Функция туралы

Түбірден  құтылу мақсатында алмастыруын жасаймыз. Аргументтің шектік мәнін қойсақ, теңдеуі шығады. Бас нүктедегі, яғни нүктесіндегі шекті іздейтіндіктен, тригонометриялық теңдеудің шексіз көп шешімдерінің ішінен -ді ғана аламыз. Сонымен, -да . Сонда 

. Ал соңғы теңдіктің оң  жағындағы шекті түрлендіру тәсілімен  шығаруға болады. Шынында да, 

. 

Практикада  алмастыруын қолданғаннан гөрі алмастыруын жасау қолайлырақ болады. 

      8-мысал.  Мынадай шекті табыңыз:  .

Бұл мысалда  иррационал өрнекті рационал өрнекпен ауыстыру арқылы алмастыру жасаймыз. Ол үшін деп аламыз. Сонда -да , демек, берілген шек мына түрге көшеді: 

. 

      9-мысал.  Мынадай шекті табу керек:  .

Енді  тәуелсіз айнымалыны нөлге ұмтылдыру  үшін көмекші белгісіз енгіземіз. Шек  белгісінің астында тұрақты  санын ұмтылу белгісінің ( ) сол жағына шығарып, сонда шыққан өрнегін көмекші айнымалы -пен белгілейді. Онда -да , яғни 

. 
 

2.4. Тізбек жинақтылығын есептеуді түрлі әдіс тәсілдері. 
 

      Түбірдің  дәреже көрсеткіші жоғары болған сайын  есептеу процесі қиындай түседі. Мұндай қиыншылықтар шекті есептеуге  қажетті формулаларды көбірек пайдалануға  мәжбүр етеді. Төмендегі теоремалар осы мәселелерді дұрыс шешу мақсатымен беріліп отыр.

        функциясы  ұмтылғанда анықталмағандығын береді делік, басқаша айтқанда, . 

      1-теорема. Айталық, және функциялары нүктесінде нөлге айналмайтын және ( - кез келген оң сан) аралығында үздіксіз функциялар, ал және функциялары - нүктесінің -аймағында бірдей ретті шектеусіз аз шамалар, яғни болсын, онда және функциялары төмендегі: 

   шарттарын қанағаттандырады. 

 

(мұндағы  мен - оң рационал сандар).

Мынадай формуланы аламыз: 

   (1) 

      1-мысал.  .

Шешуі: және функциялары -да нөлге ұмтылатындықтан, олардың құрамында қарапайым шектеусіз аз шамалар бар. Бұларды көбейткіштерге жіктеп жазайық: 

. 

Осы көбейтінділерден:

 болғандықтан, -ді есептеуіміз керек. Сонда: 

 

 

. Сонымен,  болғандықтан, ізделінді шекті (1)-ді пайдаланып табамыз: 

. 

      2-мысал.  Мына шекті есептеңдер: .

Шешуі: нүктесінде және функциялары нөлге айналады. Сондықтан олардың құрамынан қарапайым шектеусіз аз функцияларды бөліп шығарамыз. Осы және басқа қажетті аралық есептеулерді екі вертикаль сызықтың арасына жазамыз. Сонда: 

 

Ескерту. Егер екендігі анықталса, онда -ді есептеудің қажеті жоқ. 

      2-теорема. ( - кез келген оң сан) аралығында үздіксіз және функциялары төмендегі шарттарды қанағаттандыратын болсын: 

      (4) 

      (5) 

      (6) 

      (7) 

мұндағы және функциялары нүктесінің аймағында бірдей ретті шамалар, яғни 

       (8) 

онда

  (9) 

Теорема ( ) қос таңбамен алынып, жалпы жағдай үшін тұжырымдалған. Біз функциясы шегінің формуласын қорытамыз. 

Дәлелдеу. және екімүшелерін,

 формуласына сүйеніп, көбейткіштерге  жіктейміз: 

(10) 

Бұл теңдіктерден ізделінді шектің мына шектерге байланыстылығы көрінеді: 

 және  ,  

(4), (5) шарттарын  пайдалансақ: 

  (11) 

Біз айырманы ғана қарастырып отырмыз, -ң орнына -ны қойсақ: және . Осыларды және (2), (3) шарттарын ескерсек: 

   (12) 

(11) және (12) теңдіктерінен (9) формула алынады.  Сонымен, теорема дәлелденді.

      (9) формуланы пайдаланып шек тапқанда, дәреже көрсеткішін ескермей, дәрежелердің негіздерінің айырмасын немесе қосындысын көбейткіштерге жіктейміз. Олардың біреуі қарастырып отырған нүктеміздің аймағында шектеусіз аз шама болатын функцияның дәрежесі, ал екіншісі – сол нүктеде нөлге айналмайтын үздіксіз функция. Ал шектеусіз аз пен шамаларының ретін көрсететін мен сандары өзара тең болмаған жағдайда іздеп отырған шегіміздің нөлге немесе шексіздікке тең болатынын бірден айтамыз да, олар өзара тең болғанда шекті (9) формуланың екінші теңдігінен табамыз. 

      3-мысал.  Мына шекті есептеу керек:  .

Шешуі: -ң орнына 0-ді қойғанда анықталмағандығын аламыз. Шек таңбасымен берілген функцияға қарап, (9) формулаларды пайдалану керектігін анықтаймыз. Олар – үшеу. Керегін таңдап алу үшін шектеусіз аз функциялардың көрсеткіштерін анықтау керек. Осыдан: және . Сондай-ақ, (4) және (5) теңдіктерінің оң жағындағы көбейтінділерді тиісінше алым мен бөлімді жіктеу есептерінің абстракт түрдегі мақсаты дейміз. Енді жіктеуге кірісейік: 

Бұл жіктеулерден: . Бізге керегі болатын жағдай. Енді ондағы -дің шамасын есептейік: 

. 

Сонда (9) формула бойынша: 

. 

      4-мысал.  .

Мұнда -ң орнына 0-ді қойғанда анықталмағандығын аламыз. Шек таңбасының астында тұрған бөлшектің алымындағы дәрежелердің негіздерінің қосындысын көбейткіштерге жіктесек, былай болады: 

бұдан .

 болғандықтан, ізделініп отырған шекті (9) формула бойынша табамыз. Сонда:

. 

      3-теорема. ( - кез келген оң сан) аралығында үздіксіз және функциялары 2-теореманың шарттарын қанағаттандырса, онда 

  (13) 

Егер  мұндағы  - бүтін оң және жұп сандар болса, онда , өрнектердегі қос таңбалардың тек минусын ғана аламыз.

      3-теореманың  дәлелдеуінің 2-теореманың дәлелдеуінен өзгешелігі – тек (10) формуланың орнына мына формуланы пайдалану керек: 

.    (14) 

      5-мысал.  шегін табу керек. 

Бөлшектегі  -ң орнына оның шектік мәні 0-ді қойсақ, түріндегі анықталмағандық шығады. Бөлшектің алымындағы түбірлер астындағы өрнектердің айырмасын біреуі шектеусіз аз шаманың дәрежесі болатын, екіншісі аргументтің шектік мәнінде нөлге айналмайтын екі функцияның көбейтіндісіне жіктейік: 

 

Бұдан .

 болғандықтан, іздеп отырған  шекті (13) формула бойынша табамыз.  Сонда 

. 

      6-мысал.  шегін табыңдар. 

Қарастырып  отырған мысалымыз үшін (14), (15) шарттары мына түрде жазылады: 

. 

Осыдан  . Сондықтан, . 

      7-мысал.  шегін есептеңдер. 

Бөлшектің алымы мен бөліміндегі түбірлер астындағы өрнектердің тиісті қосындыларын көбейткіштерге жіктегенде: 

 болады да, бұдан

 

Ал  .    болғандықтан, ізделінді шекті есептеп шығаруға (13) формуланың екінші теңдігін пайдаланамыз. Сонда: 

. 

      3.Келтіру  әдісі.

Дәрежелердің  не түбірлердің қосындысының қатынасынан  шек табу формулаларын қорыту кезінде  қойылған шарттарда дәреже негіздерінің немесе түбір астындағы функциялардың  алгебралық қосындысын шектеусіз аз шамалардың дәрежесі мен қарастырып отырған нүктеде нөлге айналмайтын үздіксіз функцияның көбейтіндісіне жіктеу керек деп ұйғардық. Ал көбейткіштерге жіктеу әрқашан мүмкін бола бермейді. 

      1-мысал.  шегін табу керек.

Бұл шекте  түбір астында тұрған функциялардың  айырмасын, яғни өрнегін жоғарыда айтылған шартты қанағаттандыратын функциялардың көбейтіндісі түрінде жазуға болмайды. Демек, бөлшектің алымына 2 санын қосып және алып, (4)-(7) формулаларға келтіруге болады. Сонда: 

. 

Теңдіктің оң жағындағы бірінші шек үшін 

 орындалады. Осы жіктеуден:  . 

Сонда (4) формула бойынша: 
 

 

 

Сонымен, ізделініп отырған шек мынадай  болады: 

. 

      2-мысал.  . 

Мұнда түбір астындағы өрнектердің  айырмаларын  нүктесінің аймағында шектеусіз аз шаманың дәрежесі мен сол нүктеде нөлге айналмайтын үздіксіз функцияның көбейтіндісі түрінде жазу мүмкін емес. Дегенмен, шек таңбасы астындағы бөлшектің алымын (3-қосу және алу арқылы) түрлендірсек, онда ол мынадай түрге келеді: 

. 

Теңдіктің оң жағындағы бірінші шек үшін , сондықтан, , ал екінші шек үшін , демек, . болғандықтан, 

, ал  . 
 

 

Қорытынды 

     Функцияны әр түрлі тәсілмен анықтап береді. Соның ішінде ең көп тарағы –  функцияның аналитикалық тәсілмен берілуі, яғни аргументтің мәні бойынша функцияның сәйкес мәнін табу кезінде орындалатын амалдардың жиынтығын көрсететін формула арқылы функцияның берілуі. Сонда функцияның анықталу облысы көрсетіледі. Егер формула арқылы берілген функцияның анықталу облысы айқын түрде көрсетілмесе және ешқанда қосымша шектеулер келтірілмесе, онда функцияның анықталу облысы, айнымалының осы формуланың мән-мағынасы болатындай барлық мәндерінен тұрады.

     Аналитикалық  функцияның тармағы - берілген аналитикалық функцияның, жинақталу радиусы r>0 болатын ∏(a, z) =  дәрежелік қатары ретінде анықталған элементінің кешен С жазықтығында берілген D аймағына, енетін барлық жолдар бойынша аналитикалық жалғастарының нәтижесі.

     Сонымен, aналитикалық функцияның тармағы  ∏(a, z) элементі және D аймағы арқылы анықталады. Есептеу барысында тек қана бірмәнді, немесе регулярлы аналитикалық функцияның тармағы қолданылады. Толық аналитикалық функцияның анықталу аймағына енетін кез келген D аймағы үшін аналитикалық функцияның тармағы бар бола бермейді. Мысалы, нақты өстің теріс бағыты бойынша қиылған G=C/{z=x:-∞<x≤0} кешен жазықтығында (аймағында) көпмәнді w=Lnz функциясының регулярлы болатын аналитикалық функцияның тармағы бар, ол w = lnz = ln|z| + iargz, -π<argz≤π, логарифмнің бас мәні, ал D={z:1<|z|<2} сақинасында w=Lnz функциясының аналитикалық функцияның тармағы бөліп алу мүмкін емес.