Двойственный симплекс-метод

Аналогично можно доказать, что если двойственная задача имеет  решение, то исходная также обладает решением и имеет место соотношение max f (Y) = min Z (X).

Для доказательства второй части теоремы допустим, что линейная функция исходной задачи не ограничена снизу. Тогда из (1.11) следует, что f (Y)≤Y. Это выражение лишено смысла, следовательно, двойственная задача не имеет решений.

Аналогично предположим, что линейная функция двойственной задачи не ограничена сверху. Тогда из (1.11) получаем, что Z (X) ³ +Y. Это выражение также лишено смысла, поэтому исходная задача не имеет решений.

Доказанная теорема позволяет  при решении одной из двойственных задач находить оптимальный план другой.

1.3 Двойственный симплексный метод

Пусть необходимо решить исходную задачу линейного программирования, поставленную в общем виде: минимизировать функцию Z =СХ при АХ = A₀, Х ≥ 0. Тогда в двойственной задаче необходимо максимизировать функцию f = YA₀ при YA ≤ С. Допустим, что выбран такой базис D = (A₁, А₂, ., А_i, ., А_m), при котором хотя бы одна из компонент вектора Х = D-1 A₀ = (x₁, x₂, ., x_i, ., x_m) отрицательная (например, x_i < 0), но для всех векторов Aj выполняется соотношение Z_j – C_j ≤ 0 (i = 1,2, ., n). Тогда на основании теоремы двойственности Y = С_баз D-1 - план двойственной задачи. Этот план не оптимальный, так как, с одной стороны, при выбранном базисе X содержит отрицательную компоненту и не является планом исходной задачи, а с другой стороны, оценки оптимального плана двойственной задачи должны быть неотрицательными.

Таким образом, вектор А_i, соответствующий компоненте x_i < 0, следует исключить из базиса исходной задачи, а вектор, соответствующий отрицательной оценке,— включить в базис двойственной задачи.

Для выбора вектора, включаемого  в базис исходной задачи, просматриваем i-ю строку: если в ней не содержатся x_ij < 0, то линейная функция двойственной задачи не ограничена на многограннике решений, а исходная задача не имеет решений. Если же некоторые x_ij < 0, то для столбцов, содержащих эти отрицательные значения, вычисляем q_0j= min (x_i/x_ij) ≥ 0 и определяем вектор, соответствующий max q_0j(Z_j — C_j) при решении исходной задачи на минимум и min q_0j(Z_j — C_j) при решении исходной задачи на максимум. Этот вектор и включаем в базис исходной задачи. Вектор, который необходимо исключить из базиса исходной задачи, определяется направляющей строкой.

Если q_0j= min (x_i/x_ij) = 0, т. е. x_i = 0, то x_ij берется за разрешающий элемент только в том случае, если x_ij > 0. Такой выбор разрешающего элемента на данном этапе не приводит к увеличению количества отрицательных компонент вектора X. Процесс продолжаем до получения Х ≥ 0; при этом находим оптимальный план двойственной задачи, следовательно, и оптимальный план исходной задачи.

В процессе вычислений по алгоритму  двойственного симплексного метода условие Z_j – C_j ≤ 0 можно не учитывать до исключения всех х_i < 0, затем оптимальный план находится обычным симплексным методом. Это удобно использовать, если все х_i < 0; тогда для перехода к плану исходной, задачи за одну итерацию необходимо q_0j определить не по минимуму, а по максимуму отношений, т. е. q_0j= max (x_i/x_ij) > 0.

Двойственным симплексным  методом можно решать задачи линейного программирования. Этот метод позволяет уменьшить количество преобразований системы ограничений, а также размеры симплексной таблицы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 Практическая часть

2.1 Задача №1

Транспортная задача

          Транспортная фирма обслуживает 4 поставщиков однородного груза и 4 потребителей этого груза. В течение дня из каждого пункта поставки фирма должна вывезти соответственно A1 = 300, A2 = 250, AЗ = 280, A4 = 150 тонн груза, а в каждый пункт потребления доставить соответственно B1= 80, B2 = 220, BЗ = 155, B4 =495 тонн. Себестоимость перевески 1 тонны груза от -го поставщика -му потребителю составляет тыс. руб.

Найти такой  план перевозки грузов, при котором  издержки транспортной фирмы будут  минимальными.

 

 

1. Решение методом северо-западного угла

Таблица 2

 

Z=25*80+17*220+17*155+23*95+19*280+20*120=18280

 

Ответ: при данной схеме перевозки, затраты составят 18280 руб.

 

 

 

 

 

 

2. Решение методом минимального элемента

Таблица 3

 

Рис.1

 

Z=14*5+20*295+19*20+23*200+18*60+14*220+13*150=17060

 

 

Ответ: при данной схеме перевозки, затраты составят 17060 руб.

 

 

 

 

 

 

 

2.1.3 Решение в Microsoft Office Excel

Заносим исходные данные:

Рис. 2

Вводим формулы суммы по поставщикам и потребителям в расчетную таблицу:

Рис. 3

 

Рис. 4

 

Рис. 5

Зададим функцию поиск решения.

Для этого  устанавливаем целевую ячейку равной минимальному значению, выбираем изменяемые ячейки и устанавливаем ограничения:

Рис. 6

В параметрах поиска функции ставим галочки «Линейная  модель» и «Неотрицательные значения»

Рис. 7

Получаем  ответ:

Рис. 8

Ответ: при решении с помощью Excel затраты на отправление груза составят Z=17325.

 

 

Вывод по задаче.

Решение методом северо-западного  угла является более удобным, но не эффективным методом. Решая методом  минимального элемента мы получаем оптимальный  план минимальных затрат на перевозки, следовательно он является более эффективным по сравнению с методом северо-западного угла.

 

2.2  Задача №2

Задача  линейного программирования

Организации, занимающейся перевозкой и продажей продукции, необходимо перевезти партию товара. При этом можно арендовать для перевозки по железной дороге 5-ти и 7-тонные контейнеры. Пятитонных контейнеров имеется в наличии  не более a штук, а семитонных - не более b штук. На перевозку всей продукции по смете выделено не более N тысяч рублей, причем цена за аренду 5-тонного контейнера - 2 тысячи рублей, а 7-тонного - 3 тыс. рублей. Определить, сколько и каких контейнеров следует арендовать, при условии, что общий объем грузоперевозок должен быть максимальным. 
Решение задачи оформить поэтапно: - построить математическую модель задачи; - решить задачу графически, определив область решения системы неравенств; - решить задачу симплекс-методом.

 

a=34, b=40, N=130

 

 

 

Математическая модель:

Пусть   x₁ – число задействованных 5-тонных контейнеров;

x₂ – число задействованных 7-тонных контейнеров;

Тогда общий объём грузоперевозок равен: Z=5* x₁+7* x₂→max

Имеем следующие ограничения: x₁≤34, x₂≤40

Ограничения по деньгам: 2000* x₁+3000* x₂≤70000

Таким образом, получим математическую модель задачи:

Z=5* x₁+7* x₂→max

2* x₁+3* x₂≤130

x₁≤34, x₂≤40

x₁≥0, x₂≥0

 

 

 

 

 

 

 

 

2.2.1 Решение графическим  методом

2* x₁+3* x₂≤130; (1)

x₁≤34; (2)

x₂≤40; (3)

x₁≥0; (4)

x₂≥0; (5)

Построим на графике прямые (1)…(5)

Рис. 9

A -> max

Ответ: a=34, b=62/3, Z=944,3

 

2.2.2 Решение симплекс-методом

Таблица 4

 

Шаг 1
Базис	БП	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5
x3	130	2	3	1	0	0
x4	34	1	0	0	1	0
x5	40	0	1	0	0	1
ИС	0	-5	-7	0	0	0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 5

 

Шаг 2
Базис	БП	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5
x3	10	2	0	1	0	-3
x4	34	1	0	0	1	0
x2	40	0	1	0	0	1
ИС	280	-5	0	0	0	7

 

 

 

Таблица 6

 

Шаг 3
Базис	БП	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5
x1	5	1	0	1/2	0	-3/2
x4	29	0	0	-1/2	1	3/2
x2	40	0	1	0	0	1
ИС	305	0	0	5/2	0	-1/2

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 7

 

Шаг 4
Базис	БП	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5
x1	34	1	0	0	1	0
x5	58/3	0	0	-1/3	2/3	1
x2	62/3	0	1	1/3	-2/3	0
ИС	944/3	0	0	7/3	1/3	0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: x1=a=34, x2=b=62/3, Z=944,3

 

 

2.2.3 Решение методом линейного программирования

Зададимся формулами:

Рис. 10

Рис. 11

Рис. 12

Рис. 13

Зададим функцию поиск решения.

Для этого  устанавливаем целевую ячейку равной максимальному значению, выбираем изменяемые ячейки и устанавливаем ограничения:

Рис. 14

Получаем  ответ:

Рис. 15

Ответ: a=34, b=20,67, Z=314,67

 

 

 

 

Вывод по задаче:

необходимо 5-тонных контейнеров 34 штуки, а 7-тонных контейнеров 20 штук. При этом перевезут 314,67 тонн на сумму менее 130 тысяч рублей. Исходный результат получили во всех трех задачах.

 

 

 

 

 

 

3. Задача №3

Определение кратчайшего пути

На рисунке 16 показана коммуникационная сеть между двумя примерно передающими станциями 1 и 7. Возле каждой дуги указаны вероятности передачи сообщений без потерь по этим дугам.

Необходимо  найти маршрут от станции 1 к станции 7 с максимальной вероятностью успешной передачи сообщений.

Рис. 16

1. Расчёт маршрута (при нормальных условиях)

x=12*0.01=0.12

y=√12=0.34641

 

Рис. 17

 

1-2 = | ln(0,8)| = 0,223

1-3 = | ln(0.036)| = 3,324

1-4 = | ln(0,65)| = 0,431

2-4 = | ln(0,102)| = 2,283

2-5 = | ln(0,846)| = 0.167

3-4 = | ln(0,85)| = 0,163

 

 

3-6 = | ln(0,95)| = 0,051

4-5 = | ln(0,7)| = 0,357

4-6 = | ln(0,208)| = 1,57

5-6 = | ln(0,5)| = 0,693

5-7 = | ln(0,8)| = 0,223

6-7 = | ln(0,9)| = 0,105           

Рис. 18

P=1-2-5-7=0.8*0.846*0.8=0.54144

Ответ: вероятность P = 0.54144

 

2. Пересчёт маршрута при отказе узла №2

Рис. 19

Рис. 20

P=1-4-6-7=0.65*0.208*0.9=0.12168

Вывод по задаче:

Максимальная вероятность успешной передачи сообщения равна 0.54144, и это сообщение пройдёт через станции 1-2-5-7.

При отказе 5 станции максимальная вероятность успешной передачи сообщения  равна 0.12168, и это сообщение пройдёт через станции 1-4-6-7.

 

Задача №4 Метод критического пути

В таблице приведены работы, выполняемые  при строительстве нового каркасного дома.

Разработайте сеть этих работ.

Таблица 8

	Процесс	Предшествующий процесс	Длительность (дни)
A	Очистка строительного участка	-	1
B	Завоз оборудования	-	2
C	Земельные работы	A	2
D	Заливка фундамента	C	2
E	Наружные технические работы	B,C	7
F	Возведение каркаса дома	D	10
G	Прокладка электропроводки	F	3
H	Создание покрытий	G	1
I	Создание каркаса крыши	F	1
J	Внутренние сантехнические работы	E,H	6
K	Покрытие крыши	I	1
L	Наружные изоляционные работы	F,J	1
M	Вставки окон и наружных дверей	F	2
N	Обкладка дома кирпичом	L,M	4
O	Штукатурка стен и потолков	G,J	2
P	Облицовка стен и потолков	O	2
Q	Изоляция крыши	I,P	1
R	Окончание внутренних отделочных работ	P	5
S	Окончание наружных отделочных работ	I,N	7
T	Ландшафт работы	S	3