Численные методы решения нелинейных уравнений

Министерство  образования Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное  учреждение

высшего профессионального образования 

«Орловский  государственный университет»

 

 

 

 

Физико-математический факультет

Кафедра информатики

 

 

 

 

Курсовая  работа

 

 

"Численные  методы 

решения нелинейных уравнений"

 

 

 

 

 

Выполнила: студентка 4 курса

Кравченко Анна Викторовна

 

 

Руководитель:  старший преподаватель

Черкасова Владлена Владиславовна

 

 

 

 

 

 

Орел - 2011

 

Содержание

Введение	3
§1.Численные методы решения  нелинейных  уравнений	5
Постановка задачи	6
§2.Этапы приближенного решения  нелинейных уравнений.	7
Определение корней	8
Уточнение корней	12
§3.Основные методы решения нелинейных уравнений	13
Метод половинного деления	14
Метод касательных (Ньютона)	16
Метод секущих (хорд)	23
Метод простой итерации	28
Заключение	33
Список используемой литературы	34

 

 

 

Введение

Очень часто в различных областях экономики приходится встречаться  с математическими задачами, для  которых не удается найти решение  классическими методами или решения  выражены громоздкими формулами, которые  не приемлемы для практического  использования. Поэтому большое  значение приобрели численные методы. В большинстве случаев численные  методы являются приближенными, так  как с их помощью обычно решаются задачи, аппроксимирующие исходные. В  ряде случаев численный метод  строится на базе бесконечного процесса, который в пределе сводится к  искомому решению. Однако реально предельный переход не удается осуществить, и процесс, прерванный на некотором  шаге, дает приближенное решение. Кроме  того, источниками погрешности являются несоответствие математической модели изучаемому реальному явлению и  погрешность исходных данных.

Решение систем нелинейных алгебраических уравнений – одна из сложных и  до конца не решенных задач. Даже о  расположении и существовании корней систем нелинейных уравнений почти  ничего нельзя сказать. Большинство  методов решения систем нелинейных уравнений сходятся к решению, если начальное приближение достаточно близко к нему, и могут вообще не давать решения при произвольном выборе начального приближения. Условия  и скорость сходимости каждого итерационного  процесса существенно зависят от свойств уравнений, то есть от свойств  матрицы системы, и от выбора начальных  приближений.

В своей курсовой работе я  поставила три основные цели и задачи:

1. Изучение разновидности комбинаторных задач.
2. Изучение основных комбинаторных операций.
3. Изучение комбинаторики как раздел элементарной алгебры.

Для достижения поставленных целей и решения задач в  курсовой работе я использовала различные  источники информации. В основном это были книги Бахвалов Н. С. Численные методы и Вержбицкий В. М. Численные методы. Линейная алгебра и нелинейные уравнения. В них четко и точно изложен нужный для моей курсовой работы материал.

Курсовая работа построена таким образом, что сначала идут сведения о численных методах в целом, а уже после более подробно  рассмотрены решения нелинейных уравнений.

 

Численные методы.

Проблема численного решения  линейных уравнений интересует математиков  уже несколько столетий. Первые математические результаты появились в XVIII веке. В 1750 году Г. Крамер (1704-1752) опубликовал свои труды по детерминантам квадратных матриц и предложил алгоритм нахождения обратной матрицы, известный как  правило Крамера. Гаусс в 1809 году опубликовал работу, посвященную  движению небесных тел, в которой  был изложен метод для решения  линейных систем, известный как метод  исключения.

В 40-х годах XX века с появлением компьютеров сильно возрос интерес  к численным методам. Тогда же началось активное исследование существующих методов для их реализации на ЭВМ  и предпринимались активные попытки  увеличить их точность.

Вплоть до 80-х годов  решение вычислительных задач было ограничено ресурсами ЭВМ, поэтому  особое значение придавалось экономичности  алгоритмов.

В настоящее время ограничения  по оперативной памяти и быстродействию ЭВМ потеряли актуальность в связи  с появлением относительно дешевых  мини- и суперкомпьютеров.

 

 Постановка задачи.

Пусть имеется уравнение вида

f (x) = 0.                                                  (1)

где f (x)  - заданная алгебраическая или трансцендентная функция. (Функция называется алгебраической, если для получения её значения нужно выполнить арифметические операции и возведение в степень с рациональным показателем. Примеры трансцендентных функций - показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические.)

Решить уравнение - значит найти все его корни, то есть те значения x, которые обращают уравнение в тождество, или доказать, что корней нет. 
Если алгебраическое или трансцендентное уравнение достаточно сложно, то довольно редко удается точно найти его корни. Кроме того, в некоторых случаях уравнение может содержать коэффициенты, известные лишь приблизительно, поэтому сама задача о точном нахождении корней теряет смысл. В таких случаях применяют численные (приближенные) методы решения.

Поставим задачу найти такое  приближенное значение корня xпр, которое мало отличается от точного значения корня x*, так что выполняется неравенство │x* – xпр │< e , где e (эпсилон) – малая положительная величина – допустимая ошибка, которую мы можем заранее задать по своему усмотрению. Если корень найден с точностью e, то принято писать x*=xпр±e.

Будем предполагать, что уравнение (1) имеет лишь изолированные корни, т.е. для каждого корня существует окрестность, не содержащая других корней этого уравнения.

 

Этапы приближенного решения нелинейных уравнений.

 

            

 Приближенное решение уравнения  состоит из двух этапов:

1. Отделение корней, то есть нахождение интервалов из области определения функции f (x), в каждом из которых содержится только один корень уравнения (1).
2. Уточнение корней до заданной точности.

 

            

 

Отделение корней.

Отделение корней можно проводить графически и аналитически. 
Для того чтобы графически отделить корни уравнения (1), необходимо построить график функции y=f(x). Абсциссы точек его пересечения с осью Ox являются действительными корнями уравнения (рис. 1). 
 
 

Рис. 1. Графическое отделение  корней (1-ый способ). 
            На практике же бывает удобнее заменить уравнение (1) равносильным ему уравнением

                                                    φ(x)=ψ(x),                                                       (2)

где φ(x) и ψ(x) - более простые функции, чем f(x). Абсциссы точек пересечения графиков функций y= φ(x) и y= ψ(x)  дают корни уравнения (2), а значит и исходного уравнения (1) (рис.2). 
 
 
Рис 2. Графическое отделение корней (2-ой способ).

Пример 1. Отделить графически корень уравнения 1-x²+x³=0. 
Решение. Для решения задачи построим график функции y=1-x²+x³ (рис. 3). 
 
Рис. 3. График функции y=1-x²+x³.

Из рисунка видно, что один из корней уравнения принадлежит отрезку      [-1,2;-0,8], второй – отрезку [0,8;1,2]. Так как рассматриваемое уравнение имеет третью степень, то должен существовать еще один корень на интервале (3,2;+∞).

Аналитическое отделение корней основано на следующих теоремах. 
Теорема 1. Если непрерывная функция y=f(x) принимает на концах отрезка [a;b]значения разных знаков, т.е. f(a)∙f(b)<0, то на этом отрезке содержится по крайней мере один корень уравнения (1) (рис. 4). 
 
 
Рис. 4. Существование корня на отрезке.

Теорема 2. Если непрерывная на отрезке[a;b] функция y=f(x)  принимает на концах отрезка  значения разных знаков, а производная f '(x)  сохраняет знак внутри отрезка [a;b] , то внутри отрезка существует единственный корень уравнения f (x) = 0 (рис. 5).

 
Рис. 5. Существование единственного корня на отрезке.

Пример 2. Подтвердить аналитически правильность нахождения отрезка изоляции корня уравнения (x-1)²-e^x=0.

Решение. Для отрезка [0;1] имеем: f(0)=(0-1)²-e⁰=0,5;

f(1)=(1-1)²-e¹=-e=-1.359 .Значит, f(0)∙f(1)<0. Следовательно, корень отделён правильно.

 

Уточнение корней.  

Уточнение корней до заданной точности заключается в сужении интервала изоляции корня и выполняется одним из специальных методов. Наиболее распространенными являются метод деления отрезка пополам, метод касательных (Ньютона), метод секущих (хорд), метод простой итерации.

 

 

Основные методы решения нелинейных уравнений

Уравнение типа F(x)=0 или x=f(x) называется нелинейным. Решить уравнение это значит найти такое x, при котором уравнение превращается в тождество. В общем случае уравнение может иметь 0; 1; 2;...∞ корней. Рассмотренные ниже численные методы решения нелинейных уравнений позволяют находить один корень на заданном интервале [a,b]. При этом на интервале должен существовать только один корень. Рассмотрим несколько методов решения нелинейных уравнений. 

Метод половинного  деления.

Метод деления отрезка пополам  имеет другие названия: метод половинного  деления, метод дихотомии, метод  проб, метод бисекций. 
Пусть корень уравнения f (x) = 0 отделен на отрезке[a;b] , т.е. f(a)∙f(b)<0. 
Алгоритм приближенного вычисления корня методом половинного деления. 
Исходные данные: f (x) – функция; ε – требуемая точность; a, b – границы заданного интервала (границы поиска корня). 
Результат: xпр – приближенный корень уравнения f (x) = 0.

Метод решения:

Шаг 1. Выбрать середину  отрезка[a;b]  в качестве приближенного корня.

Шаг 2. Если f(c)=0, то c – искомый корень уравнения, на этом прекращаем вычисления. В противном случае перейти к шагу 3.

Шаг 3. Точный корень уравнения x* отличается от c не более чем на половину длины отрезка, т.е. не более чем на (полученная точность). Проверяем условие . Если условие не выполняется, т.е. полученная точность нас не устраивает (она больше, чем требуемая), то перейти к шагу 4; в противном случае прекратить вычисления, поскольку мы достигли требуемой точности, и приближенным корнем уравнения f(x) = 0 считать середину c  отрезка [a;b] .

Шаг 4. Определить интервал дальнейшего  поиска корня. Из двух образовавшихся при делении отрезков переходим  к той из его половин [a;c]  и [c;b] , на концах которого функция принимает значения разных знаков. 
Случай 1 (рис. 1). Корень на отрезке [a;c]. f(a)∙f(c)≤0, граница b сдвигается влево – заменить b на с: b:= c.

 
Рис. 1. Графическая иллюстрация метода половинного деления.

Случай 2 (рис. 1). Корень на отрезке [c;b] . f(a)∙f(c)>0, граница a сдвигается вправо – заменить a на с: a:= c.

Перейти к шагу 1.

Алгоритм деления отрезка пополам  довольно медленный, но зато абсолютно  застрахован от неудач. Основное достоинство  метода состоит в том, что его  скорость сходимости не зависит от вида функции f (x). Данный метод не имеет дополнительных условий сходимости, кроме f(a)∙f(b)<0.

 

 

 Метод  касательных.

Пусть на отрезке [a; b] отделен корень с уравнения f (x) = 0 и f -функция непрерывна на отрезке [a; b], а на интервале (a; b) существуют отличные от нуля производные f ’ и f ”.

Так как f ’(x) ¹ 0 , то запишем уравнение f (x) = 0 в виде:

x = x – ( f (x) / f ’(x))     (1)

Решая его методом итераций можем записать :

x_n+1 = x _n– ( f (x _n) / f ’(x _n))    (2)

Если на отрезке [a;b]   f ’(x) * f “(x) > 0, то нулевое приближение выбираем x₀=a. Рассмотрим геометрический смысл метода. Рассмотрим график функции y=f(x). Пусть для определенности f ‘(x) > 0 и f “(x) > 0 (рис. 1). Проведем касательную к графику функции в точке B (b, f (b)). Ее уравнение будет иметь вид:

y = f (b) + f ’(b) * (x – b)

Полагая в уравнении y = 0 и учитывая, что f ’(x) ¹ 0, решаем его относительно x. Получим :

x = b – (f (b) /f ‘(b))

Нашли абсциссу x₁ точки c₁ пересечения касательной с осью Оx:

x₁ = b – (f (b) – f ’ (b))

Проведем  касательную  к графику функции в точке b₁ (x₁; f (x₁)).Найдем абсциссу x₂ точки с₂ пересечения касательной с осью Ox :

x₂ = x₁ – (f (x₁) / ( f ’(x₁))

Вообще :

x_k+1 = x _k – ( f (x _k) / f ’(x _k))     (3)

Таким образом, формула (3) дает последовательные приближения (x_k) корня, получаемые из уравнения касательной , проведенной к графику функции в точке         b _k (x _k; f (x _k0) метод уточнения корня c  [a;b] уравнения f (x) = 0 с помощью формулы (3) называется методом касательной или методом Ньютона.