Термодинамика

свойств  при  переходе  от  малого  к     очень  большому  числу  частиц   в

статической физике - переход от динамических к  статическим  закономерностям

. При этом  весьма очевидно , что всякие аналогии  с физико  -  химическими   и

биологическими  системами весьма условны , поэтому проводить  аналогию  между

человеком и  молекулой  или  даже  нечто  подобное  было  бы  не  допустимым

заблуждением . Однако  ,  понятийный  и  математический  аппарат  нелинейной

неравновесной термодинамики и синергетики  оказываются полезными  в  описании

и анализе элементов  самоорганизации в человеческом обществе.

    Социальная  самоорганизация  -  одно  из   проявлений   спонтанных   или

вынужденных процессов  в  обществе  ,  направленная  на  упорядочение  жизни

социальной  системы  ,  на  большее  саморегулирование.  Социальная  система

является системой  открытой  способная  ,  даже  вынужденная  обмениватся  с

внешним   миром   информацией   ,   веществом   ,    энергией.    Социальная

самоорганизация  возникает  как  результат  целеноправленных  индивидуальных

действий ее составляющих.

   Рассмотрим  самоорганизацию в  социальной  системы  напримере  урбанизации

зоны . Проводя  анализ урбанизации географических зон  можно  предположить  ,

что рост локальной  заселенности данной территории будет обусловлен  наличием

в этой зоне рабочих  мест . Однако , здесь существует  некоторая  зависимость

: состояние   рынка  ,  определяющего  потребность   в  товарах  и  услугах   и

занятости . Отсюда возникает механизм нелинейной обратной связи  в  процессе

роста плотности  населения. Такая задача решается  на  основе  логистического

уравнения , где  зона  характеризуется  ростом  ее  производительности   N  ,

новых экономических  функций  S - функция в  локальной  области   i   города.

Логистическое уравнение описывает эволюцию  численности населения и может

быть тогда  представлена в виде

                      dni

             .     =   Кni(N + ( Rk Sik - ni) - dni         ( 2.13 )

            dt                         k

 

где  Rk   вес данной к  -  ой   функции ,  ее  значимость  .  Экономическая

функция изменяется с ростом численности : определяется  спросом  на  к  -  й

продукт в  i - й  области в зависимости от увеличения численности  населения

и  конкуренции  предприятий  в  других  зонах  города  .   Появление   новой

экономической функции  играет  роль  социально  экономической  флуктуации  и

нарушает равномерное  распределение  плотности  населения.  Такие  численные

расчеты по  логистическим  уравнениям  могут  быть  полезны  прогнозировании

многих проблем.

 

                             ПОСТАНОВКА  ЗАДАЧИ.

 

   В рассмотренных   примерах  в  литературе  имеются   лишь  общие  выводы  и

заключения , не приведены конкретные аналитические  расчеты или численные .

   Целью  настоящей  дипломной  работы  является  аналитические  и  численные

исследования  самоорганизации различных систем .

 

 

 

                                   ГЛАВА 3

   АНАЛИТИЧЕСКИЕ   И ЧИСЛЕННЫЕ  ИССЛЕДОВАНИЯ

   САМООРГАНИЗАЦИИ   РАЗЛИЧНЫХ  СИСТЕМ.

 

                         3.1.       ЯЧЕЙКИ  БЕНАРА .

 

   Для того , чтобы экспериментально изучить  структуры  ,  достаточно  иметь

сковороду , немного  масла и какой  ни  будь  мелкий  порошок  ,  чтобы  было

заметно движение жидкости . Нальем в сковороду масло  с  размешанным  в  нем

порошком и  будем подогревать ее снизу (рис. 3.1)

                                    [pic]

Рис. 3.1. Конвективные ячейки Бенара.

   Если  дно сковороды плоское и  нагреваем  мы  ее  равномерно  ,  то  можно

считать , что  у дна и на поверхности поддерживаются  постоянные  температуры

, снизу -  Т1 , сверху -  Т2 . Пока разность  температуры   (Т  =  Т1  -  Т2

невелика , частички порошка неподвижны ,  а следовательно ,  неподвижна  и

жидкость .

   Будем  плавно увеличивать температуру  Т1 . С  ростом  разности  температур

до значения  (Тc  наблюдается все та же картина , но когда  (Т ( (Тc  ,  вся

среда разбивается  на правильные шестигранные ячейки (см. Рис. 3.1) в  центре

каждой из которых  жидкость движется вверх ,  по  кроям  вниз  .  Если  взять

другую сковороду , то можно  убедиться  ,  что  величина  возникающих  ячеек

практически не зависит от ее формы и  размеров  .  Этот  замечательный  опыт

впервые был проделан Бенаром в начале нашего века , а сами  ячейки  получили

название ячеек  Бенара .

    Элементарное   качественное   объяснения   причины   движения   жидкости

заключается в  следующем . Из-за теплового расширения жидкость  расслаивается

, и в более нижнем слое плотность жидкости  (1  меньше , чем в  верхнем   (2

. Возникает  инверсный градиент плотности  , направленный противоположно  силе

тяжести . Если выделить элементарный объем  V ,  который  немного  смещается

вверх в следствии  возмущения , то в соседнем  слое  архимедова  сила  станет

больше силы тяжести , так как  (2  (  (1 . В  верхней  части  малый  объем  ,

смещаясь вниз , поподает в облость пониженной плотности , и архимедова  сила

будет меньше  силы  тяжести   FA  <  FT   ,  возникает  нисходящее  движение

жидкости . Направление  движения нисходящего и восходящего  потоков  в  данной

ячейке случайно , движение же потоков в  соседних  ячейках  ,  после  выбора

направлений в  данной ячейке детерминировано . Полный  поток  энтропии  через

границы системы  отрицателен , то есть система отдает  энтропию  ,  причем  в

стационарном  состоянии  отдает  столько  ,  сколько  энтропии  производится

внутри системы (за счет потерь на трение).

                     dSe        q        q                 T1 - T2

            .    =   (  -   (    = q (    (((    < 0      (3.1)

            dt          T2        T1               T1 ( T2

   Образование именно сотовой ячеистой  структуры  объясняется  минимальными

затратами энергии  в системе на создание именно такой формы  пространственной

структуры . При  этом в центральной части ячейки жидкость движется вверх ,  а

на ее периферии - вниз.

   Дальнейшее  сверхкритическое нагревание  жидкости  приводит  к  разрушению

пространственной  структуры - возникает хаотический турбулентный режим.

                                    [pic]

       Рис. 3.2.   Иллюстрация возникновения  тепловой

                         конвекции в жидкости .

    К   этому  вопросу  прикладывается  наглядная  иллюстрация  возникновения

тепловой конвекции в жидкости .

 

2  ЛАЗЕР , КАК САМООРГАНИЗУЮЩАЯСЯ СИСТЕМА.

 

   Во второй  главе этот вопрос мы уже  рассматривали . Здесь же ,  рассмотрим

простую модель лазера .

   Лазер  - это устройство , в котором в  процессе стимулированного  излучения

порождаются фотоны .

   Изменение  со временем числа фотонов  n  , или другими словами ,  скорость

порождения  фотонов , определяется уравнением вида :

 

                   dn / dt  =  «Прирост» - «Потери»          (3.2)

 

    Прирост   обусловлен  так  называемым  стимулированном  излучением  .  Он

пропорционален  числу уже имеющихся фотонов  и числу возбужденных атомов  N  .

Таким образом :

 

                     Прирост  =  G N n             (3.3)

 

    Здесь  G  -  коэффициент  усиления  ,  который  может  быть  получен  из

микроскопической  теории . Член ,  описывающий  потери  ,  обусловлен  уходом

фотонов через  торцы лазера . Единственное допущение , которое  мы  принимаем

, - это то , что  скорость ухода пропорциональна  числу  имеющихся  фотонов  .

Следовательно ,

 

                        Потери  =  2(n          (3.4)

 

2(  =  1/ t0 , где  t0 - время жизни фотона в лазере .

   Теперь  следует учесть одно важное  обстоятельство , которое  делает  (2.1)

нелинейным  уравнением вида :

                           [pic]             (3.5)

   Число  возбужденных атомов уменьшается  за счет испускания  фотонов  .  Это

уменьшение   (N   пропорционально  числу  имеющихся  в  лазере   фотонов   ,

поскольку эти  фотоны постоянно  заставляют  атомы  возвращаться  в  основное

состояние .

                         (N = (n              (3.6)

   Таким  образом , число возбужденных  атомов равно

                      N = N0 - (N                (3.7)

где  N0 - число  возбужденных атомов , поддерживаемое внешней

              накачкой , в отсутствии лазерной генерации.

   Подставляя (3.3) - (3.7) в (3.2)  ,  получаем  основное  уравнение  нашей

упрощенной  лазерной модели :

                           [pic]            (3.8)

где постоянная   k   дает выражение :

                                  k1  =  (G

                       k  =  2( - GN0  ((  0     (3.9)

   Если  число возбужденных атомов  N0  (создаваемых накачкой) невелико ,  то

k  положительно , в то время как при достаточно  больших   N0   k  -  может

стать отрицательным . Изменение знака происходит когда

                       GN0  =  2(               (3.10)

   Это условие  есть условие порога лазерной  генерации .

   Из теории  бифуркации следует , что при  k > 0  лазерной генерации  нет  ,

в то время как  при   k < 0  лазер испускает  фотоны.

   Ниже  или выше порога лазер работает в совершено разных режимах .

   Решим  уравнение (3.8) и проанализируем  его аналитически :

-  это уравнение  одномодового лазера .

   Запишем  уравнение (3.8) в следующем виде :

                                    [pic]

   Разделим  исходное уравнение на  n2 .

                                    [pic]

и введем новую  функцию   Z :

1/n = n-1 = Z    (   Z1 = - n-2    следовательно  уравнение примет вид :

                                    [pic]

перепишем его  в следующем виде :

                                    [pic]

разделим обе  части данного уравнения на  -1 , получим

 

                           [pic]           (3.11)

 

   Уравнение  (3.11)  - это уравнение  Бернулли , поэтому сделаем  следующую

замену   Z = U(V  , где  U  и  V   неизвестные  пока  функции   n   ,  тогда

Z1 = U1 V + U V1 .

   Уравнение  (3.11)  , после замены переменных , принимает вид

                          U1 V + UV1 - k UV  =  k1

преобразуем , получим

                 U1 V + U(V1 - k V) = k1              (3.12)

   Решим уравнение (3.12)

                       V1 - k V = 0   (   dV/dt = k V

сделаем разделение переменных         dV/V =k dt    (   ln V = k t

результат  V = ekt    (3.13)

   Отсюда  мы можем уравнение (3.12) переписать  в виде :

                                U1 ekt  = k1

  - это то  же самое , что        dU/dt = k1e-kt      ,   dU  =  k1e  -kt  dt

  выразим  отсюда  U  , получим

                              [pic]      (3.14)

 

По уравнению  Бернулли мы делали замену   Z  =  U  V   подставляя  уравнения

(3.13) и (3.14) в  эту замену , получим

                                    [pic]

   Ранее  вводили функцию        Z = n-1    , следовательно

                             [pic]        (3.15)

   Начальное   условие       n0=1/(c-k1/k)   ,  из  этого условия мы  можем

определить  константу   с  следующим образом

                                    [pic]

   Подставляя , найденную нами константу в  уравнение (3.15) , получим

                             [pic]       (3.16)

 

   Исследуем  функцию (3.16) при  k = 0 , k < 0 , k > 0 .

   При  k(0 ; ekt ( 0 ;   (ekt  -  1)(0   ,  то  есть   (ekt  -  1)(k1/k(0((

(неопределенность) , раскроем эту неопределенность  по  правилу  Лопиталя  .

Эту неопределенность вида   0((   следует привести к  виду    [pic]   .  При

этом , как и  всегда при применении правила Лопиталя  ,  по  ходу  вычислений

рекомендуется упрощать получившиеся выражения , следующим  образом :

                                    [pic]

n(k)при  k(0 ( 0  , следовательно   [pic]

   Перепишем  (3.16) в следующем виде

                                    [pic]

   Линеаризуем  нелинейное уравнение , получим

                                    [pic]

[pic]ln n = - kt + c   (   [pic]

   Построим график для этих условий

 

                                    [pic]

      Рис. 3.3    К самоорганизации  в одномодовом лазере :

                 кривая 1 : k < 0 , режим лазерной генерации

                 кривая 2 : k = 0 , точка бифуркации , порог

                       кривая 3 : k > 0 , режим лампы.

   При  k = 0  уравнение (3.8)  примет вид

                                    [pic]

решая его , получим

                                    [pic]

 

[pic]            (3.8)

   При условии  [pic] ;  n(t)  =  const   ,  функция  (3.8)  приближается  к

стационарному состоянию , не зависимо от начального  значения   n0  ,  но  в

зависимости от знаков  k и k1 (смотри рисунок 3.3).

 

 

 

   Таким  образом , функция (3.8) принимает  стационарное решение

                                    [pic]

 

                       3.3.      ДИНАМИКА  ПОПУЛЯЦИИ .

 

   О распространении  и численности видов была собрана  обширная информация  .

Макроскопической  характеристикой , описывающей популяцию , может быть  число