Четные и нечетные функции

      Тогда из формул (4) следует, что, во-первых, f(х) = f₊(х)+ f _-(х), то есть (1) выполняется, и, во-вторых, что функции f₊ и f _- являются, соответственно, четной и нечетной. Например, проверим условие (Н) для функции f _-(х). Для произвольного х имеем 

 f_-(-х)= = =- =- f_-(х)

что и  требовалось доказать. Четность функции  f₊  проверяется точно так же. 

   Задачи  на тему «Четные и  нечетные функции» интересны  и разнообразны. Для  успешного их решения  полезно знать  следующие практически очевидные утверждения: 

• Если f(x)- нечетная функция и 0 D(f), то f(0)=0

Замечание: для четной функции это утверждение неверно.

• Если x - корень уравнения f(x)=0 и f(x)-четная (нечетная) функция, то -x -так же корень уравнения.
• Если y=f(x) –четная (нечетная) функция, то уравнение f(x)=0 имеет нечетное количество корней тогда и только тогда, когда x=0 является корнем этого уравнения.
• Если x -точка максимума (минимума) четной функции, то -x - так же точка максимума (минимума) функции.
• Если x - точка максимума (минимума) нечетной функции, то -x - точка минимума (максимума) функции.
• Если y=f(x) – четная функция, то угловые коэффициенты касательных к графику функции в точках x и - x противоположны.
• Если f(x) – нечетная функция, то угловые коэффициенты касательных к графику функции в точках x и - x равны.
• Если область определения функции симметрична относительно начала координат,                   то эту функцию можно представить в виде суммы четной и нечетной функций.

 

          Таковой суммой является функция     Первое                                                     слагаемое является четной функцией, второе – нечетной. 

• Если четная функция y=f(x) определяется на множестве всех действительных чисел, для всех неотрицательных x задается формулой g(x), то для всех отрицательных   x   f(x)=g(-x).
• Если нечетная функция y=f(x) определяется на множестве всех действительных чисел, для всех неотрицательных x задается формулой g(x), то для всех отрицательных   x   f(x)=-g(-x).

 
 

Решений  задач. 

      1. Четная функция y=f(x), определенная на множестве всех действительных чисел, на множестве неотрицательных чисел совпадает с функцией g(x)=x +2x-5. Какой формулой задается функция f(x) на множестве отрицательных чисел.

Решение.

Если  при х 0, f(x)=x +2x-5, то при х 0 f(x)=g(-x), т.е. f(x)= x -2x-5 

2. Нечетная  функция y=f(x), определенная на множестве всех действительных чисел, на множестве неотрицательных чисел совпадает с функцией g(x)=x +2x-5. Какой формулой задается функция f(x) на множестве отрицательных чисел.

Решение.

Если при х 0, f(x)=x +2x-5, то при х 0  f(x)= -(x -2x-5)

                                                                       f(x)= -x +2x+5 

3. Найдите значение функции y=3f(-x)-g(-x)f(x) в точке х 0,если известно, что функция y=f(x)-четная, а y=g(x)-нечетная;f(х )=1,g(х )=3.

Решение.

Т.к. y=f(x)-четная

f(х )=1, то f(-х )=1

Т.к. y=g(x)-нечетная и g(х )=3, то g(-х )=-3.

Значит  y(х )=3*1-(-3)*1=6

4. Найдите сумму корней уравнения: 4x -sin x-7xsinx+1=0

      Решение:

Функция f(x)=4x -sin x-7xsinx+1 – четная и определена на множестве всех действительных чисел. Значит если х - корень уравнения, то - х -корень уравнения.

Очевидно  х=0-корень уравнения. Поэтому сумма  корней данного уравнения вне  зависимости от их числа равна  нулю.

5. Четная функция y=f(x) определена на всей числовой прямой. Для всякого неотрицательного значения переменной х значение этой функции совпадает со значением функции g(x)=13x(2x+1)(7x+6)(4x-9) . Сколько корней имеет уравнение f(x)=0.

Решение.

Решим уравнение 13x(2x+1)(7x+6)(4x-9)=0

              x=0   или  x=-    или х= -     или    х=

При х 0, f(x)=g(x),то х=0 и х= - неотрицательные корни уравнения f(x)=0

А т.к. f(x)-четная функция, то х=- - единственный отрицательный корень уравнения f(x)=0

Ответ: 3

. 

       6. Найти все значения параметра а, при которых уравнение =0 (1) имеет единственное решение?

Решение: Отметим, что поскольку и , и являются четными функциями, то вся левая часть исходного уравнения также является четной функцией. Пусть далее а – искомое значение параметра, а - соответствующее этому параметру единственное решение исходного уравнения. Тогда число - также является решением исходного уравнения (I). Действительно, согласно определению корня, значение левой части в точке равно 0. С другой стороны, значение левой части в точке - также должно равняться 0 в силу ее четности. А это означает, что число - также является корнем уравнения (I). Теперь вспомним, что - это не просто решение уравнения (I), а единственное решение. Поэтому оно должно совпадать с числом - , которое, как это было показано выше, также является решением уравнения (I). Итак, , откуда . Значит, число 0 является решением уравнения (I). Подставляя это число в уравнение, мы получаем верное равенство:

Этому равенству удовлетворяют числа  и Было бы грубой логической ошибкой объявить эти значения а искомыми. Мы этого пока не доказали. Мы доказали только то, что помимо вышеуказанных значений и искомых значений параметра а не существует. Но это еще не означает, что и являются искомыми. Это над отдельно проверять, и сейчас мы такую проверку проведем.

Пусть а=0 .Тогда уравнение (I) превращается в и имеет, очевидно, единственное решение x=0.

Пусть теперь а=2sin1. Тогда уравнение (I) превращается в

Перепишем полученное уравнение в следующем виде

 (2)

Поскольку константа sin1 положительна, а выражение в скобках не отрицательно (это усматривается из монотонности функции sinx в диапазоне острых углов, а также из очевидного соотношения которому удовлетворяют острые углы 1 и cosx ), то вся левая часть уравнения (2) также неотрицательна. Кроме того, уравнение (2) равносильно системе уравнений

которая, очевидно, имеет единственное решение x=0 .

Таким образом, проверка значений и показала, что при каждом из них уравнение (I), действительно, имеет единственное решение. Отсюда и следует ответ.

Ответ:  

7. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

имеет нечетное количество решений.

Решение:

Рассмотрим  функцию  тогда

 f(x) – четная. Исходное уравнение имеет нечетное число решений лишь в том случае, если x=0 – решение.

Это означает, что 

Осталось  убедиться, что при этих случаях  а, исходное уравнение имеет нечетное число решений (в действительности достаточно проверить только, что число решений конечно)

При имеем, что выражение , при раскрытие знака модуля по определению, распадается на две серии решений:

               или    

Решений нет.                                x=0

Т.к.

при любом x.

При имеем одно решение x=0.

При имеем распадается на две серии:

  или          

                                      2 корня. 

Исходное  уравнение имеет 3 корня.

Ответ:

           

8. Найдите все значения параметра а, при которых система уравнений имеет единственное решение. 

 

Решение: Прежде всего отметим, что все входящие в уравнение системы функции аргумента x являются четными. Далее допустим, что а – искомое значение параметра, а пара( ) – единственное решение исходной системы при указанном значении а. Тогда, в силу отмеченного выше факта четности функций аргумента x , входящих в уравнение исходной системы, можно утверждать, что пара ( ) также является решением исходной системы. Но пара ( ) – это не просто решение, а единственное решение исходной системы, и поэтому она должна совпадать с парой ( ) , то есть должно выполняться условие ( )=( ), откуда Итак, если а – искомое значение параметра, то соответствующее ему единственное решение уравнения 1)и 2), после чего получим

Решая эту систему, легко устанавливаем, что ей удовлетворяют две пары: и

Таким образом, «претендентами» в искомые  значения параметра являются только и Но действительно ли они являются искомыми значениями или нет, можно выяснить только проверкой. Проведем проверку:

Пусть Тогда исходная система приобретает вид:

 

Для нас  будет более удобным переписать ее в виде

Из уравнения 2) следует, что  и А эти неравенства, в свою очередь, приводя к выводу о том, что

Таким образом, левая часть уравнение 1а) ограничена снизу числом 0, и поэтому  это уравнение может быть удовлетворено  только если и Рассматривая эти уравнения в группе с 2), получаем единственное решение , Таким образом, значение действительно является искомым.

Пусть Тогда исходная система приобретает вид

Непосредственной  постановкой можно убедиться, что  этой системе удовлетворяют, например, пары (0;-1) и (1;0). Поэтому значение параметра  искомым не является.

Ответ:  

9. При каких значениях параметра а уравнение П (x-1)+4a cos(2Пx)+4а =0 имеет единственное решение?

Решение.

   Так как cos(2Пx)= cos(2П(x-1)), то уравнение примет вид                                                       П (x-1) +4a cos(2П(x-1))+4а =0

   Пусть П(х-1)=t

t +4a cos(2t)+4a =0

Очевидно, функция f(x)= t +4a cos(2t)+4a является четной. Поэтому уравнение в качестве единственного решения может иметь только t=0

               4a+4a =0

           a=0         или а= -1

Проверим, будет ли данное уравнение при  найденных значениях а иметь  единственное решение.

      а=0            t =0       t=0    - единственные решения

а=-1       t -4cos2t+4=0