные и несовместные. События называются совместными, если наступление одного из них не исключает наступления другого. В противном случае события называются несовместными. Например, подбрасываются две игральные кости. Событие   — выпадание трех очков на первой игральной кости, событие   — выпадание трех очков на второй кости.   и   — совместные события. Пусть в магазин поступила партия обуви одного фасона и размера, но разного цвета. Событие   — наудачу взятая коробка окажется с обувью черного цвета, событие   — коробка окажется с обувью коричневого цвета,   и   — несовместные события.

 Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет в условиях данного опыта.

 
   Событие называется невозможным, если оно не может произойти в условиях данного опыта. Например, событие, заключающееся в том, что из партии стандартных деталей будет взята стандартная деталь, является достоверным, а нестандартная — невозможным.

   Событие называется возможным, или случайным, если в результате опыта оно может появиться, но может и не появиться. Примером случайного события может служить выявление дефектов изделия при контроле партии готовой продукции, несоответствие размера обрабатываемого изделия заданному, отказ одного из звеньев автоматизированной системы управления.

   События называются равновозможными, если по условиям испытания ни одно из этих событий не является объективно более возможным, чем другие. Например, пусть магазину поставляют электролампочки (причем в равных количествах) несколько заводов-изготовителей. События, состоящие в покупке лампочки любого из этих заводов, равновозможны.

    Важным понятием является полная группа событий. Несколько событий в данном опыте образуют полную группу, если в результате опыта обязательно появится хотя бы одно из них. Например, в урне находится десять шаров, из них шесть шаров красных, четыре белых, причем пять шаров имеют номера.   — появление красного шара при одном извлечении,   — появление белого шара,   — появление шара с номером. События   образуют полную группу совместных событий.

    Введем понятие противоположного, или дополнительного, события. Под противоположным событием   понимается событие, которое обязательно должно произойти, если не наступило некоторое событие  . Противоположные события несовместны и единственно возможны. Они образуют полную группу событий. Например, если партия изготовленных изделий состоит из годных и бракованных, то при извлечении одного изделия оно может оказаться либо годным — событие  , либо бракованным — событие  .

Операции  над событиями:

    При разработке аппарата и методики исследования случайных событий в теории вероятностей очень важным является понятие суммы и произведения событий.

    Суммой, или объединением, нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий.

                 Сумма   событий   обозначается так:

.         

Например, если событие 

 есть попадание в цель при первом выстреле, событие   — при втором, то событие   есть попадание в цель вообще, безразлично, при каком выстреле — первом, втором или при обоих вместе.

 
    Произведением, или пересечением, нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

               Произведение   событий   

                         Обозначается  .

 
     Например, если событие   есть попадание в цель при первом выстреле, событие   — при втором, то событие   состоит в том, что в цель попали при обоих выстрелах.

     Понятия суммы и произведения событий имеют наглядную геометрическую интерпретацию. Пусть событие   состоит в попадании точки в область  , событие   — в попадании в область  , тогда событие   состоит в попадании точки в область, заштрихованную на рис. 1, и событие   — в попадании точки в область, заштрихованную на рис. 2.

 

 

Классическое  определение вероятности случайного события

    Для количественного сравнения событий по степени возможности их появления вводится числовая мера, которая называется вероятностью события.

    Вероятностью события называется число, являющееся выражением меры объективной возможности появления события.

Вероятность события   будем обозначать символом  .

Вероятность события   равна отношению числа случаев  , благоприятствующих ему, из общего числа   единственно возможных, равновозможных и несовместных случаев к числу  , т. е.

(1.1)

      Это есть классическое определение вероятности. Таким образом, для нахождения вероятности события необходимо, рассмотрев различные исходы испытания, найти совокупность единственно возможных, равновозможных и несовместных случаев, подсчитать общее их число  , число случаев  , благоприятствующих данному событию, и затем выполнить расчет по формуле (1.1).

   Из формулы (1.1) следует, что вероятность события является неотрицательным числом и может изменяться в пределах от нуля до единицы в зависимости от того, какую долю составляет благоприятствующее число случаев от общего числа случаев:

                                  .

 

 Свойства вероятности:

    Свойство 1. Если все случаи являются благоприятствующими данному событию  , то это событие обязательно произойдет. Следовательно, рассматриваемое событие является достоверным, а вероятность его появления  , так как в этом случае 

                                         

    Свойство 2. Если нет ни одного случая, благоприятствующего данному событию  , то это событие в результате опыта произойти не может. Следовательно, рассматриваемое событие является невозможным, а вероятность его появления  , так как в этом случае  :

                                        

 
     Свойство 3. Вероятность наступления событий, образующих полную группу, равна единице.

       Свойство 4. Вероятность наступления противоположного события   определяется так же, как и вероятность наступления, события  :

                                      

    где   — число случаев, благоприятствующих появлению противоположного события  . Отсюда вероятность наступления противоположного события   равна разнице между единицей и вероятностью наступления события  :

                                     

(1.2)

    Важное достоинство классического определения вероятности события состоит в том, что с его помощью вероятность события можно определить, не прибегая к опыту, а исходя из логических рассуждений.

 

      Пример 1. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал ее наудачу. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра.

     Решение. Обозначим   событие, состоящее в том, что набрана нужная цифра. Абонент мог набрать любую из 10 цифр, поэтому общее число возможных исходов равно 10. Эти исходы единственно возможны (одна из цифр набрана обязательно) и равновозможны (цифра набрана наудачу). Благоприятствует событию   лишь один исход (нужная цифра лишь одна). Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех исходов:

                                            .

Статистическое определение вероятности

 
    Формулу (1.1) используют для непосредственного вычисления вероятностей событий только тогда, когда опыт сводится к схеме случаев. На практике часто классическое определение вероятности неприменимо по двум причинам: во-первых, классическое определение вероятности предполагает, что общее число случаев   должно быть конечно. На самом же деле оно зачастую не ограничено. Во-вторых, часто невозможно представить исходы опыта в виде равновозможных и несовместных событий.

    Частота появления событий при многократно повторяющихся Опытах имеет тенденцию стабилизироваться около какой-то постоянной величины. Таким образом, с рассматриваемым событием можно связать некоторую постоянную величину, около которой группируются частоты и которая является характеристикой объективной связи между комплексом условий, при которых проводятся опыты, и событием.

 
      Вероятностью случайного события называется число, около которого группируются частоты этого события по мере увеличения числа испытаний.

      Это определение вероятности называется статистическим.

 
     Преимущество статистического способа определения вероятности состоит в том, что он опирается на реальный эксперимент. Однако его существенный недостаток заключается в том, что для определения вероятности необходимо выполнить большое число опытов, которые очень часто связаны с материальными затратами. Статистическое определение вероятности события хотя и достаточно полно раскрывает содержание этого понятия, но не дает возможности фактического вычисления вероятности.

 

     Геометрическая вероятность

 

В классическом определении  вероятности рассматривается полная группа конечного числа равновозможных событий. На практике очень часто  число возможных исходов испытаний  бесконечно. В таких случаях классическое определение вероятности неприменимо. Однако иногда в подобных случаях  можно воспользоваться другим методом  вычисления вероятности. Для определенности ограничимся двумерным случаем.

 

    Пусть на плоскости задана некоторая область   площадью  , в которой содержится другая область  площадью   (рис. 3). В область   наудачу бросается точка.  Чему равна вероятность того, что точка попадет в область  ? При этом предполагается, что наудачу брошенная точка может попасть в любую точку области  , и вероятность попасть в какую-либо часть области   пропорциональна площади части и не зависит от ее расположения и формы. В таком случае вероятность попадания в область   при бросании наудачу точки в область

                                                    (1.3)

      Таким образом, в общем случае, если возможность случайного появления точки внутри некоторой области на прямой, плоскости или в пространстве определяется не положением этой области и ее границами, а только ее размером, т. е. длиной, площадью или объемом, товероятность попадания случайной точки внутрь некоторой области определяется как отношение размера этой области к размеру всей области, в которой может появляться данная точка. Это есть геометрическое определение вероятности.