Розрахунок та дослідження лінійної системи автоматичного регулювання тиску в паровому котлі

Рис.4. Структурна схема САР з від’ємним зворотнім зв’язком.

 

2.2. Теоретичні основи  методу розрахунку параметрів  настроювання регулятора.

Значення параметрів настроювання регулятора наближено можуть бути знайдені за спрощеною методикою, яка грунтується на припущенні про можливість описання об’єктів регулювання через функції передачі типу: аперіодична ланка першого порядку, інтегруюча ланка, диференційна ланка, ланка запізнення та інші. Зрозуміло, що ця методика не може бути застосована для об’єктів, які не описуються функціями передачі цих ланок. Тому для знаходження оптимальних значень параметрів настроювання регулятора необхідно застосувати спеціально розроблені теоретично обгрунтовані методи: метод розширених частитних характеристик, метод розрахунку параметрів за показником коливальності М. Для розрахунку САР, яка знаходиться під дією випадкових процесів, застосовують дисперсійний метод.

Розрахунок оптимальних  параметрів настроювання за методом розширених частотних характеристик базується на амплітудо-фазовому критерії стійкості, який можна інтерпретувати як критерій запасу стійкості, якщо замість звичайних частотних характеристик застосувати розширені частотні характеристики.

Розширена частотна характеристика елемента з відомою функцією передачі визначаються заміною в ній оператора  Лапласа

де w – кругова частота; - ступінь коливальності, який характеризує запас стійкості;  α – абсолютне значення дійсної частини комплексного кореня характеристичного рівняння; - значення уявної частини комплексного кореня характеристичного рівняння.

Умова забезпечення заданого запасу стійкості формулюється на основі амплітудно-фазового критерію стійкості Найквіста, в якому застосовуються розширені частотні характеристики розімкнутої системи автоматичного регулювання

де  - розширена амплітудно-фазова характеристика (АФХ) об’єкта регулювання, - розширена АФХ регулятора.

 

2.3. Знаходження  оптимальних настроювальних параметрів  регулятора.

 

  2.3.1. В якості регулятора вибираю П-регулятор, функція передачі якого рівна:

де, - пропорційна складова.

За розширеними частотними характеристиками знаходжу частоту w, при якій розширена фазочастотна характеристика об’єкта регулювання досягає значення .

w=[0:0.001:5];

T=0.5886; k=0.1334; m=0.32;

p=-m*w+i*w;

Wop=k./(T*p+1).^3;

fi=phase(Wop);

j=1:length(w);

a(j)=-pi;

plot(w,fi,w,a); grid;

Рис. 5 Розширена  фазочастотна характеристика об’єкта  регулювання,w = 1.8933 рад/сек.

Для визначення запасу стійкості, застосовую амплітудо-фазовий критерій стійкості.Амплітудно-фазовий критерій стійкості, як критерій запасу стійкості за розширеними частотними характеристиками формулюється так: якщо розширена амплітудно-фазова характеристика (РАФХ) розімкненої системи автоматичного регулювання на частоті проходить через точку (–1, і0), не охоплюючи її на більш високих частотах, то корені характеристичного рівняння замкненої системи будуть розташовані в лівій напівплощині на променях і всередині сектора, обмеженого цими променями .

Умова забезпечення заданого запасу стійкості  формулюється на основі амплітудно-фазового критерію стійкості Найквіста, в якому застосовуються розширені частотні характеристики розімкненої системи автоматичного регулювання

  (1)

де  - розширена АФХ об’єкта регулювання; - РАФХ регулятора; , - розширені амплітудно-частотні характеристики об’єкта регулювання та регулятора; розширені фазочастотні характеристики об’єкту регулювання та регулятора. З виразу (1) отримуємо систему рівнянь у вигляді:

.

 

Оскільки в П-регуляторі , , то дана система буде мати вигляд:

, звідси  ,

 

де  - частота, при якій розширена фазо-частотна характеристика об’єкту регулювання досягає .

 

Розраховуємо параметри настроювання П- регулятора в середовищі Matlab:

 

 

w=1.8933;

T=0.5886; k=0.1334; m=0.32;

p=-m*w+i*w;

Wop=k./(T*p+1).^3;

Aop=abs(Wop);

kr=1/Aop

 

kr= 15.9724

 

Маючи параметри настроювання регулятора в бібліотеці Simulink складаю модель САР і досліджую її  при дії максимальної стрибкоподібної зміни регулюючої дії( % ходу РО):

 

 

Рис. 6. Структурна схема одноконтурної САР із П-регулятором.

 

Рис. 7. Графік кривої розгону САР із П-регулятором при поданні стрибкоподібної зміни регулюючої дії

% ходу РО.

 

По отриманій кривій розгону можна зробити висновки, що при застосуванні  П-регулятора для даної САР не будуть виконуватися вимоги по якості перехідного процесу. А саме:

Допустима похибка регулювання більше 0,2 кгс/см².

 

Отже потрібно обрати інший регулятор.

 

2.3.2. Вибираю І-регулятор. Ідеальний інтегральний регулятор (І-регулятор) є інтегруючою ланкою з функцією передачі

  ,     

де  час інтегрування.

За розширеними частотними характеристиками знаходжу частоту w, при якій розширена фазочастотна характеристика об’єкта регулювання досягає значення .

w=[0:0.001:2];

T=0.5886; k=0.1334; m=0.32;

p=-m*w+i*w;

Wop=k./(T*p+1).^3;

fi=phase(Wop);

j=1:length(w);

a(j)=-pi/2+atan(m);

plot(w,fi,w,a); grid;

Рис. 8. Розширена фазочастотна характеристика об’єкта регулювання, w = 0.6644 рад/сек.

 

Розширені частотні характеристики І-регулятора визначаються за такими формулами:

Амплітудно-фазовий критерій для САР з І-регулятором має  вигляд:

Час інтегрування І-регулятора, при якому досягається заданий ступінь коливальності перехідного процесу

,     

де  - частота, при якій розширена фазо-частотна характеристика об’єкту регулювання досягає .

 

Розраховуємо параметри  настроювання І- регулятора в середовищі Matlab:

w=0.6644;

T=0.5886; k=0.1334; m=0.32;

p=-m*w+i*w;

Wop=k./(T*p+1).^3;

Aop=abs(Wop);

Ti=Aop/(w*sqrt(1+m^2))

 

Ti =     0.2173

 

Маючи параметри настроювання І-регулятора в бібліотеці Simulink складаю модель САР і досліджую її  при дії максимальної стрибкоподібної зміни регулюючої дії( % ходу РО):

 

Рис. 9. Структурна схема одноконтурної САР із І-регулятором.

 

 

Рис. 10. Графік кривої розгону САР із І-регулятором при поданні стрибкоподібної зміни регулюючої дії

% ходу РО.

По отриманій кривій розгону можна зробити висновки, що при застосуванні  І-регулятора для даної САР не будуть виконуватися вимоги по якості перехідного процесу. А саме:

1. Максимальне динамічне відхилення становить 1.8 кгс/см², що більше за задане в завданні (1.2 кгс/см²).
2. Час регулювання становить 13 хв, що більший за заданий t_p=4хв.

 

Отже потрібно обрати інший регулятор.

 

2.3.3. Вибираю ПІ-регулятор. Пропорційно-інтегральний регулятор (ПІ-регулятор) є паралельним з’єднанням пропорційної та інтегральної ланок, функція передачі якого має вигляд

,

де k_p – коефіцієнт передачі регулятора; час ізодрому.

Розрахунок параметрів настроювання ПІ-регулятора здійснюється в два етапи:

1) в площині параметрів  настроювання регулятора  знаходять границю області заданого запасу стійкості САР;

2) із знайденої границі  області заданого запасу стійкості  вибирають оптимальні значення параметрів настроювання регулятора. Під оптимальними розуміють такі значення параметрів настроювання, які при заданому запасі стійкості САР забезпечують мінімальне значення обраного критерію оптимальності. В практичних розрахунках звичайно критерієм оптимальності обирають інтегральну оцінку.

Значення параметрів настроювання ПІ-регулятора:

   (2)

Змінюючи частоту в  діапазоні  ( частоти, що відповідають параметрам настроювання відповідно І- та П-регуляторів, п.2.3.1 і п.2.3.2) за рівняннями системи (2) розраховують значення параметрів настроювання ПІ-регулятора, що відповідають границі заданого запасу стійкості.

 Для заданого m в площині параметрів , будую границю області запасу стійкості, з якої визначаю оптимальні значення параметрів настроювання ( )_опт, ( )_опт.

Програма для знаходження границі області заданого запасу стійкості САР з ПІ-регулятором:

clear

w=[0:0.01:10];w=[0.6644:0.0001:1.8933]

T=0.5886; k=0.1334; m=0.32;

p=-m*w+i*w;

Wop=k./(T*p+1).^3;

fi=phase(Wop);

j=1:length(w);

a(j)=-pi;

b(j)=-pi/2+atan(m);

figure(1)

plot(w,fi,w,a,w,b); grid;

Aop=abs(Wop);

kp_Tiz=-((m^2+1).*sin(fi).*w)./Aop;

kp=(-cos(fi)-m*sin(fi))./Aop; 

figure(2)

plot(kp,kp_Tiz),grid

[kp_TizMAX s]=max(kp_Tiz)

kpM=kp(s)

w0=w(s)

Рис. 11. Границя області заданого запасу стійкості САР з                      ПІ-регулятором.

 

Програма для знаходження  оптимальних значень параметрів настроювання ( )_опт, ( )_опт, а також знаходження мінімальної другої інтегральної оцінки:

clear

w=[1.4:0.001:1.7]

T=0.5886; k=0.1334; m=0.32;

p=-m*w+i*w;

Wop=k./(T*p+1).^3;

fi=phase(Wop);

Aop=abs(Wop);

kp_Ti=-((m^2+1).*sin(fi).*w)./Aop;

kp=(-cos(fi)-m*sin(fi))./Aop; 

for i=1:length(w)

    t=[0:0.2:10];

Wop1=tf(1, [T 1]);

Wop2=tf(k, [T 1]);

Wop3=tf(1, [T 1]);

Wop=Wop1*Wop2*Wop3;

War1=tf(kp(i),[1]);

War2=tf(kp_Ti(i),[1 0]);

War=War1+War2;

Wcap=Wop/(1+Wop*War)

y=step(Wcap,t)*19;

q=trapz(t,y.^2);

S(i)=q;

Jmin=min(S);

   if S(i)==Jmin;

      kp_Tiopt=kp_Ti(i);

      kpopt=kp(i);   

  end

end

kpopt

kp_Tiopt

Jmin

figure(1);plot(kp, kp_Ti,kpopt,kp_Tiopt,'*');grid; xlabel('kp'); ylabel('kp/Ti');

figure(2);plot(kp,S,kpopt,Jmin,'*'),grid; xlabel('kp'); ylabel('J');

Wop1=tf(1, [T 1]);

Wop2=tf(k, [T 1]);

Wop3=tf(1, [T 1]);

Wop=Wop1*Wop2*Wop3;

War1=tf(kpopt,[1]);

War2=tf(kp_Tiopt,[1 0]);

War=War1+War2;

Wcap=Wop/(1+Wop*War)

Wcap1=minreal(Wcap)

y=step(Wcap,t)*19;

figure(3);plot(t,y);grid; xlabel('t,c'); ylabel('Tusk, khs/sm^2');

title('Perehidnuy proces'); 

 

 

 

Рис. 14.Границя області заданого запасу стійкості (зірочкою позначені оптимальні параметри

і ).

Рис.15. Графік залежності коефіцієнта передачі регулятора (K_p) від другої інтегральної оцінки (J).

 

Значення оптимальних параметрів ПІ-регулятора:

kpopt =  12.1753

kp_Tiopt = 7.7410

 

Значення мінімуму другої інтегральної оцінки:

Jmin = 1.7609.

 

Рис. 16. Графік кривої розгону САР із ПІ-регулятором при поданні стрибкоподібної зміни регулюючої дії

% ходу РО.

По отриманій кривій розгону можна зробити висновки, що при застосуванні  ПІД-регулятора для даної САР будуть виконуватися вимоги по якості перехідного процесу. А саме:

а) час регулювання t_p=3.483 хв, що менше за заданих 4 хв.

б) допустима похибка  регулювання менша 0.2 кгс/см².

          в) максимальне динамічне відхилення становить 1.07 кгс/см², що менше за задане.

 

З графіку видно, що перехідний процес при нанесенні стрибкоподібної зміни регулюючої дії % ходу РО повністю відповідає вимогам до якості процесу регулювання.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Дослідження  перехідного процесу САР при  зміні завдання.

 

Рис. 17. Структурна схема САР із каналами керуючої, збурюючої та регулюючої дії.

 

Рис. 18. Графік кривої розгону САР при стрибкоподібній зміні регулюючої дії

% ходу РО.

 

Показники якості для  одержаної кривої розгону:

Максимальне динамічне  відхилення А1=1.07 кгс/см².

          Допустима похибка регулювання  ∆=0.2 кгс/см².

Час регулювання  tp=3.483 хв.

 

Рис. 19. Графік кривої розгону САР при стрибкоподібній зміні витрати пари на 0.6 т/год.

 

Показники якості для  одержаної кривої розгону:

Максимальне динамічне  відхилення А1=0.855 кгс/см².