Четные и нечетные функции

               t +4(1-cos2t)=0

т.к. оба  слагаемых неотрицательны, то сумма  может быть = 0 только в том случае, когда они оба равны 0, т.е. t =0 и 1-cos2t=0, значит t=0 – единственное решение и а=-1-искомое

Ответ: а=0, а = -1 
 
 
 
 
 
 

Приложение:

Хорошо видно, что график функции y = sinx является классическим примером нечетных периодических функций. Функция y = sin² x - четная периодическая функция. Следует обратить внимание учеников на то, что период этой функции в 2 раза меньше, чем . y = sinx. Функция y = sin³ x периодическая, но снова нечетная с периодом 2 .

 

     На  данном графике мы можем увидеть, как расположены графики четной, нечетной функции и функции общего вида на оси координат. 
 
 

Задания, рекомендуемые для  самостоятельного выполнения: 

1. Даны функции:

 

 

     Определите, какие из этих функций – четные, какие – нечетные, а какие –  ни четные, ни нечетные (тогда представьте их в виде суммы четной и нечетной функций). Дайте соответствующие доказательства. 

     2) Постройте графики следующих функций:

                     а) y = arccos(cosx);

                     б)y = arcsin(sinx);

                     в)y = arctg(tgx);

   

     3) Найти все значения параметра  а, при которых уравнение  

          =0      

         Имеет единственное решение? 

    4)Четная функция  у = f(х) определена на всей числовой прямой. Её график на отрезке

[-3;0] совпадает  с графиком функции у = g(х) + 1. Вычислите: f(2) – g(-2)+2.

  

    5)Известно, что график нечётной функции у = f(х) пересекает ось Оу в пяти точках. Найдите сумму всех корней уравнения f(х-3) = 0

  

      6)Известно, что график нечётной функции у = f(х) пересекает ось Оу в пяти точках. Найдите сумму всех корней уравнения f(х-3) = 0

Четная  функция у = f(х) и нечетная функция  у = g(х) определены на всей числовой прямой. Для всякого неотрицательного значения переменной х значение функции h (х) = х+х2+х3 совпадает со значением функции у = f(х), а для всякого неположительного значения переменной х значение функции     у = h (х) совпадает со значением функции у = g(х). Вычислите сумму f(-2)+ g(3). 

            7)Четной       или нечетной является функция

                             у =     х ²    при х > 0

            

                                   -х ²    при х < 0 

  8)Сколько из указанных ниже предложений истинны, если рассматриваемые функции определены на множестве всех действительных чисел?

                А) Сумма двух четных функций всегда является четной функцией.

                Б) Разность двух четных функций всегда является четной функцией.

                В) Сумма двух нечетных функций всегда является нечетной функцией

                Г) Сумма четной и нечетной функции всегда является четной функцией

    

     9)Четной или нечетной являются функции:

                  y = cos x

                  y = x² + |x|

                  y = x³

                  у = 3х²¹ + х -1

                  y = - 2 sin 3x

            10) Найдите все четные и все нечетные функции среди:

                                  а) линейных функций f(x)=ax+b

                                  б) квадратичных функций f(x)= ax +bx+c

                                  в) функции вида f(x)=a cosx + b sinx

             

             11) Представьте в виде суммы четной и нечетной функций следующие функции:

• f(x)=x +x- +2
• f(x)=
• f(x)=(x +2x+1)tgx
• f(x)= 2

 

12) Приведите примеры трех функций, являющихся одновременно четными и нечетными. 

13) Существуют  ли всюду определенные функции,  являющиеся одновременно:

                       а) четными и возрастающими на R

                       б) нечетными и убывающими на R

                       в) нечетными и положительными  на R 

14) Может  ли четная (нечетная) функция иметь 

• одну
• две
• три

                                            точки экстремума?           

          15)Верны ли утверждения:

• Если f `(x)- четная функция, то f(x)- нечетная функция;
• Если f `(x)- нечетная функция, то f(x)- четная функция?

 
 

            16) Найдите сумму всех корней уравнения:

                  9sinx+3sin3x+sin9x- =0

                        Ответ:0

         

              17) Найдите произведение всех  корней уравнения f(log x)=0 , если                                                  f(x)=e -e -x +x

                         Ответ:1 

               18) Найдите сумму всех корней  уравнения:

                     2tgx+7x +sinx-x =0

                          Ответ: 0

               

              19)Найдите  все значения а, при каждом из которых уравнение имеет ровно 3 корня. (Если значений а более одного, то в ответ запишите их сумму)

                             Ответ: 7

              20) Известно, что график четной функции y=f(x)пересекает ось абсцисс в 5-ти точках. Найдите сумму всех корней уравнения f(x-2)=0

                            Ответ:10

                 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Библиографический список: 
 

1. Интернет (www.mail.ru; www.rambler.ru; www.google.ru; www.matematika.ru; )
2. Учебно-методическое пособие: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2008.Вступительные испытания.»; Лысенко Ф.Ф.
3. «Справочник школьника»; Секачёва В.П.
4. Журнал «Квант»
5. Сборник для подготовки к ЕГЭ 2008, математика. ФИПИ.
6. «Я и математика», Панов Н.К., Чугаев Г.Н.
7. Методы решения конкурсных задач по математике, основанных на характерных свойствах функций, В.А. Илюшкин.
8. Геометрия для ВУЗов, Позняк Э.Г.

9.  ЕГЭ 2009, Т.А. Корешкова и др.