Инверсия и ее свойства

Серединная окружность

Рассмотрим еще раз чертеж к теореме (2). Пусть прямая А₁А₂, пересекает второй раз окружность α₂ в точке М. Цепочку равенств углов из доказательства теоремы (2) можно продолжить ÐА₁С₁В₁ = ÐС₂А₂О = ÐС₂В₂М. Отсюда следует, что прямые А₁С₁ и МВ₂ параллельны. А это значит, что точка О является центром гомотетии окружностей α₁ и α₂. Таким образом можно сформулировать еще одно утверждение, широко применяемое при решении задач.

Если при инверсии с центром  О окружность α₁ переходит в окружность α₂, то центр инверсии является также центром гомотетии.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Хотелось бы так же просто сформулировать и обратное утверждение, что центр  гомотетии двух окружностей является центром подходящей инверсии, переводящей  эти окружности друг в друга, однако это не совсем так. Дело в том, что две окружности имеют, вообще говоря, два центра гомотетии. Коэффициент одной гомотетии положителен, а другой – отрицателен. При этом для одного из центров гомотетии подходящая инверсия обязательно существует, а для другого иногда существует, а иногда нет. Разберемся в этой ситуации подробнее.

 

Теорема 3

Пусть точка О – центр  гомотетии окружностей α₁ и α₂; точке А₁ окружности α₁ соответствует при этой гомотетии точка А₂ окружности α₂. Прямая А₁А₂  второй раз пересекает окружности в точках В₁ и В₂ соответственно. Тогда произведение ОА₁ · ОВ₂ постоянно и не зависит от выбора точки А₁.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для доказательства выберем  на окружности α₁ произвольную точку С₁, построим гомотетичную ей точку С₂, и рассмотрим точки D₁ и D₂, в которых прямая С₁С₂ вторично пересекает окружности. Покажем, что ОА₁ · ОВ₂ = ОD₁ · ОC₂.

Четырехугольники А₁В₁С₁D₁ и А₂В₂С₂D₂ гомотетичны, и значит ÐD₁ = ÐD₂ , кроме того ÐD₂ = ÐА₁В₂С₂, так как А₂В₂С₂D₂ – вписанный четырехугольник. Следовательно, точки А₁ В₂ С₂ D₁ лежат на одной окружности, и значит ОА₁ · ОВ₂ = ОD₁ · ОC₂, что и требовалось доказать.

 

Если обозначить R² = ОА₁·ОВ₂ = ОD₁·ОC₂,  то на чертеже, использованном для доказательства, R – это длина касательной, проведенной к вспомогательной окружности из точки О. Проводя окружность ω радиуса R с центром О, получаем окружность инверсии, переводящей окружность α₁ в α₂. Ее называют серединной окружностью для α₁ и α₂.

 

Но если попытаться проделать  то же самое построение для внутреннего  центра гомотетии окружностей α₁ и α₂ на том же самом чертеже, то можно видеть, что хотя теорема (3) остается верной, окружность инверсии, тем не менее, построить не удается, так как точка О лежит внутри вспомогательной окружности и, значит, касательную провести нельзя.

 

 

 

Если же провести эти построения для случая, когда одна окружность лежит внутри другой, то оказывается, что для центра гомотетии с отрицательным коэффициентом можно построить серединную окружность, а для другого нельзя. Фактически, все определяет то обстоятельство, лежит ли точка В₂ на луче ОА₁.

Лучше всего обстоят  дела для пересекающихся окружностей. Для них можно построить две  различные серединные окружности. Их центрами являются  оба центра гомотетии.

 

На чертеже можно  видеть все три случая.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Можно сформулировать теорему.

Теорема 4

Для двух непересекающихся или касающихся окружностей существует одна серединная окружность, а для пересекающихся окружностей существуют две различные  серединные окружности. Центром серединной окружности всегда является один из центров гомотетии двух исходных окружностей.

 

Задача 4

Две окружности радиусов R и r касаются друг друга. Найдите радиус их серединной окружности. (рассмотрите два различных случая)

Круговая плоскость

Формулировка теоремы (4), к сожалению, не является вполне корректной. Неприятность возникает при попытке применить ее к двум равным окружностям. Действительно, для двух непересекающихся или касающихся окружностей, не лежащих одна внутри другой, центром серединной окружности служит внешний центр гомотетии. Но для двух равных окружностей внешний центр гомотетии не существует. Получается, что к формулировке теоремы надо добавить еще несколько строк, описывающих этот частный случай. Однако, лучше поступить совсем другим образом.

Попробуем рассмотреть две  «почти равные» окружности. Внешний центр гомотетии лежит где-то «очень далеко», а радиус серединной окружности весьма велик по сравнению с исходными окружностями. Если радиусы исходных окружностей будут отличаться все меньше и меньше, то радиус серединной окружности будет становиться все больше и больше, а сама серединная окружность будет «выпрямляться», становясь все больше похожей на прямую. Эта предельная прямая является, конечно же, осью симметрии двух равных окружностей.

То есть, напрашивается примерно такая формулировка: серединной окружностью двух равных окружностей является их ось симметрии. Звучит достаточно абсурдно: «окружностью является прямая». Но, с другой стороны, образом окружности при инверсии может служить и прямая, и окружность. И значит, окружности и прямые «с точки зрения инверсии» вполне взаимозаменяемы.

Таким образом, надо не исправлять формулировку теоремы, а расширить определение  окружности, так чтобы оно включало в себя прямую, как частный случай. Что-то вроде: «прямая – это  окружность бесконечного радиуса». Но, для того чтобы это определение было логически корректным, придется вместо евклидовой плоскости рассмотреть другую конструкцию, получившую название «круговая плоскость».

Для этого присоединим к плоскости  одну «бесконечно удаленную точку». Пока что проделаем это, как абсолютно формальную процедуру. Просто договоримся, что теперь кроме обычных точек на плоскости есть еще одна невидимая «бесконечно удаленная точка», обладающая лишь одним свойством: бесконечно удаленная точка при любой инверсии является образом центра инверсии.

Будем теперь считать, что прямая – это окружность, проходящая через бесконечно удаленную точку. В дальнейшем будем употреблять слово «окружность» вместо слов «окружность или прямая», считая прямую частным случаем окружности. Теорема (1) становится при этом частным случаем теоремы (2). Окружность, проходящая через центр инверсии, переходит в окружность, проходящую через бесконечно удаленную точку. Вместо теорем (1) и (2) получаем теорему (1 – 2).

 

Теорема 1 – 2

Окружность при инверсии переходит в окружность.

 

Ясно, также, что «инверсией относительно прямой» можно считать осевую симметрию. В дальнейшем это будет  строго доказано.

На круговой плоскости инверсия является взаимно однозначным преобразованием. Каждая точка, без исключения, имеет образ, и каждая точка служит образом некоторой точки.

Любые две окружности могут быть отнесены к одному из трех типов: пересекающиеся, непересекающиеся, касающиеся. При  этом параллельные прямые – это  окружности, касающиеся в бесконечно удаленной точке. Поскольку инверсия является взаимно однозначным преобразованием, то пара окружностей при инверсии переходит в пару окружностей того же типа.

 

Задача 5

Докажите, что через две данные точки можно провести не более  двух окружностей, касающихся данной окружности.

Конформность

Итак, при инверсии окружности переходят  в окружности. Определим угол между  пересекающимися окружностями, как  угол между касательными в точке  их пересечения. Окружности, конечно  же, пересекаются в двух точках, и углы в этих точках имеют одну и ту же величину. Воспользуемся этим для доказательства того, что углы при инверсии сохраняются. Это свойство инверсии называют конформностью.

Теорема 5

Инверсия сохраняет  угол между пересекающимися окружностями.

 

Рассмотрим сначала две пересекающиеся прямые а и b, которые при инверсии переходят в пересекающиеся окружности α и β. Точка пересечения Р переходит в точку Р', а второй раз окружности α и β пересекаются в центре инверсии О.

Остается заметить, что  из доказательства теоремы (1) следует, что касательные к окружностям α и β в точке О параллельны прямым а и b. Отсюда следует, что угол между прямыми а и b равен углу между касательными в точке О и равен углу между их образами α и β, так как угол между этими окружностями в точке О равен углу в точке Р'.

Если рассмотреть теперь две окружности, пересекающиеся в  точке Р и провести к ним  в этой точке касательные  а и b, то образы этих окружностей пересекаются в точке Р' и касаются в ней соответственно окружностей α и β. Значит угол между образами этих окружностей равен углу между α и β, который в свою очередь равен углу между касательными а и b, то есть углу между исходными окружностями.

 

Теперь понятно, почему пересекающиеся окружности имеют ровно  две серединные окружности. Они делят пополам углы между исходными окружностями.

 

Задача 6

Можно ли построить три окружности, такие, что каждая из них является серединной окружностью для двух других?

Ортогональные окружности

По основной лемме любые две  пары симметричных точек А₁, А₂ и В₁, В₂ лежат на одной окружности. Поскольку при инверсии эта четверка точек в целом остается на месте, то  окружность α, проходящая через эти точки, также остается на месте, то есть переходит сама в себя.

При инверсии точки окружности ω  остаются неподвижными, а точки на окружности α меняются местами, но в целом окружность α остается на месте. Из предыдущей теоремы о сохранении углов, получаем, что в точке пересечения смежные углы между окружностями α и ω равны между собой. Значит, эти углы – прямые.

Окружности α и ω называют, поэтому, ортогональными (т. е. перпендикулярными). В силу очевидной симметрии, имеет  место следующее утверждение: если окружность α переходит в себя при инверсии относительно ω, то окружность ω переходит в себя при инверсии относительно α.

Ортогональные окружности легко построить, пользуясь очевидным свойством: касательные в точке пересечения ортогональных окружностей проходят через их центры.

Полезным дополнением к основной лемме является следующая теорема.

 

Теорема 6

Пусть точки А₁ и А₂ симметричны относительно окружности ω. Тогда любая окружность α, проходящая через эти точки, ортогональна к окружности ω.

Пусть луч с началом в центре инверсии О пересекает окружность α  в точках В₁ и В₂. По известной теореме о секущих окружности ОА₁ · ОА₂ = ОВ₁ · ОВ₂.

По определению симметричных точек  ОА₁ · ОА₂ = R², следовательно ОВ₁ · ОВ₂ = R², то есть точки В₁ и В₂ также симметричны относительно окружности ω.

Поскольку точки А₁, А₂ и В₁, В₂ при инверсии меняются местами то окружность α, проходящая через эти точки, переходит при инверсии сама в себя. Это и значит, что окружности α и ω ортогональны.

 

Задача 7

Постройте окружность, которая  проходит через данную точку и  ортогональна к двум данным окружностям.

Рассмотрим теперь окружность α и какие-нибудь две ортогональные к ней окружности, пересекающиеся в точках А₁ и А₂. Поскольку при инверсии относительно окружности α ортогональные к ней окружности остаются на месте, то при этой инверсии точка А₁ переходит в точку А₂, то есть точки А₁ и А₂ симметричны относительно окружности α.

Теперь совершим инверсию относительно любой другой окружности ω. Окружность α перейдет в какую-то окружность β, а две окружности, ортогональные  к α, перейдут в две окружности, ортогональные к β, так как  инверсия сохраняет углы.

Отсюда следует, что точки А₁ и А₂, симметричные относительно окружности α перейдут в точки В₁ и В₂, симметричные относительно ее образа, окружности β.

Окончательно получаем, что при инверсии окружность и две симметричные относительно нее точки переходят в окружность и две симметричные точки.

 

Заметим еще, что окружность, ортогональная  прямой, это окружность, центр которой  лежит на данной прямой. Значит, если окружность α при инверсии перейдет в прямую а, то образы точек А₁ и А₂ будут симметричны относительно этой прямой.

Теперь можно считать строго доказанным, что осевая симметрия  есть частный случай инверсии.

 

Следующая задача устанавливает полезное свойство ортогональных окружностей

 

 

Задача 8

Пусть ортогональные  окружности пересекаются в точках М и N; АВ – диаметр одной из них. Тогда прямые AM, AN, BM, BN пересекают другую окружность в концах диаметра, перпендикулярного АВ.

 

Указание:

воспользуйтесь тем, что  касательные к одной из окружностей  в точках М и N проходят через центр  другой окружности.

 

Нетрудно также доказать и обратное утверждение.

 

Задача 9

Пусть высоты АМ и BN треугольника АВС пересекаются в точке D. Тогда  окружности, описанные вокруг четырехугольников ABMN и CMDN, ортогональны.

 

 

 

Задача Архимеда

Несмотря на то, что инверсия интересна и сама по себе, она служит удобным, а порой практически незаменимым инструментом для решения задач, где «главным действующим лицом» является окружность. Многие из этих задач могут быть решены и без применения инверсии, но инверсия позволяет доказывать содержательные утверждения быстро и элегантно. Вот несколько примеров: