Инверсия и ее свойства

Рассмотрим сечения сферы плоскостями граней гексаэдра. Получим шесть окружностей на сфере. Каждая окружность пересекается с четырьмя другими, а всего у них восемь общих точек, в каждой из которых встречаются по три окружности. Точнее, по условию общих точек – семь, а наличие восьмой требуется доказать.

Рассмотрим стереографическую  проекцию сферы на плоскость с центром в какой-либо вершине. Тогда три окружности, проходящих через центр проекции, перейдут в три прямые на плоскости, а три других окружности – в три окружности на плоскости.

Одной вершины – центра проекции, на чертеже нет, она «ушла в бесконечность». Оставшиеся точки, прямые и окружности образуют чертеж к хорошо известной задаче.

Пусть на сторонах треугольника взяты  три произвольные точки. Три окружности, каждая из которых проходит через вершину треугольника и две смежные с ней точки, пересекаются в одной точке.

Для доказательства достаточно провести две окружности и соединить точку  их пересечения с тремя точками  на сторонах. Как известно, вокруг четырехугольника можно описать окружность, тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 180°.

Обозначив углы треугольника a, b, g (a + b + g = 180°), получаем, что два угла при точке пересечения равны 180° – a и 180° – b. На третий угол остается:

360° – (180° – a) – (180° – b) = a + b = 180° – g,

Значит, третий четырехугольник также  вписан в окружность, что и доказывает утверждение задачи.

Здесь можно, пожалуй, остановиться, хотя тема инверсии, или более широко, геометрии окружностей далеко не исчерпана. Можно упомянуть задачу Аполлония о построении окружностей, касающихся трех данных, или задачу Мальфатти о построении трех попарно касающихся окружностей, вписанных в треугольник.

Не рассмотрена также такая  естественно возникающая конструкция, как пучки окружностей и многое другое. (ссылка на литературу)