Исторический обзор изучения тригонометрии в школе

Теория решения  треугольников получает своё дальнейшее развитие. Ставится вопрос о наименьшем количестве уравнений, связывающих элементы треугольника и необходимых для его решения.

В учебниках  появляются упражнения для самостоятельной  работы учащихся, хоть пока и в небольшом  объеме. Подчеркивается значение алгебраического метода в курсе тригонометрии, но вместе с тем указывается и на достоинства геометрического метода, как более наглядного.

В «Новых началах  геометрии » Н.И. Лобачевский дает теорию тригонометрических функций, развиваемую  во всей общности аналитическим путем, а также занимается вопросом о степени точности логарифмических вычислений при решении треугольников.

На рубеже первой и второй половины XIX столетия появляется новое построение школьного курса тригонометрии, начинающегося с теории решения треугольников и завершающегося теорией тригонометрических величин. Такое построение с одной стороны оправдывается самим определением предмета, как состоящего в решении треугольников, а с другой стороны этим достигается известное упрощение в изложении этого курса.

3.3 Развитие тригонометрии во второй половине XIX -начале XX столетий

В этот период наблюдается  особенное оживление в области  вопросов, относящихся к улучшению  преподавания математики в средней  школе.

При Министерстве Народного Просвещения и учебных округах обсуждаются в целом ряде специальных комиссий вопросы, связанные с различными проектами реформы средней школы, проектами учебных планов и программ.

По вопросу  о преподавании тригонометрии высказывается  мнение, что изучение тригонометрии следует начинать с наиболее легкой ее части, а именно с решения треугольников, а также, что в курсе тригонометрии следует выдвинуть на первый план учение о тригонометрических функциях с целью развить понятие о функциональной зависимости, о графическом и табличном ее изображении, о непрерывности и периодичности изменения величин и т.д.

На II Всероссийском съезде преподавателей математики тригонометрии посвящается особое заседание. Получает общее признание идея первого концентра тригонометрии, в котором по возможности скорее переходят к решению треугольников.

В учебной литературе начала XX столетия наблюдаются два направления в изложении курса тригонометрии:

1. Согласно одному из них изучение свойств тригонометрических функций должно предшествовать приложению этих свойств к решению треугольников
2. Согласно другому считается полезным предпослать решение треугольников изучению свойств тригонометрических функций

Кроме обычных  определений синуса и косинуса дуги, встречается также

их определение  с помощью координат конца соответствующей дуги. В качестве иллюстрации хода изменения тригонометрических функций применяются во многих учебниках графики.

Для общности выводов, при доказательстве теоремы сложения дуг, используется теория проекций.

Получают большее  развитие в курсе тригонометрии разделы об обратных тригонометрических функциях и о тригонометрических уравнениях.

Появляются  курсы тригонометрии, в которые  включены первоначальные сведения по тригонометрии.

3.4 Изучение  тригонометрии в школе до 1966 года

В учебной и методической литературе за период после 1917 года подробно разработаны вопросы о содержании и методике преподавания первого концентра курса тригонометрии. В этом концентре рассматриваются тригонометрические функции острого угла и применение их к решению вопросов геометрии. В ряде учебников эти первоначальные сведения по тригонометрии представляют особую органическую часть курса геометрии.

Содержание  второго концентра курса тригонометрии  определяется отдельными авторами, как  учение о тригонометрических функциях.

Раздел о  решении треугольников в этом концентре рассматривается, как  составление, решение и исследование систем уравнений, определяющих неизвестные  элементы треугольника по некоторым  данным.

Большое внимание уделяется вопросам обобщения понятий  угла и дуги и определения тригонометрических функций. Эти функции определяются в ряде учебников с помощью проекций радиуса вектора на соответствующим образом выбранные оси.

Высказывается мнение, что графики тригонометрических функций следует рассматривать  не только, как средство для наглядного изображения хода изменения этих функций, но и как средство, дающее возможности учащемуся более глубоко изучить свойства тригонометрических функций.

Указывается на значение курса тригонометрии в  системе среднего математического образования. Как завершающего, в известной мере, круг элементарных математических знаний и, в то же время, составляющего переходную ступень к, так называемой, высшей математике.

Несколько позже, уже в программе средней десятилетней школы (например, в программе 1949 г.), начало изучения тригонометрии перемещается в курс геометрии 8-го класса, а в 7-м классе, также в курсе геометрии, обращается особое внимание на необходимость проведения измерительных работ на местности: провешивание линий, промер линий, проведение перпендикуляров эккером, измерение углов, определение расстояний и высот. Тем самым, с одной стороны, серьезно усиливался прикладной характер изучаемого в массовой школе математического материала, а с другой – создавалась хорошая опора для изучения формального материала курса тригонометрии.  
 В 9-м классе (десятилетней школы) данной программы тригонометрия начинает обретать черты отдельной школьной дисциплины. Внимание сосредотачивается на четырех тригонометрических функциях: синус, косинус, тангенс и котангенс. Секанс и косеканс даются в ознакомительном порядке. В 10-м классе предусматривается "решение косоугольных треугольников, основанное на теоремах синусов, косинусов и тангенсов с применением в соответствующих случаях различных таблиц".

Роль тригонометрического материала в школьном образовании оценивалась столь высоко, что до 1966 г. в 9-х и 10-х классах изучалась отдельная дисциплина "Тригонометрия", на которую выделяли 2 часа в неделю. Этот курс изучался параллельно с курсом алгебры. Для этой дисциплины был подготовлен и введен отдельный учебник (С. И. Новоселов "Тригонометрия. Учебник для 9-10 классов средней школы) выдержавший десять изданий.

Учебник тригонометрии  предназначался для старшей ступени  обучения, то есть для тех школьников, кто планировал поступать в высшие учебные заведения страны.

Тригонометрическим  уравнениям уделялось совсем немного  внимания. В учебнике рассматривались  простейшие тригонометрические уравнения, способ приведения к одной функции, способ разложения на множители и иллюстрировались возможности потери решений и появления посторонних решений при выполнении преобразований. Вместе с тем выделялся целый параграф, посвященный приближенным решениям тригонометрических уравнений.

3.5 Изучение  тригонометрии в школе после 1966 года

Начиная с середины шестидесятых годов в ходе подготовки и осуществления реформы школьного  математического образования, получившей в дальнейшем название "реформа  А.Н. Колмогорова", отношение к  тригонометрии стало меняться и  со временем изменилось принципиально.

Прежде всего, это выразилось в изменении программных  целей изучения данного раздела  науки в школе. В программах основной школы семидесятых годов (например, в программе 1978 г. для десятилетней школы) о начале изучения такого специфического раздела математики, как тригонометрия, даже не упомянуто. Просто в пояснении к отдельным темам сказано, что в 8-м классе изучаются четыре темы, одна из которых "Поворот и тригонометрические функции".

Тригонометрия утратила свое значение как отдельная  школьная дисциплина и стала просто одним из многих разделов курса математики, который надлежало осваивать в силу того простого факта, что вопросы тригонометрии «традиционно» присутствовали в школьных программах и учебниках.

Обучение проводилось  по учебнику Е.С. Кочеткова, Е.С. Кочетковой. В поддержку этого учебника был издан сборник задач А.И. Худобина, Н.И. Худобина, М.Ф. Шуршалова.

Но эти учебник  и задачник переходного периода  проработали в школе менее 10 лет. Вскоре им на смену пришел учебник "Алгебра  и начала анализа. Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы" (1975) под редакцией А.Н. Колмогорова. В нем тригонометрия изучалась в конце 9-го в начале 10-го классов. Формально содержание обучения в целом было сохранено и даже расширено. Здесь вводилось радианное измерение угловых величин, тригонометрические функции и их свойства, формулы сложения, производные и исследование тригонометрических функций, тригонометрические уравнения и неравенства. В дальнейшем, после перехода к одиннадцатилетней школе, тригонометрический материал в основной ступени был значительно усилен.

3.6 Изучение  тригонометрии в современной  школе

К концу XX в. в  примерных программах основного  общего образования объем рекомендуемого к изучению в массовой школе тригонометрического  материала заметно сократился. Например, в программе подготовленной Г.М. Кузнецовой в 1998 г. предлагается рассмотреть в основной школе:

1. В курсе  алгебры - синус, косинус, тангенс  и котангенс произвольного угла, основные тригонометрические тождества,  формулы приведения;

2. В курсе  геометрии - синус, косинус, тангенс  и котангенс острого угла, решение  прямоугольных треугольников, метрические  соотношения между элементами  произвольного треугольника: теорема  синусов и теорема косинусов.

В старшей ступени  обучения для общеобразовательных классов тригонометрические формулы сложения и их следствия, тождественные преобразования тригонометрических выражений получили статус необязательного материала. Оставлены лишь тригонометрические функции числового аргумента, свойства и графики тригонометрических функций. А более серьезные вопросы тригонометрии отнесены к программам повышенного уровня. Но и здесь преобразование суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму отнесено к необязательному материалу.

Таким образом, после 1966 г. тригонометрический материал стал постепенно «выжиматься» не только из основной школы, но и из курса  старшей ступени обучения для  общеобразовательных классов.

Введение всеобщего  и обязательно десятилетнего  образования в 1966 г. и последовавший затем переход к «знаниевой» педагогике принципиально изменили ситуацию, прежде всего в старшей и основной ступенях. Возникло две проблемы.

Во-первых, это  проблема обучения всех детей в течение  одиннадцати лет одному и тому же содержанию. Разные способности детей не дают возможности качественно решить эту проблему, если не признать необходимость принципиально понизить уровень среднего образования. Отсюда и все споры вокруг стандартов, и учебная перегрузка детей, и отвращение многих из них к математике как к наиболее формализованному учебному предмету. А тригонометрические функции действительного аргумента в курсе математики по части формализации занимают не последнее место. Отсюда и стремление исключить этот материал из обязательного минимума содержания образования.

Одновременно  с этим тригонометрический материал традиционно популярен при проведении всевозможных конкурсов, олимпиад и  при отборе математически одаренных  учащихся, поскольку он чрезвычайно  удобен для усложнения заданий.

Другими словами, тригонометрический материал, теряя свое общеобразовательное значение в представлениях некоторых специалистов в области методики обучения математике, на практике все больше обретает характер селективного инструмента. Соответственно возрастает потребность определенной части учащихся и их родителей в хорошей организации обучения этому разделу в школьный период обучения. По крайней мере, к этой части учащихся можно отнести тех, кто заинтересован в продолжении обучения в учреждениях среднего и высшего профессионального образования. А в настоящее время это не менее половины выпускников.

Таким образом, вторая проблема – подготовка в  массовой школе одаренных в академическом  смысле детей к поступлению и  обучению в вузе.

До шестидесятых годов такие понятия как «репетитор», «факультатив», «класс (школа) с углубленным изучением предмета» и т.п. не были известны школьным работникам и их родителям. Действительно, поскольку только половина детей переходили на обучение в старшую ступень, а в ней допускалось отчисление за неуспеваемость, то необходимости понижать уровень образования в старшей ступени даже не возникало. В так организованной школе добравшийся до выпуска школьник в основном был весьма серьезно обучен и имел широкий кругозор.

В семидесятых-восьмидесятых годах стали возникать классы, а затем и школы с углубленным изучением какого-либо предмета, в девяностых – лицеи и гимназии.

В общеобразовательных  классах, и в классах с углубленным  изучением того или иного предмета или цикла предметов освоение опыта «создания» фрагмента науки, безусловно, должно присутствовать. А тригонометрия для этого, как и прежде, наиболее естественный раздел школьной математики.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Заключение

В данной работе были рассмотрены наиболее важные этапы развития тригонометрии как науки, приведены имена знаменитых математиков, которые повлияли на это развитие.

Но наиболее важным является рассмотрение истории  тригонометрии как учебного предмета от прикладного предмета, актуального  для обучения мореплавателей и геодезистов, до нынешнего объема школьной тригонометрии.

Так же в работе были освещены вопросы, как и почему тригонометрия перестала быть отдельным  предметом, какая часть тригонометрии  осталась в школьном курсе.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Литература 

1. Бескин Н.М. «Вопросы тригонометрии и её преподавания», М.: Учпедгиз.1950
2. Г. И. Глейзер «История математики в школе. VII-VIII классы»,М.: Просвещение. 1982
3. И.К. Парно «Учебники тригонометрии и вопросы её преподавания в русской дореволюционной и советской средней школе»,М.:1950
4. Малыгин К.А «Элементы историзма в преподавание математики в средней школе», М.: Учпедгиз.1956