Частные производные

       

 

         Пример 2. Если  , где , от , .

        

         Из формул (9) и (10) видно, что символ частной производной, как уже отмечалось выше, нельзя трактовать как дробь. В самом деле, если бы можно было сократить на и , то из формул (9) и (10) получили бы, что

                          и .

 

 

3. Неявные функции и их дифференцирование.

 

         Если уравнение, с помощью которого  задается функция одной переменной x, не разрешено относительно y, то эта функция называется неявной. Разрешая это уравнение относительно y, мы получаем ту же функцию, но уже заданную в явной форме. Однако часто бывает, что разрешить такое уравнение относительно y невозможно (например, ) или нецелесообразно; в этом случае уравнение так и оставляют неразрешенным, в общем виде (когда все его члены перенесены в левую часть):

                       .                                                                                        (11)

В связи с этим встает вопрос о том, как найти производную неявной функции, не разрешая уравнения (11) относительно у.

         Если в уравнении (11), определяющем  неявную функцию  , задавать значения независимой переменной х, то для нахождения соответствующего значения у надо решать уравнение. Теперь, если в это уравнение подставить его решение, то получится тождество. Поэтому можно сказать также, что неявная функция , определенная уравнением (11), - это такая функция, которая, будучи подставлена в уравнение (11), обращает его в тождество. Дифференцируя это тождество по x согласно правилу дифференцирования сложной функции, получим:

               .

          Отсюда при  вытекает формула для производной неявной функции

                .                                                                                       (12)

 

 

           Пример 1. Пусть y как функция от x задана соотношением . Найти .

           Для  имеем: , и согласно формуле (12)

                .

 

 

               Пусть уравнение                                                                   (13)

Определяет z как неявную функцию независимых переменных xи y.

Пользуясь формулой (12), из равенства (13) имеем:

                 , .                                                                            (14)

 

 

            Пример 2. Найти частные производные  неявной функции z, заданной уравнением .

            Согласно формулам (14)

                   ,

 

 

3. Частные производные и дифференциалы высших порядков.

 

 

1. Частные производные высших порядков.

 

          Частные производные функции нескольких переменных сами являются функциями этих переменных и могут иметь частные производные. Для исходной функции эти последние производные будут частными производными второго порядка. Так, для функции двух независимых переменных можно определить (предполагается, что все производные существуют) четыре частные производные второго порядка, которые обозначаются символами

          ,         ,

          ,       .

 Частные производные  и , отличающиеся порядком дифференцирования, называются смешанными частными производными второго порядка.

            Аналогично определяются частные производные третьего, четвертого и старших порядков.

      

           Пример. Найти частные производные  второго порядка функции .

Имеем:

                         , ,,

, , , .

Здесь = . Оказывается, имеет место следующая теорема.

           Теорема. Смешанные производные второго порядка равны, если они непрерывны: = .

            Следствие. Смешанные производные высших порядков равны, если они непрерывны и получены в результате дифференцирования по одним и тем же переменным одинаковое число раз, но может быть в разной последовательность.

            Покажем это на примере:

                        ,

т.е.

                       .

Здесь мы дважды пользовались только что отмеченной теоремой: первый раз применительно к функции  (мы изменили порядок ее дифференцирования), второй раз использовали равенство = . В общем случае схема рассуждений аналогична.

 

2. Признак полного дифференцирования.

 

               Выясним, при каких условиях  выражение  ,             (1)

где и непрерывны и вместе со своими частными производными первого порядка, является полным дифференциалом некоторой функции , или, кратко, полным дифференциалом.

             Теорема. Выражение (1) есть полный дифференциал тогда и только тогда, когда выполнено равенство

                                          .

 

 

3.3. Дифференциалы  высших порядков.

 

             Заметим прежде всего, что для функции нескольких переменных справедливы те же общие правила дифференцирования, что и для функции одной переменной:

I.    , .

II. .

III. .

IV. .

                   

             Пусть имеется функция независимых переменных xи y, обладающая непрерывными частными производными второго порядка. Рассмотрим ее полный дифференциал

          

                        

(dx и dy – произвольные приращения), который назовем полным дифференциалом первого порядка (или, кратко, первым дифференциалом).

             Так как  и по предложению имеют непрерывные частные производные первого порядка, то от функции , в свою очередь, можно взять полный дифференциал . Так получим полный дифференциал второго порядка (или, кратко, второй дифференциал), который обозначается .

              Аналогично, потребовав существование  непрерывных частных производных  третьего, четвертого, п-го порядков, можно получить полные дифференциалы соответственно третьего, четвертого, п-ого порядков.

               Найдем выражения для второго  дифференциала через частные  производные. Пользуясь правилами  I, III (dx и dy не зависят от x и y, т.е. рассматриваются как постоянные) и приведенной в п. 3.1 теоремой, можно записать:

                                                                                                                                                       (2)

(здесь  , ).

Формула (2) обобщается на случай дифференциала п-го порядка.