Использование дифференциальных уравнении Первого порядка в естествознании

ФГБОУ ВПО «Уральская Государственная Академия  Ветеринарной Медицины»

 

 

 

 

 

 

 

 

Кафедра физики, биофизики,

Математики и информатики

 

 

Реферат

«Использование дифференциальных уравнении

Первого порядка в естествознании»

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнила:

Студентка 106 группы

Факультета биотехнологии

Кутеникова Елена

Проверила

Доцент, кандидат педагогических наук

Яковенко Н.В

 

 

 

 

 

 

г. Троицк, 2014 г.

Содержание.

 

1. Введение…………………………………………………

 

2. Основная часть: Использование дифференциальных уравнении первого порядка в естествознании

 

Дифференциальные уравнения первого порядка. Их виды….

1. Неполные дифференциальные уравнения………..
2. Линейные дифференциальные уравнения……….

Дифференциальные уравнения в физике……………...

Дифференциальные уравнения в химии……………….

Дифференциальные уравнения в биологии……………

Дифференциальные уравнения в экономике

1. Задача 1 Модель естественного роста выпуска………..
2. Задача 2 Об эффективности рекламы………………….
3. Задача 3 Динамическая модель Кейнса………………..
4. Словарь экономических терминов……………………..
3. Заключение……………………………………

 

4. Список использованной литературы………..

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение.

В своем реферате я рассматриваю дифференциальные уравнения, их разновидности и применение в естествознании. Существуют два вида дифференциальных уравнений. Уравнения первого порядка и уравнения второго порядка. Наша работа будет состоять в рассмотрении уравнений первого порядка. Так же мы рассмотрим такие виды уравнения как:

1. Неполные дифференциальные уравнения.
2. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Исследуем, где используют дифференциальные уравнения первого порядка в таких отраслях как, физика, химия, биология и экономика.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дифференциальное уравнение первого порядка.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию одной или нескольких переменных, эти переменные и производные различных порядков данной функции.

Рассмотрим вопросы теории дифференциальных уравнений на примере уравнений первого порядка, разрешенных относительно производной, т.е. таких, которые допускают представление в виде:

                                      (1.1)

где f - некоторая функция нескольких переменных.

Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения.

Пусть в дифференциальном уравнении (1.1) функция и ее частная производная непрерывны на открытом множестве G координатной плоскости Оху. Тогда:

1.Для всякой точки множества G найдется решение y=y(x) уравнения(1.1),удовлетворяющее условию y( );

2.Если два решения y= (x) и y= (x) уравнения (1.1) совпадают хотя бы для одного значения x= , т.е. если то эти решения совпадают для всех тех значений переменной х, для которых они определены. Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде 

  g(y) (1.2)

или в виде:

M(x)N(y)dx+P(x)Q(y)dy=0, (1.3)

где , M(x), P(x) - некоторые функции переменной х, g(y), N(y), Q(y) - функции переменной у.

 

(рис.1)

1. Неполные дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение первого порядка (1.1) называется неполным, если функция f явно зависит только от одной переменной: либо от х, либо от у.

Различают два случая такой зависимости.

1. Пусть функция f зависит только от х. Переписав это уравнение в виде

  (2.1)

нетрудно убедиться, что его решением является функция

2. Пусть функция f зависит только от у, т.е. уравнение (1.1) имеет вид:

(2.2)

Дифференциальное уравнение такого вида называется автономным. Такие уравнения часто употребляются в практике математического моделирования и исследования природных и физических процессов, когда, например, независимая переменная х играет роль времени, не входящего в соотношения, описывающие законы природы. В этом случае особый интерес представляют так называемые точки равновесия, или стационарные точки - нули функции f(у), где производная у' = 0.

Решение уравнения (2.2) методом разделения переменных приводит к функциональному уравнению для определения неизвестной функции у = φ(x) (или х = ψ(у)):

 

.(2.3)

2. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Уравнение вида

(3.1)

где р(х) и q(x) - непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Неизвестная функция и ее производная входят в указанное уравнение в первой степени - линейно, что и объясняет название уравнения.

Если q(x) 0, то уравнение (3.1) называется линейным однородным уравнением; если же функция q(x) не равна тождественно нулю, то уравнение (3.1) называется линейным неоднородным уравнением.

Для линейного уравнения первого порядка можно выписать общее решение с помощью метода вариации постоянной. Здесь это решение приводится без вывода:

. (3.2)

Следует отметить, что некоторые нелинейные уравнения приводятся к линейным уравнениям соответствующими заменами неизвестной функции у(х). К таковым относится уравнение Бернулли

(3.3)

где р и q - непрерывные функции, a n - некоторое постоянное число. При п = 0 имеем линейное неоднородное уравнение, а при n = 1 - линейное однородное уравнение Пусть п ≠ 0, n ≠ 1. Введем новую функцию

 (3.4)

тогда

Поделим обе части уравнения (3.3) на :

.

Умножая обе части этого уравнения на (1 - n), с учетом выражений для новой функции z и ее производной получаем линейное дифференциальное неоднородное уравнение относительно неизвестной функции z(x)

. (3.5)

В этом уравнении, метод решения которого нам известен, функция z(x) связана с искомой функцией у(x) соотношением (3.4).

 

4. Применение дифференциальных уравнений первого порядка в экономике

Задача 1 Модель естественного роста выпуска[1].

Пусть y(t) - объем продукции некоторой отрасли, реализованной к моменту времени t. Будем полагать, что вся производимая отраслью продукция реализуется по некоторой фиксированной цене р, т.е. выполнено условие ненасыщаемости рынка. Тогда доход к моменту времени t составит Y(t)=py(t).

Обозначим через I(t) величину инвестиций [см.словарь[1]], направляемых на расширение производства. В модели естественного роста полагают, что скорость выпуска продукции (акселерация) пропорциональна величине инвестиций, т. е.

(t)=lI(t) (а)

(Здесь пренебрегаем временем  между окончанием производства продукции и ее реализацией, т.е. считаем, что инвестиционный лаг [см.словарь[2]] равен нулю).

Полагая, что величина инвестиций I(t) составляет фиксированную часть дохода [см. словарь[3]], получим

I(t)=mY(t)=mpy(t), (б)

где коэффициент пропорциональности m (так называемая норма инвестиций) - постоянная величина, 0 m 1.

Подставляя последнее выражение (б) для I(t) в (а), приходим к уравнению

, (в)

где k=mpl.

Полученное дифференциальное уравнение - это уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, приходим к функции y(t)= .

На практике условие насыщаемости рынка может быть принято только для достаточно узкого временного интервала. В общем случае кривая спроса, т.е. зависимость цены р реализованной продукции от ее объема y является убывающей функцией p=p(y) ( с увеличением объема произведенной продукции ее цена падает в результате насыщения рынка).Поэтому модель роста в условиях конкурентного рынка примет вид

, (г)

оставаясь по-прежнему уравнением с разделяющимися переменными.

Так как все сомножители в правой части уравнения (г) положительны, то , и это уравнение описывает возрастающую функцию y(t) на выпуклость естественно используется понятие эластичности функции. Действительно, из (г) следует, что

.

Напомним, что эластичность спроса [см.словарь[4]] (относительно цены) определяется формулой . Тогда выражение для можно записать в виде

и условие равносильно равенству .

Таким образом, если спрос эластичен, т.е. или , то и функция y(t) выпукла вниз; в случае, если спрос неэластичен, т.е. , или - 1 , то и функция y(t) выпукла вверх.

Задача 2 Об эффективности рекламы

Пусть торговой фирмой реализуется некоторая продукция, о которой в момент времени t = 0 из рекламы получили информацию x0 человек из общего числа N потенциальных покупателей. Далее эта информация распространяется посредством общения людей, и в момент времени t > 0 число знающих о продукции людей равно x(t).  Сделаем предположение, что скорость роста числа знающих о продукции пропорциональна как числу осведомлённых в данный момент покупателей, так и к числу неосведомленных покупателей. Это приводит к уравнению

Здесь k - положительный коэффициент пропорциональности. Из уравнения получаем равенство дифференциалов двух функций аргумента t:

Интегрируя левую и правую части, находим общее решение дифференциального уравнения:

В общее решение входит неопределенная константа С. Полагая NC = D, получим равенство:

из которого определим функцию x(t):

Здесь E = . Такого вида функция называется логистической, а её график - логистической кривой.

Если теперь учесть, что х(0) = х0 и положить х0 = N/a, где a > 0, то можно найти значение константы Е. Логистичеcкая функция примет вид:

.

На рис.2 приведены примеры логистических кривых, полученных при различных значениях α. Здесь величина N условно принималась за 1, а величина k бралась равной 0,5.

Задача 3 Динамическая модель Кейнса.

Рассмотрим простейшую балансовую модель, включающую в себя основные компоненты динамики расходной и доходной частей экономики. Пусть Y(t), E(t), S(t), I(t) - соответственно национальный доход[см.словарь[5]], государственные расходы, потребление и инвестиции. Все эти величины рассматриваются как функции времени t. Тогда справедливы следующие соотношения: (а)

где a(t) - коэффициент склонности к потреблению (0 < а(t) < 1), b(t) - автономное (конечное) потребление, k(t) - норма акселерации. Все функции, входящие в уравнения (а), положительны.

Поясним смысл уравнений (а). Сумма всех расходов должна быть равной национальному доходу - этот баланс отражен в первом уравнении. Общее потребление состоит из внутреннего потребления некоторой части национального дохода в народном хозяйстве и конечного потребления - эти составляющие показаны во втором уравнении. Наконец, размер инвестиций не может быть произвольным: он определяется произведением нормы акселерации, величина которой характеризуется уровнем технологии и инфраструктуры данного государства, на предельный национальный доход.

Будем полагать, что функции a(t), b(t), k(t) и E(t) заданы - они являются характеристиками функционирования и эволюции данного государства. Требуется найти динамику национального дохода, или Y как функцию времени t. Подставим выражения для S(t) из второго уравнения и для I(t) из третьего уравнения в первое уравнение. После приведения подобных получаем дифференциальное неоднородное линейное уравнение первого порядка для функции Y(t):

. (б)

Проанализируем более простой случай, полагая основные параметры задачи а, b и k постоянными числами. Тогда уравнение (б) упрощается до линейного дифференциального уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами:

. (в)

Как известно, общее решение неоднородного уравнения есть сумма какого-либо его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения. В качестве частного решения уравнения (в) возьмем так называемое равновесное решение, когда Y’ = 0, т.е.

. (г)

Нетрудно видеть, что эта величина положительна. Общее решение однородного уравнения дается формулой , так что общее решение уравнения (в) имеет вид