Инверсия на плоскости

 

Рис. 17

 

Теорема 9. Любые две окружности или прямую и окружность можно при помощи инверсии перевести в две прямые (пересекающиеся или параллельные) или в две концентрические окружности.

Доказательство. Данную окружность S всегда можно перевести при помощи инверсии в прямую линию. Для этого достаточно принять за центр инверсии любую точку этой окружности. Прямая при инверсии с центром на этой прямой переходит в себя. Поэтому две окружности или окружность и прямую, имеющие общую точку, всегда можно перевести в две прямые; для этого достаточно принять за центр инверсии эту общую точку. При этом, если окружности (окружность и прямая) имели две общие точки (т. е. пересекались), то полученные прямые будут пересекаться в точке, в которую переходит вторая общая точка (рис. 18, а); если две окружности (окружность п прямая) касались, то полученные прямые будут параллельны (рис. 18, б).

 

Рис. 18

 

Нам остаётся только доказать, что две непересекающиеся окружности или непересекающиеся прямую и окружность можно перевести инверсией в две концентрические окружности.

 

Рис. 19

 

Пусть сначала мы имеем  непересекающиеся окружность S и прямую l (рис. 19). Опустим из центра окружности S перпендикуляр о на прямую l. Пусть Р — основание этого перпендикуляра. Проведём окружность

с центром в точке Р и радиусом, равным длине касательной PQ, проведённой из Р к окружности S. Окружность будет перпендикулярна как к прямой l, так и к окружности S. Произведём инверсию с центром в одной из двух точек пересечения прямой о и окружности S, обозначим эту точку через О. Прямая о перейдёт сама в себя, окружность перейдёт в некоторую прямую ', прямая l и окружность S перейдут в две окружности l' и S', при этом обе эти окружности буду перпендикулярны как к о, так и к '. Но если окружность перпендикулярна к некоторой прямой, то это значит, что центр этой окружности лежит на прямой. Центры обеих окружностей l' и S' принадлежат как прямой о, так и прямой ', т. е. совпадают с точкой пересечения этих прямых. Итак, мы видим, что инверсия действительно переводит окружность S и прямую l в две концентрические окружности.

 

Рис. 21

 

Для того чтобы перевести непересекающиеся окружности S₁ и S₂ в две концентрические окружности, следует выбрать за центр инверсии точку пересечения линии центров O₁O₂ окружностей S₁ и S₂ и какой-либо окружности S, перпендикулярной как к S₁ , так и к S₂. При такой инверсии S и O₁O₂ перейдут в две прямые, окружности S₁ и S₂ — в окружности S₁' и S₂' перпендикулярные к этим двум прямым, т. е. имеющим общий центр в точке пересечения прямых. Для того чтобы построить окружность S пересекающую и S₁ и S₂ под прямым углом, найдём сначала окружность

, пересекающую под прямым углом окружность , и прямую в которые переходят окружности S₁ и S₂ при

Рис. 20 инверсии с центром в точке А пересечения O₁O₂ и S₂ – эта окружность имеет центр в точке Р пересечения O₁O₂ и

и радиус, равный касательной, проведенной из Р к S₂ (рис. 20, а). Искомая окружность S отвечает окружности при инверсии, переводящей S₁ и S₂ в и (рис. 20,б).

Рассмотрим некоторые  примеры решения задач на построение с применением инверсии.

Пример 3. В какую фигуру перейдет при инверсии, заданной этой окружностью, хорда, не являющаяся диаметром.

Решение.

Рассмотрим окружность инверсии ω=(О, R), АВ – хорда.

Прямая, не проходящая через  центр инверсии, переходит в окружность (теорема 1). Точки А и В лежат на окружности инверсии следовательно они инвариантны (свойство 3). Для построения образа нам необходимо найти образ еще одной точки хорды АВ.

Опустим из точки О на АВ перпендикуляр. Точку пересечения перпендикуляра и хорды АВ обозначим С. Образом точки С будет точка С' пересечения луча ОС и касательных к окружности инверсии в точках А и В (достаточно провести 1 касательную) (§2). Искомой окружностью γ будет окружность, в которую будет вписан треугольник АВС' (рис. 19). Образом хорды АВ будет внешняя часть окружности γ –

(свойство 4).(Рис. 21)

Пример 4. Построить образ сектора окружности при инверсии, заданной этой окружностью.

Решение. Анализ.

Рассмотрим инверсию относительно окружности ω=(О, R). Обозначим сектор окружности φ_1, вписанный угол, ограничивающий область сектора φ₁ -

. Для решения этой задачи необходимо рассмотреть 3 случая:

1. Если О φ₁, то φ₁ отобразится на часть плоскости ограниченную образами хорд АВ и ВС.
2. Если О φ₁, то по свойству 5 получим, что образы точек, лежащих неограниченно близко к центру инверсии будут бесконечно удалены от него. Следовательно, φ₁ перейдет в неограниченную область плоскости.
3. Если О лежит на стороне , то по теореме 1 данная сторона угла перейдет в прямую, ее содержащую, а φ₁ отобразится на полуплоскость, ограниченную данной прямой и образом второй стороны угла (свойство 5).

Нужно помнить о том, что точки сектора, принадлежащие  окружности симметрии, инварианты (свойство 3), следовательно, они отображаются на себя.

Построение. Для того чтобы, построить образ φ₁ нужно найти образы хорд (одной из хорд в случае 3) АВ и ВС как показано в примере 3 и выделить искомую область плоскости. Построение показано на рисунке 22

Доказательство. Действительно, данные изображения верны, т.к. построение основывалось на свойствах инверсии и теоремах, доказанных ранее.

Пример 5. Построить образ арабской звезды, вписанной в окружность инверсии. Выделить образ концов звезды.

Решение. Образы сторон звезды строятся как образы хорд окружности инверсии (пример 3). (Рис. 23)

Рис. 23

Пример 6. Построить образ гиперболического четырехугольника при инверсии относительно окружности ω=(O, R).

Решение. Анализ. Гиперболическим четырехугольником называется четырехугольник, сторонами которого являются ветви гиперболы.

Рассмотрим четырехугольник  образованный гиперболами γ₁:

и γ₂: , инверсию с центром О(0, 0) и степенью k=a².

Найдем аналитическое  выражение образов γ₁ и γ₂. Подставим в уравнение γ₁ вместо х и у формулы (5), получим γ₁':

. Сократим оба слагаемых на а² и получим . Заменим х' на х, у' на у и получим

γ₁':

. (10)

Аналогично можно вывести

γ₂':

. (11)

Построение. Образ гиперболического прямоугольника при данной инверсии будет обладать следующими свойствами:

1. Графики γ₁ и γ₂ асимптотически стремятся к прямым у=х и у=-х. Данные прямые будут асимптотами и для образов данных кривых.
2. Вершины гипербол, точки с координатами (а, 0), (0, а), (-а, 0) и (0, -а) являются инвариантными, так как принадлежат окружности инверсии (свойство 3 §2).
3. Гиперболы γ₁ и γ₂ лежат во внешней области окружности инверсии, следовательно, их образы будут лежать во внутренней области окружности инверсии (свойство 4 §2).
4. Концы гипербол бесконечно удалены от центра инверсии, следовательно их образы будут находиться на бесконечно малом расстоянии от точки О (свойство 5 §2)

Учтем это при построении.

Доказательство. Действительно, рисунок 24 является искомым изображением, так как выполняются все свойства указанные выше и оно удовлетворяет формулам (10) и (11).

(Аргунов Б.И., Геометрические построения на плоскости с.155

Адлер А. Теория геометрических построений с.35)

§9. Применение инверсии при решении задач на доказательство

 

Несмотря на то, что  инверсия интересна и сама по себе, она служит удобным, а порой практически незаменимым инструментом для решения задач, где главным элементом является окружность. Многие из этих задач могут быть решены и без применения инверсии, но инверсия позволяет доказывать содержательные утверждения быстро и элегантно. Рассмотрим несколько примеров.

Инверсия позволяет получить короткое решение задачи Архимеда об арбелосе. Словом άρβυλος (сапожный нож) будем, как и Архимед, называть «криволинейный треугольник», образованный тремя полуокружностями (рис. 25).

 

 

 

Рис. 25

 

Рис. 26

 

Задача Архимеда. Пусть точка С лежит на отрезке АВ. Построим полуокружности на диаметрах АВ, ВС, АС (это и есть арбелос). Перпендикуляр МС к отрезку АВ делит арбелос на две части. Докажите, что радиусы окружностей, вписанных в эти части арбелоса, равны между собой.

Решение. Обозначим AC = 2a ; BC = 2b. Рассмотрим инверсию относительно окружности ω с центром в точке В и радиусом ВМ (рис. 26).

При такой инверсии окружность β с диаметром АВ перейдет в прямую СМ, а окружность α с диаметром ВС в прямую, параллельную СМ, проходящую через точку А.

Таким образом, вписанная  окружность радиуса r, касающаяся окружностей α и β, перейдет в окружность, касающуюся их образов, то есть двух параллельных прямых. Радиус этой новой окружности равен радиусу окружности с диаметром АС.

Рассмотрим теперь гомотетию  с центром В, при которой окружность радиуса r переходит в окружность радиуса а, а точка С переходит в точку А.

 

,

 

Из симметричности полученной формулы относительно а и b следует утверждение задачи.

Знаменитая задача Паппа  об арбелосе представляет замечательный  пример задачи, которая легко решается с использованием инверсии и становится невероятно тяжелой, если запретить ей пользоваться .

Задача Паппа. Пусть окружности α, β и γ с диаметрами АВ, ВС, АС образуют арбелос, δ₀ – окружность, вписанная в арбелос, окружность δ₁ касается окружностей α, β и δ₀ , окружность δ₂ касается окружностей α, β и δ₁ , … окружность δ_n+1 касается окружностей α, β и δ_n.. Обозначим R_n – радиус окружности δ_n , d_n – расстояние от центра окружности δ_n до прямой АВ. Тогда

(рис. 27).

 

Рис. 27

 

Совершим инверсию относительно какой-нибудь окружности с центром в точке А. На чертеже эта окружность проходит через точку В.

При этой инверсии окружности α и β перейдут в две параллельные прямые, а цепочка из окружностей δ₀, δ₁, δ₂, … перейдет в цепочку равных окружностей ω₀, ω₁, ω₂, … заключенных между параллельными прямыми (рис. 28). Центры окружностей ω_n и δ_n лежат на одной прямой с точкой А. Для окружности ω_n утверждение задачи выполняется очевидным образом. Но окружность δ_n переходит в окружность ω_n при гомотетии с центром А, откуда и следует утверждение задачи.

 

Рис. 28

(Понарин Я. П. Элементарная геометрия §29)

 

Заключение

 

В результате проделанной  мною работы были сделаны следующие  выводы:

1. Инверсия не является взаимно однозначным преобразованием плоскости.
2. Инверсия не является движением и не является аффинным преобразованием.
3. Существует несколько формулировок определения инверсии.
4. Существует несколько способов нахождения образа точки при инверсии
5. Образ линии зависит от ее положения относительно окружности инверсии и центра инверсии.
6. Центры инверсии и гомотетии 2х неравных окружностей совпадают.
7. Любая задача, которая решаема с помощью линейки и циркуля, решаема с помощью одного только циркуля.

Исследования по теме инверсии можно продолжить в направлении рассмотрения стереометрической проекции инверсии, выведение формул аналитического выражения инверсии в комплексно-сопряженных координатах, рассмотрения инверсии на плоскости Лобочевского.

 

Литература

 

1. Аргунов Б.И., Балк М.Б. Геометрические построения на плоскости. Пособие для студентов педагогических институтов. Издание второе. – М.: Государственное учебно-педагогическое издательство Министерства Просвещения РСФСР, 1957. – 268 с.: ил.
2. Адлер А. Теория геометрических построений. Геометрические задачи и их решения с помощью циркуля и линейки. Издание третье. – Л.: Государственное учебно-педагогическое издательство НАРКОМПРОСА РСФСР. Ленинградское отделение, 1940. – 216с.: ил.
3. Атанасян Л.С., Атанасян В.А. Сборник задач по геометрии. Часть 1. – М.: Просвещение, 1973. – 256 с.
4. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. В 2-х частях. Часть 1. Учебное пособие для студентов физ.-мат. факультетов пед. институтов. – М.: Просвещение, 1986. – 336 с.: ил.
5. Атанасян Л.С. Геометрия, ч.1. Учебное пособие для студентов физ.-мат. факультетов пед. институтов. – М.:Просвещение, 1973. – 480с.: ил.
6. Бакельман И.Я. Инверсия. – М.: Наука, 1966. – 78с.: ил.
7. Кокстер Г.С.М. Введение в геометрию. – М.: Наука, 1966. – 648 с.
8. Понарин Я. П. Элементарная геометрия: В 2 т. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004.— 312 с.: ил.
9. Уроев В. Инверсия // Квант. – 1984. – № 5. – С. 26 – 32.
10. Фомина Н. Ю. Преобразования плоскости в задачах. Учебное пособие. – Арзамас: АГПИ, 2006. – 97с.
11. Яглом И.М. Геометрические преобразования. Линейные и круговые преобразования. Библиотека математического кружка. Выпуск 8. – М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956. – 608с.