Геометрия и искусство

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ФГОУ ВПО «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ, ИНФОРМАТИКИ И ФИЗИКИ

ОТДЕЛЕНИЕ МАТЕМАТИКИ

 
 
 
 
 
 
 
 

курсовая работа на тему

«Геометрия и искусство»

 
 

выполнила: студентка 3 курса

факультета математики,

информатики и физики

отделения математики

Аландаренко О. Н.

 
 
 
 
 
 

Ростов-на-Дону

год

Введение

 

В настоящее время вновь особую актуальность приобретают вопросы, связанные с воспитанием личности школьника в процессе обучения. Одной из причин, породивших данную тенденцию, является низкий уровень духовной культуры современного учащегося, неотъемлемой частью которой является её эстетическая составляющая. Этой же причиной обусловлена направленность современного математического образования на гуманитаризацию, в связи с чем обучение геометрии приобрело ряд нетрадиционных функций, одной из которых является эстетическая функция, призванная обеспечить процесс эстетического воспитания посредством раскрытия при обучении геометрии.

Кроме того, как отмечают многие математики (Ж. Адамар, Г.Биркгоф, Г.Вейль, А.Пуанкаре и др.) и специалисты в области математического образования (В.Г. Болтянский, В.А. Крутецкий и др.), видение красоты геометрии определяет не только эстетико-ценностную ориентацию личности, но и способствует развитию интереса к ней, а также оказывает весьма значительную помощь в поиске решений геометрических задач, освоении теорий, тем самым заметно влияя на математическую подготовку учащихся.

Интерес к данной теме носит своеобразный "пульсирующий" характер с периодами почти полного забвения (1985-1995) и периодами особой популярности, как, например, в последние шесть лет, обусловленной тенденцией образовательного процесса к его гуманизации и гуманитаризации.

Диапазон мнений по этой проблеме достаточно обширен: часть из них, придерживаясь пассивно-созерцательного подхода, рассматривает эстетически привлекательное геометрическое содержание в качестве эмоционального фона процесса обучения (И.Г. Зенкевич, В.Т. Ковешников, В.Л. Минковский), другая часть развивает активно-действенный подход к реализации эстетического потенциала геометрии в процессе обучения (В.Г. Болтянский, Н.В. Гусева, О.А. Кобалия, Н.Л.Рощина, Н.И.Фирстова). Основой, позволившей рассмотреть эстетические аспекты обучения геометрии на качественно новом уровне, явились результаты психологических исследований проблемы красоты, в частности, гипотеза, выдвинутая известным психологом Р.Х. Шакуровым, о том, что красота - сложное качество, составляемое как статическим компонентом, образуемым обобщенным стандартом, так и динамическим, наполняемым оригинальностью, эмоциональностью и т.д.

В связи с этим в последнее время и среди методических исследований появились работы, содержащие попытки создания научно обоснованной модели красоты геометрического объекта (Г.И.Саранцев и др.). Однако в большинстве работ методистов вопросы, связанные с разъяснением содержания понятия красоты, остаются за их границами. Поэтому выводы и предложения авторов исследований либо тривиальны (любой геометрический объект эстетичен), либо необоснованны.

Тема: «Геометрия и искусство»

Объект: эстетический потенциал математики.

Предмет: эстетический потенциал в геометрии.

Цель: Изучить проявления эстетического потенциала в геометрии.

Задачи:

. Проанализировать специальную  литературу по данной теме .

. Проанализировать подходы  к понятию "эстетический потенциал".

. Рассмотреть различные  проявления эстетического потенциала  в геометрии.

. Рассмотреть различные  виды эстетического потенциала  в геометрии.

. Проанализировать различные  методики проведения самостоятельных  работ.

I. Эстетический потенциал  математического объекта

 

Разные математики предпринимали попытку раскрыть содержание эстетической привлекательности математического объекта. Так Э.Т. Белл это содержание описывает совокупностью следующих характеристик:

-универсальность использования  в различных разделах математики;

-продуктивность или возможность  побудительного влияния на дальнейшее  продвижение в данной области  на основе абстракции и обобщения;

-максимальная емкость  охвата объекта рассматриваемого  типа [3,с.27].

Указанная совокупность признаков красивого математического объекта, как и другие предполагаемые наборы характеристик красоты, сформулирована не вполне четко и несколько размыто, что объясняется их трудной уловимостью и неполной осознанностью.

Некоторые исследователи дополняют перечисленные характеристики новыми:

-высоким контрастом между  уровнями сложности выводимого  факта и используемых при этом  аппаратных средств, достигаемых  за счет использования тех  или иных эвристических процедур;

-четко выраженной упорядоченностью, гармонией целого и частей, как  чувственный (например, через идею симметрии), так и интеллектуальной (например, через осознание стройности математических доказательств) [9].

В качестве примера математического объекта, удовлетворяющего указанным критериям, Э.Т. Белл приводит задачу построения правильных многоугольников, решенную К. Гауссом в конце XVIII века. Она явилась результатом органического синтеза алгебры, геометрии, теории чисел и послужила в прошлом стимулом для многих алгебраических исследований, а внешняя простота, ярко выраженная симметричность, безукоризненная стройность решения побудили исследователей математического творчества назвать эту задачу настоящим произведением искусства иматематической поэмой.

По мнению В.Г. Болтянского [4, с.41], красота математического объекта может быть выражена посредством изоморфизма между объектом и его наглядной моделью, простотой модели и неожиданности ее появления. Это утверждение можно подкрепить формулой математической эстетики из его статьи [4]: красота = наглядность + неожиданность = изоморфизм + простота + неожиданность (изоморфизм предполагает правильные, неискаженные отражения основных свойств явления в его наглядном представлении). Мера красоты тем выше, чем меньше мера сложности объекта или чем проще его наглядная модель.

Наиболее четкая привлекательность математического объекта была дана Г. Биркгофом: , где М - мера красоты, О - мера порядка, а С - мера усилий, затрачиваемых для понимания сущности объекта [5]. Очевидно, что в случае затраты минимума усилий (а это возможно, когда восприятие объекта укладывается в обобщенный его образ), мера красоты возрастает прямо пропорционально росту меры порядка. Отсюда следует, что для ученика красивыми математическими объектами будут те, восприятие которых сопряжено с наименьшими усилиями с его стороны. Эстетическая мера будет увеличиваться с упорядочиванием структуры объекта, что осуществляется в процессе его преобразования. Сказанное объясняет привлекательность симметричных объектов. Симметрия, являясь самой впечатляющей формой порядка, понимается как гармония отдельных составляющих системы математических знаний. Носителями симметрии являются многие арифметические и алгебраические конструкции и структуры: теория пропорций, различные числовые структуры, множество подстановок корней уравнения, симметрические многочлены и т.д. Содержание симметрии постоянно расширяется и обогащается. Примером может служить создание компьютерных образов на основе фрактальной геометрии.

На важность меры порядка в проявлении эстетического чувства обращают внимание многие математики. Так, А. Пуанкаре видит математические характеристики, которым приписываются свойства красоты и изящества, в элементах, гармонически расположенных таким образом, что ум без усилий может их охватить целиком, угадывая детали. Эта гармония служит одновременно удовлетворением наших эстетических чувств и помощью для ума, она его поддерживает и ею он руководит [6, с.23]. По мнению этого ученого, именно симметрия, понимаемая как гармония отдельных составляющих системы математических знаний, их счастливое равновесие, вносит в эту систему порядок, сообщая ее компонентам внутреннее содержательное единство. Таким образом, эстетическим потенциалом, основанным на идее симметрии, обладает большой объем даже школьного учебного материала, который должен быть использован при разработке методики обучения математики.

В содержании понятия простота некоторые исследователи выделяют такие признаки, как немногочисленность и общность исходных гипотез, возможность актуализации привычных образных представлений, а также наиболее прямой и естественный ход обоснования гипотез. Ряд математиков утверждают, что простота как эстетическое качество предполагает наличие в числе его характеристик неожиданности, выражающейся в контрасте между очевидностью и естественностью утверждений и трудностью их обоснования. Многие простые и общие теоремы высшей арифметики естественно возникают из простейших вычислений, однако при их доказательстве часто встречаются большие трудности. В качестве эстетической привлекательности отмечается и обратный контраст между громоздкостью, сложностью условия задачи и простым изящным ее решением.

Перечисленные характеристики красоты математического объекта соотносятся, как легко заметить, либо с внешней стороной, либо внутренней, реализующейся в его исследовании. Указанные виды красоты выполняют разные функции в математической деятельности. Первая из них реализуется созерцанием эстетически привлекательной формулировки изучаемой теоремы, задачи, рисунка. Если же рассматриваемая конструкция выглядит несовершенной, т.е., какие-либо ее элементы или она в целом не соответствуют стереотипным образам, то возникает желание ее исправить, появляется потребность в активной деятельности по гармоничному дополнению структуры математического знания. Познавательный интерес проявляется в ситуации, когда воспринимаемый стимул похож на его стандартную модель, но не укладывается в нее полностью. Абсолютно новый стимул не вызывает интереса, поскольку он не представлен в психике, нет его стереотипного образа в голове, подчеркивает Р. Х. Шакуров [10]. Интеллектуальная красота постигается в процессе активной творческой деятельности по преобразованию объекта, выбору направления научного поиска, который, в свою очередь, осуществляется под действием эстетических факторов. Учащиеся при решении задачи чаще используют эвристики эстетического характера, ведущие либо к достраиванию рисунка до более симметричного, либо к гармонии целого и части, либо к обобщению или аналогии, либо к рассмотрению частного случая и т.д.

С повышением уровня математической подготовки школьников усиливается влияние эстетических мотивов на осуществление поисковой деятельности, расширяется круг эстетических факторов и их выбора в различных конкретных ситуациях, что способствует более высокому пониманию математической красоты, которое соотносится с творческой математической деятельностью, с изящностью рассуждений, с различными способами решения задачи. Как отмечал А. Пуанкаре, чувство изящного есть чувство эстетического удовлетворения, обусловленное взаимным приспособлением между математическим объектом и потребностями нашего ума [9]. В силу такого именно приспособления данный объект становится как бы собственностью нашего ума и может служить орудием в дальнейшем познании.

Итак, содержание понятия красоты характеризуется следующими признаками:

соответствием математического объекта его стандартному, стереотипному образу;

порядком, логической строгостью;

простотой;

универсальностью использования этого объекта в различных разделах математики;

оригинальностью, неожиданностью.

Учитывая сказанное, в эстетическом восприятии математического объекта можно выделить следующие этапы восприятия:

1)восприятие основано  только на совпадении предъявляемых  объектов с их образами, сформированными  у школьников;

2)восприятие обусловлено  тем, что предъявляемый объект  не полностью соответствует своему  образу, однако его "доведение" до образа как бы подсказывается  структурой этого объекта (достроить  фигуру, дополнить часть до целого  и т.д.);

)восприятие объекта смещается  на его внутреннюю структуру. В частности, если таковым объектом  является задача, то ее эстетическая  привлекательность заключена в  поиске различных способов ее  решения, применении аналогии, обобщения, выделении из этих способов  наиболее оригинального.

Итак, эффективность математической деятельности во многом обусловлена эстетическими закономерностями. Вместе с тем, эстетический потенциал математики заложен глубже, чем в искусстве. Его актуализация требует специальной работы, в основе которой находятся закономерности формирования понятий, изучения теорем, иерархия уровней эстетической привлекательности математических конструкций. Так, в процессе формирования понятий на этапе мотивации введения понятия следует отдавать предпочтения математическим объектам с явными элементами эстетических свойств во внешнем чувственном облике либо в анализе внутренних процессов, зависимостях и отношений. Примером таких объектов являются многогранники, графики, задачи с внешней привлекательностью их условий, в занимательной фабуле задачи, в схемах, рисунках.

Каждому уровню эстетического восприятия можно поставить в соответствие тип задач, в процессе решения которых обеспечивается его формирование:

a)задачи, условия которых  реализуют наглядную выразительность;

b)задачи, условия которых  представимы такими моделями, которые  можно упростить;)задачи, решаемые  различными способами, либо с  неожиданным решением.

Зная, на каком уровне эстетического развития находится каждый ученик, учитель с помощью специальных задач может целенаправленно формировать эстетический вкус школьника. В свою очередь, это дает возможность управлять с помощью эстетических мотивов учебной деятельностью.

Красота помогает организовать конструктивную деятельность школьников, в которой они принимают активное участие, проявляя свою творческую индивидуальность, и обратно, математическое познание, ориентированное на эстетическое воспитание учащихся, является для них самым продуктивным и интересным. А вот чем можно заинтересовать учащихся и вместе с тем показать красоту математики, мы рассмотрим в следующем пункте, где подробно остановимся на составляющих эстетического потенциала математики.