Дослідження нелінійної системи управління

 

 

 

 

 

 

 

 

Курсова робота

з дисципліни

"Теорія нелінійних  і цифрових систем управління"

на тему:

"Дослідження нелінійної  системи управління"

 

 

 

 

 

 

 

 

Виконав                                                                           

                                                                                             

 

Перевірив:                                                                           

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ  УКРАЇНИ

СУМСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ  УНІВЕРСИТЕТ

Кафедра комп’ютерних наук

Секція КСУ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАВДАННЯ

на курсову роботу з дисципліни

“Теорія нелінійних та цифрових систем управління”

студенту Магалясу Василю Григовичу

 

 

Тема: Дослідження нелінійної системи управління

 

 

КАЛЕНДАРНИЙ ПЛАН ВИКОНАННЯ  КУРСОВОЇ РОБОТИ

 

Пор. ном	Назва етапу курсової роботи	Термін виконання етапу курсової роботи		Примітка
		Початок	Закінчення
1	Математичний опис слідкуючого  електропривода	03.12.10	10.12.10
2	Cистеми рівнянь у нормальній формі Коші	11.12.10	18.12.10
3	Математичний опис люфту з насиченням	19.12.10	23.12.10
4	Побудова фазового портрету	24.12.10	27.12.10

 

 

Дата видачі завдання:         _______

 

Дата подання роботи викладачу:       _______

 

Завдання одержав:

 

Викладач:          

 

ЗМІСТ

 

   Завдання на курсову роботу……………………………………………………4  

  Перелік скорочень і умовних позначень………………………………………5

   Вступ……………………………………………………………………………..6

1. Математична модель слідкуючого електропривода…………………………. 7

   1.1. Математичний опис слідкуючого електроприводу……………………... 7

  1.2.Складання системи рівнянь у нормальній формі Коші…………………..8

2. Математичний опис люфту з насиченням……………………………………10

3. Побудова фазового портрету………………………………………………….13

    Висновок………………………………………………………………………..15

    Список використаної літератури……………………………………………...16

    Додаток А - Функціональна схема слідкуючого електропривода…………..17

    Додаток Б - Лістинг програми для фазового портрету………………………18

    Додаток В - Лістинг програми для збільшеного фазового портрету………..19 

   

 

ЗАВДАННЯ НА КУРСОВУ РОБОТУ

 

У додатку  А приведена функціональна схема слідкуючого електропривода і перераховані основні її функціональні елементи та блоки.

Необхідно побудувати математичну модель системи, а потім методом фазової площини зробити дослідження за умови її вільного руху під час відсутності зовнішнього статичного навантаження.

Дослідження містить у собі: побудову фазового портрета системи, оцінку областей стійкості системи, а також оцінку наявності автоколивань у ній. У випадку присутності автоколивального руху системи необхідно визначити частоту і максимальну амплітуду цього стану. Після приведення структурної схеми до найпростішої, вважати, що результуюча нелінійність даної системи є комбінованою нелінійністю типу «люфт із насиченням» (рис. 2.2). Значення кількісних параметрів нелінійності приведені в табл. 1, значення параметрів електропривода - в табл. 2.

Таблиця 1

Кількісні характеристики нелінійності системи

Варіант №	с1, рад	с2, рад	b, В
1	0,23	0,3	100

 

Таблиця 2

Значення параметрів електропривода

Варіант №	Tм, с	Кд,	qоб
10	0,1	1,7	0,25

 

Приймемо значення Т_я рівним нулю.

 

 

 

 

 

 

ПЕРЕЛІК СКОРОЧЕНЬ І  УМОВНИХ ПОЗНАЧЕНЬ

 

ЕРС – електрорушійна сила;

ЛДР – лінійні диференційні рівняння;

МФП – метод фазової  площини;

НДР – нелінійні диференційні рівняння;

НЕ – нелінійний елемент;

НС – нелінійна  система;

САУ – система автоматичного  управління;

ТАУ– теорія автоматичного  управління;

ФП – фазовий портрет;

ФТ – фазова траєкторія;

ФЧП-ТП – фазочутливий підсилювач – тиристорний перетворювач;

Т_я – електромагнітна стала часу двигуна;

Т_м – електромеханічна стала часу електропривода;

q – передатне число понижуючого редуктора;

φ₁ – функція нелінійного елемента типу “люфт”;

φ₂ – функція нелінійного елемента з зоною насичення.

 

ВСТУП

На відміну  від добре вивчених в основному курсі теорії автоматичного керування (ТАУ) лінійних систем і ланок, опис яких зводиться до складання лінійних диференційних рівнянь (ЛДР) і співставлення їм передаточних функцій, на підставі яких можна одержати повну і різнобічну інформацію про об'єкт дослідження, існує інший клас систем і ланок, які прийнято називати нелінійними. Така їхня назва обумовлена тим, що їх неможливо описати ЛДР, тому що їм відповідають нелінійні диференційні рівняння (НДР). Використання НДР в ТАУ призводить до деяких складностей, по-перше, їх вирішення досить складна задача, а, по-друге, НДР не можливо співставити передаточну функцію і відповідно використовувати для опису нелінійних систем методи і правила, які відомі з лінійної ТАУ. Слід зазначити, що практично всі відомі системи є нелінійними, однак шляхом лінеаризації можливо деякі НДР, у рамках визначених значень їх параметрів, що задаються, привести до ЛДР для подальшого використання відповідних лінійних методів дослідження. У випадку якщо це зробити не можна, нелінійності системи співставляють відповідну типову нелінійність. При цьому для дослідження зручно використовувати метод фазової площини (МФП), МПФ є універсальним і застосовується незалежно від властивостей системи. МФП є дуже точним, а також інформативним і наочним.

 

1 МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ СЛІДКУЮЧОГО ЕЛЕКТРОПРИВОДУ

1.1 Математичний опис слідкуючого електроприводу

Запишемо  рівняння елементів електропривода відповідно до функціональної схеми, зображеної в додатку А і без врахування їх можливих нелінійностей:

Вимірювальний пристрій -                    (1.1);

Фазочутливий підсилювач UВ -           (1.2);

Підсилювач напруги А -                       (1.3);

Тиристорний перетворювач UМ -       (1.4),

де  - коефіцієнти передачі фазочутливого підсилювача, підсилювача напруги і тиристорного перетворювача;

U_фп, U_п, U_d — вихідні напруги фазочутливого підсилювача, підсилювача напруги і тиристорного перетворювача.

Можна записати наступну систему рівнянь, що описує двигун постійного струму з незалежним збудженням:

L_я·di_я/dt+r_я·i_я+c·ω= Ud_й (1.5);

М-М_с=J·dω/dt (1.6);

c·ω=E_d (1.7);

c·i_я =М (1.8),

де L_я, r_я - індуктивність і активний опір якірного кола, i_я, Ed ,ω — струм якоря, ЕРС і швидкість двигуна, c - коефіцієнт пропорційності між ЕРС і швидкістю, а також між моментом М і струмом якоря при незмінному потоці збудження, М_с - момент статичного навантаження, приведений до вала двигуна, J -сумарний момент інерції електропривода, приведений до вала двигуна.

Рівняння  передачі сигналу редуктором має  наступний вигляд:

  (1.9),

де q - передаточне число понижуючого редуктора.

Проведемо аналіз нелінійних елементів (НЕ), що можливі в даній системі. Вихідний сигнал редуктора буде відрізнятися від Θ_вих1 за рахунок нелінійності типу «люфт» у механіці цього виконавчого механізму. Тому реально на виході буде формуватися сигнал

 (1.10)

З іншого боку коло «фазочутливий  підсилювач -тиристорний перетворювач» (ФЧП-ТП) (рівняння (1.2)-(1.4)) може здійснювати функцію обмеження значення струму шляхом формування нелінійності з зоною насичення. Відповідно

  (1.11)

Якщо виразам (1.5)-(1.11) співставити відповідні передатні функції, то структурна схема такої системи буде мати такий вигляд (рис. 1.1).

Рис.1.1 Структурна схема слідкуючого електропривода (Т_я=L_я /r_я, Т_м=Jr_я /с²)

1.2 Складання системи рівнянь у нормальній формі Коші

За умови малого значення Т_я, що в більшості випадків відповідає реальній ситуації, і відсутності зовнішнього статичного навантаження на двигун, структурна схема слідкуючого електропривода може бути зображена у вигляді схеми, показаній на рис. 1.2.

Рис.1.2 Спрощена структурна схема слідкуючого електропривода (k_д=1/c - коефіцієнт передачі двигуна, q_об=1/q).

Якщо врахувати, що досліджується вільний рух  системи, тобто спостерігається незмінне значення вхідного зовнішнього впливу (Θвх=0), а в якості основної координати х прийняти значення кута повороту осі двигуна

  (1.12),

то в якості другої фазової координати зручно прийняти значення швидкості двигуна ω

   (1.13),

що обумовлено можливістю зв'язати їх між собою за допомогою простого виразу (1.9), тобто

  (1.14)

або         (1.15)

Вибір наведених  вище визначаючих параметрів електропривода в якості фазових координат, за умови вільного руху системи, дозволяє замінити дві присутні в системі нелінійності (нелінійність типу «люфт» і нелінійність із зоною насичення) єдиною результуючою (див. додаток Б).

Ud= φ2(φ1 (-x)) = φ(-x)   (1.16),

і дає можливість додатково  зв'язати координати x і y у такий спосіб:

y=_φ(-x)·к_д/(Т_мр+1) (1.17),

де  - оператор диференціювання.

Вираз (1.17) дозволяє записати ще одне рівняння із системи рівнянь форми Коші для розрахунку фазових траєкторій у координатах параметрів стану слідкуючого електропривода:

  (1.18)

 

2 МАТЕМАТИЧНЕ ОПИСАННЯ ЛЮФТУ З НАСИЧЕННЯМ

 

Система лінійних диференційних  рівнянь.

     (2.1)

 

Характеристика на рис. 2.1має властивості неоднозначної характеристики и характеристики с зоною насичення.

Рис. 2.1 – Нелінійність типу «люфт с насиченням»

Математично описується в вигляді:

 

    (2.2)

Нелінійність «люфт  с насиченням» (рис. 3) можна розбити на кілька частин для зручності реалізації й опису. Приклад розбиття представлений на рис. 4.

Дамо математичний опис складових частин електроприводу.

     (2.3)

Частина нелінійності представленої  на рис. 2.1 може бути побудована поступово. На рис. 2.2 (а),(б) 2.3, 2.4 представлена «поступова» побудова нелінійної частини рис 2.1.

       (а)    (б)

Рис. 2.2 – Розбиття нелінійності типу «люфт з насиченням» на дві частини

 

Рис. 2.3 – Побудова похилої прямої на інтервалі від –  С2 до +  С2

Рис. 2.4– Побудова нелінійної характеристики типу люфт на інтервалі від –  С2 до +  С2

 

 

Задамо математичний опис похилої прямої рис. 2.3 і нелінійної характеристики типа люфт рис. 2.4, а також нелінійної частини представленої на рис. 2.2 (а).

             (2.4)

   (2.5)

  (2.6)

Виходячи з формули (1.15) проведемо заміну . Виразу E відповідає функція x(t), а виразу U відповідає функція y(t). В результаті отримаємо: