Исторический обзор изучения тригонометрии в школе

Федеральное государственное  бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального  образования

«МОСКОВСКИЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ»

 

Кафедра элементарной математики

 

 

 

Курсовая работа по теме

«Исторический обзор изучения тригонометрии в школе»

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнила:

Студентка математического

факультета 4 курса  № 2

группы

Котлетина К.М.

 

Проверил:

кандидат педагогических наук,

доцент

Шеогарин А.В.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Москва, 2012

Содержание

 

1.Введение----------------------------------------------------------------------------------------3

2.История возникновения  тригонометрии-------------------------------------------------4

3.История изучения  тригонометрии в школе----------------------------------------------6

3.1 Развитие  тригонометрии в XVIII столетии------------------------------------6

3.2 Развитие  тригонометрии в первой половине XIX столетия----------------7

3.3 Развитие  тригонометрии во второй половине XIX -начале XX столетий-----------------------------------------------------------------------------------9

3.4 Изучение  тригонометрии в школе до 1966 года----------------------------10

3.5 Изучение  тригонометрии в школе после  1966 года------------------------11

3.6 Изучение  тригонометрии в современной  школе----------------------------12

4. Заключение-----------------------------------------------------------------------------------15

5. Литература-----------------------------------------------------------------------------------16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.Введение

Тригонометрия есть глава математического анализа, изучающая свойства некоторого класса функций и некоторые приложения этих функций

Одной из основных целей преподавания математики в  средней школе является подготовка учеников к высшему образованию.  Важность этой цели различается в зависимости от раздела математики. Например, курс арифметики сам по себе достаточно полноценен и необходим в повседневной жизни, в алгебре и геометрии эта цель более востребована, а в тригонометрии эта цель является основополагающей, т.к. применение тригонометрии в жизни гораздо более ограничено: в основном это решение прямоугольных треугольников и некоторые разделы физики.

Исторически  первая задача, потребовавшая применения тригонометрии – это решение  треугольников.  Под влиянием этой задачи сложился школьный курс тригонометрии, для которого характерны 2 особенности: 1) точка зрения на тригонометрические функции как на функции угла, 2) приспособление всей теории тригонометрических функций к задаче решения треугольников.

Правда, развитие математического анализа и механики оказало некоторое влияние и на школьный курс тригонометрии. Например, введение отрицательных углов и углов любой величины не связано с задачей решения треугольников.

В данной работе мы рассмотрим историю зарождения такой  науки, как тригонометрия. Особое внимание будет уделено вопросу о том, как изменялись объем и содержание тригонометрии как учебной дисциплины, начиная с XVIII века и заканчивая нашими днями.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. История  возникновения тригонометрии

Тригонометрия возникла и развивалась в древности как один из разделов астрономии, как ее вычислительный аппарат, отвечающий практическим нуждам человека. Именно астрономия определила тот факт, что сферическая тригонометрия возникла раньше плоской.

Некоторые тригонометрические сведения были известны древним вавилонянам и египтянам, но основы этой науки заложены в Древней Греции. Древнегреческие астрономы успешно решали отдельные вопросы из тригонометрии, связанные с астрономией. Однако они рассматривали не линии синуса, косинуса и др., а хорды. Роль линии синусов угла α у них выполняла хорда, стягивающая дугу, равную 2α.

Греческий астроном Гиппарх во II в. До н.э. составил таблицу числовых значений хорд в зависимости от величин стягиваемых ими дуг. Более полные сведения из тригонометрии содержатся в известном «Альмагесте» Птолемея.

Птолемей делил  окружность на 360 градусов, а диаметр  – на 120 частей. Он считал радиус равным 60ч частям. Каждую из частей он делил  на 60', а каждую минуту на 60'', секунду  – на 60 терций (60''') и т.д. Говоря иными словами, он воспользовался шестидесятеричной системой счисления, по всей вероятности, позаимствованной им от вавилонян. Применяя указанное деление, Птолемей выражал сторону правильного вписанного шестиугольника или хорду, стягивающую дугу в 60° в виде 60 частей радиуса, а сторону вписанного квадрата или хорду в 90° приравнивал числу 84ч51'10''. Хорду в 120° - сторону вписанного равностороннего треугольника – он выражал числом 103ч55'23'' и т.д. Для прямоугольного треугольника с гипотенузой, равной диаметру круга, он записывал на основании теоремы Пифагора: (хорда α)² + (хорда |180 – α|)² = (диаметру)², что соответствует современной формуле sin²α + cos²α = 1.

Названия линий  синуса и косинуса впервые были введены  индийскими учеными. Они же составили первые таблицы синусов, хотя и менее точные, чем птолемеевы. В Индии и начинается по существу учение о тригонометрических величинах, названное позже гониометрией (от «гонна» - угол и «метрио» - измеряю).

Дальнейшее  развитие учение о тригонометрических величинах получило в IX-XV вв. в странах Среднего и Ближнего Востока в трудах ряда математиков, которые не только воспользовались существовавшими в то время достижениями в этой области, но и сделали свой значительный вклад в науку.

Известный Мухаммад ибн Муса ал-Хорезми (IX в.) составил таблицы синусов и котангенсов. Ал- Хабаш вычислил таблицы для тангенса, котангенса и косеканса.

Важное значение в развитии тригонометрии имели  труды ал-Баттани (ок. 850-929) и Абу-л-Вафы ал-Бузджани (940-998). Последний вывел теорему синусов сферической тригонометрии, вычислил для синусов таблицу с интервалом в 15', значения в которой приведены с точностью до 8-го десятичного знака, нашел отрезки, соответствующие секансу и косекансу.

Абу Райхан Мухаммад ибн Ахмад-ал-Беруни (973-1048) обобщил и при этом уточнил результаты, которых достигли его предшественники в области тригонометрии. В труде «Канон Мас’уда» он изложил все известные в то время положения из тригонометрии и существенно дополнил их. Важное нововведение, предпринятое Абу-л-Вафой, подтвердил и ал-Беруни. Вместо деления радиуса на части, сделанного Птолемеем, они брали единичный радиус. Ал-Беруни подробно объяснил причину этой замены, показав, что все вычисления с единичным радиусом значительно проще.

Насир ад-Дин  Мухаммад ат-Туси (1201-1274) в «Трактате о полном четырехстороннике» впервые изложил тригонометрические сведения как самостоятельный отдел математики, а не придаток к астрономии.

В Европе XII-XV вв., после того как были переведены с арабского и греческого языков на латинский язык некоторые классические математические и астрономические произведения, развитие тригонометрии продолжалось. Самым видным европейским представителем это эпохи в области тригонометрии был Региомонтан. Его мастерски изложенный тригонометрический труд «Пять книг о треугольниках всех видов» имели большое значение для дальнейшего развития тригонометрии в XVI-XVII вв.

На пороге XVII в. в развитии тригонометрии намечается новое направление – аналитическое. Если до этого главной целью тригонометрии считалось решение треугольников, вычисление геометрических фигур и учение о тригонометрических функциях строилось на геометрической основе, то в XVII-XIX вв. тригонометрия постепенно становится одной из глав математического анализа. Она находит широкое применение в механике, физике и технике, особенно при изучении колебательных движений и других периодических процессов. О свойстве периодичности тригонометрических функций знал ещё Франсуа Виет, первые математические исследования которого относились к тригонометрии. Швейцарский математик Иоганн Бернулли (1642-1727) уже применял символы тригонометрических функций. И если развитие алгебраической символики, введение отрицательных чисел и направленных отрезков содействовали расширению понятия угла и дуги, то развитие учения о колебательных движениях, о звуковых, световых  и электромагнитных волнах привело к тому, что основным содержанием тригонометрии стало изучение и описание колебательных процессов.

 Расширение  представлений о тригонометрических  функциях привело к обоснованию их на новой, аналитической базе: тригонометрические функции определяются независимо от геометрии при помощи степенных рядов и других понятий математического анализа.

Развитию аналитической  теории тригонометрических функций  содействовали И. Ньютон и Л. Эйлер. Основоположником этой теории следует считать Л. Эйлера. Он придал всей тригонометрии современный вид. Дальнейшее развитие теории было продолжено в XIX в. Н.И. Лобачевским и другими учеными.

В наше время  тригонометрия больше не рассматривается как самостоятельная ветвь математики. Важнейшая ее часть – учение о тригонометрических функциях – является частью более общего, построенного с единой точки зрения учения о функциях, изучаемых в математическом анализе; другая же часть – решение треугольников – рассматривается как глава геометрии (плоской и сферической)».

Рассмотрим  подробнее изучение тригонометрии  в школе в период с XVIII века по наши дни.

3. История  изучения тригонометрии в школе

3.1 Развитие  тригонометрии в XVIII столетии

Первые школы, в программу которых была введена  в качестве учебного предмета тригонометрия, возникли в  начале XVIII столетия, при Петре I. Это были, главным образом, технические и специальные школы, подготовлявшие нужных государству специалистов. Первой такой школой явилась Московская «математических и навигацких, т.е. мореходно – хитростных наук школа», которая была открыта в 1699 г.

В программу  этой школы были включены арифметика, алгебра, геометрия, тригонометрия  и специальные науки.

В 1712 году были организованы в Москве по типу навигацкой инженерная и артиллерийская школы.

Для этих школ нужны  были учебники и учебные пособия, которые и начали печататься в  первые же годы просветительной деятельности Петра I.

В январе 1703 г. была напечатана «Арифметика сиречь наука числительная» Леонтия Филипповича Магницкого, являющаяся одной из самых известных русских математических книг XVIII столетия. Все сведения о тригонометрии в этой книге связаны с мореплаванием или земельным делом, т.е. имеют прикладной характер.  «Арифметика» Магницкого имела для своего времени большое общеобразовательное значение и представляла значительный прогресс по сравнению с предшествующей учебной математической литературой.

Общей тенденцией учебной литературы 1730-1800 гг. было стремление перейти от догматического изложения учебного материала в виде правил и решения задач к систематически построенным курсам, содержащим доказательства.

Учебники тригонометрии  второй половины XVIII века можно подразделить на 2 типа: в одних тригонометрия рассматривается как часть геометрии, и изложение материала в них имеет чисто геометрический характер,  в других рассматриваются тригонометрические величины дуг любой четверти окружности, решается вопрос о знаках тригонометрических величин, появляются в привычной для нас записи тригонометрические формулы, характер изложения материала в них аналитический.

К учебникам  первого типа относятся учебники Депарсье, И. Вейдлена, Николая Курганова, Хр. Вольфа и др. Все учебники второго  типа были написаны под влиянием работ Леонарда Эйлера, например, учебники С. Румовского, М. Головина, А.Кестнера . До Эйлера тригонометрические величины рассматриваются как отрезки, проведенные в круге того или иного радиуса. Эйлер вводит вместо тригонометрических отрезков их отношения к радиусу, рассматривает тригонометрические величины как функции дуги и выводит тригонометрические формулы из нескольких простейший, пользуясь алгебраическим методом.

Несмотря на появление учебников с аналитическим  типом изложения материала, довольно долгое время оставались в ходу учебники, в которых учебный материал излагался в форме геометрических предложений.

3.2 Развитие  тригонометрии в первой половине XIX столетия

До введения в декабре 1845 года Министерством  Народного Просвещения «Распределения преподавания математики в гимназиях» , включавшего в себя программы по арифметике, алгебре, геометрии и тригонометрии, - содержание гимназического курса математики определяется учебниками, принятыми тогда в школе. Как в учебниках того времени, так и в программах (начиная с 1845 года) тригонометрия рассматривается как наука о решении треугольников. Теории тригонометрических линий отводится в них лишь служебная роль.

Однако, наряду с такой точкой зрения на тригонометрию, в учебной литературе появляется и новое ее понимания как теории особого рода функций, называемых круговыми.

Тригонометрические  величины по-прежнему определяются в  большинстве учебников как отрезки  в круге произвольного радиуса  или радиуса, равного единице. Вместе с тем некоторые из авторов  довольно близко подходят к пониманию тригонометрических величин как отношений тригонометрических линий к радиусу.

Отдельные авторы начинают различать тригонометрические линии дуг от тригонометрических величин углов, а именно: тригонометрическая линия угла определяется как тригонометрическая линия соответствующей ему дуги при радиусе, равном единице. Отсюда следует, что тригонометрическая линия угла выражается числом, представляющим ее отношение к радиусу.

Постепенно  намечаются в учебниках современные  обозначения тригонометрических величин.

Определения тригонометрических величин и формулы, выражающие их свойства, обобщаются для дуг любой  величины. Формулам сложения и вычитания  придается особое значение, подчеркивается, что они являются основными в  курсе тригонометрии.

В связи с вычислением значений тригонометрических величин появляется необходимость вычислять длину дуги окружности единичного радиуса. Так совершенно естественно вводится измерение дуг окружности в частях ее радиуса.