Анализ электрического состояния линейных и нелинейных электрических цепей постоянного тока

 

Определим реактивные сопротивления элементов электрической  цепи.

 

                                X_L=2∙p∙f∙L,                                  (25)

 

где X_L – индуктивное сопротивление цепи, Ом;

     f – частота переменного тока, Гц;

     L – индуктивность катушки, Гн.

 

X_L1=2∙p∙50∙63,6∙10^-3=20 Ом

 

X_L2=2∙p∙50∙31,8∙10^-3=10 Ом

 

 

 

                               X_C=1/(2∙p∙f∙C),                          (26)

 

где X_C – реактивное емкостное сопротивление, Ом.

 

X_C1=1/(2∙p∙50∙338∙10^-6)=10 Ом

X_C2=1/(2∙p∙50∙318∙10^-6)=10 Ом

 

Начертим схему  замещения цепи (рисунок 7) и определим  полное сопротивление ветвей.

                             

                               Z₁=R₁=20∙e ^j∙0°Ом

 

Z₂=-j∙X_C1=10∙e ^-j∙90°Ом

 

 

                            Z₃=R₂+j∙X_L2                                 (27)

 

                            Z₃=15+j∙10=18∙e ^j∙34° Ом

 

                            Z₄=j∙X_L1=20∙e ^j∙90°Ом

 

Z₅=-j∙X_C2=10∙e ^-j∙90°Ом

 

      Определим эквивалентное сопротивление схемы:

                           Z₃₅=Z₃∙Z₅ /(Z₃+Z₅)                            (28)

 

                    Z₃₅=18∙e ^j∙34°∙10∙e ^-j∙90°/18∙e ^j∙34°+10∙e ^-j∙90°=12∙e ^-j∙56°Ом

 

                            Z₃₄₅=Z₃₄+Z₅                                    (29)

 

                         Z₃₄₅=6,7-j∙9,9+j∙20=12,9∙e ^j∙59°Ом

 

                             Z₂₃₄₅=Z₂∙Z₃₄₅ /(Z₂+Z₃₄₅)                    (30)

 

Z₂₃₄₅=10∙e ^-j∙90°∙12,9∙e ^j∙59°/10∙e ^-j∙90°+12,9∙e ^j∙59°=19∙e ^-j∙40°Ом

 

                                 Z_экв=Z₁+Z₂₃₄₅                               (31)

 

    Z_экв=20∙e ^j∙0°+19∙e ^-j∙40°=36,7∙e ^-j∙19° Ом

 

       Определяем ток источника и токи ветвей:

 

                            U=U_m/                                (32)

 

                          U=54∙e ^j∙60°/ =38∙e ^j∙60°B

 

                              I=I₁=U/Z_экв                                 (33)

 

 

  I=I₁=38∙e ^j∙60°/36,7∙e ^-j∙19°=1,04∙e ^j∙41°А

 

                               U_BE=I₁∙Z₂₃₄₅                                                       (34)

 

U_BE=1,04∙e ^j∙41°∙19∙e ^-j∙40°=19,8∙e ^j∙1°B

 

                               I₂=U_BE/Z₂                                 (35)

 

I₂=19,8∙e ^j∙1°/10∙e ^-j∙90°=1,98∙e ^j∙91°A

 

                            I₄=I₁-I₂                                      (36)

I₄=1,04∙e ^j∙41°-1,98∙e ^j∙91°=1,53∙e ^-j∙58°A

 

                            U_EC=I₄∙Z₃₅                                                     (37)

 

U_EC=1,53∙e ^-j∙58°∙12∙e ^-j∙56°=18,4∙e ^-j∙114°B

 

                               I₃=U_EC/Z₃                                  (38)

 

I₃=18,4∙e ^-j∙114°/18∙e ^j∙34°=1,02∙e ^-j∙148°A

 

                                I₅=U_EC/Z₅                                 (39)

 

I₅=18,4∙e ^-j∙114°/10∙e ^-j∙90°=1,84∙e ^-j∙24°A

 

 

  Запишем уравнение мгновенного значения тока источника:

 

                                 i=I_М∙sin(w∙t+y_I )                            (40)

 

i=1,04∙

∙sin(w∙t+(41°))=1,46∙sin(w∙t+(41°)) А

 

 

 

      Определяем мощности источника:

 

                          S_ист=U∙I*                                     (41)

 

S_ист=38,3∙e ^j∙60°∙1,04∙e ^-j∙41°=39,8∙e ^j∙19°В∙А

 

                       P_ист=37,6 Вт

                            

                      Q_ист=12,9 вар

 

        Определяем мощности приемника:

 

                              P_пр=I₁ ²∙R₁+I₃ ²∙R₂                                 (42)

 

                P_пр=1,03²∙20+1,02²∙15=37,24 Вт

 

                    Q_пр = I₂ ²∙(-X_С1 ) + I₃ ²∙X_L2 + I₅²∙(-X_C2 ) + I₄ ² ∙X_L1               (43)

 

      Q_пр = 1,98 ²∙(-10) + 1,02 ² ∙10+1,84 ²∙ (-10) + 1,53 ²∙20 = 13,8 вар.

 

                             S_пр=                                   (44)

 

                    S_пр= =40,47 В×А

 

                                     P_ист=P_пр                                       (45)

 

37,6 Вт ≈37,24 Вт

 

                               Q_ист = Q_пр                                       (46)

 

12,9 вар ≈13,8 вар

 

                                 S_ист = S_пр                                     (47)

 

                               39,8 В×А ≈40,5 В×А

 

Построим векторную  диаграмму токов на комплексной  плоскости, совмещенную с топографической  диаграммой напряжения (лист 2).

Для построения диаграммы  определим величину падения напряжения каждого элемента цепи по закону Ома:

 

                              U_AB = R₁×I₁                                                            (48)

 

  U_AB=20×1,04=20,8 В

 

                             U _BC=X_L1×I₄                                          (49)

 

                                  U_BC=20×1,53=30,6 В

 

                            U_CD=X_L2×I₃                                                            (50)

 

U_CD=10×1,02=10,2 В

 

                            U_DE=R₂×I₃                                                 (51)

 

U_DE=15×1,02=15,3 В

 

                             U_BE=X_C1×I₂                                                           (52)

 

U_BE=10×1,98=19,8 В

 

                             U_CE=X_C2×I₅                                                             (53)

 

 U_CE=10×1,84=18,4 В

На активных сопротивлениях R₁ , R₂ векторы напряжения U_AB , U_DE совпадают с векторами токов I₁ , I₃ соответственно, то есть параллельно им.

 

На индуктивности  вектора напряжений опережают ток  на 90^°. На емкости вектора напряжения отстают от векторов тока на 90^°, значит U_BE  перпендикулярно I₂ .

Начинаем построение топографической векторной диаграммы  напряжений с точки “ a ”, потенциал которой принимаем равной нулю. Строим вектор напряжений U_AB , к его концу прикладываем вектор напряжения U_BC , к концу которого прикладываем вектор напряжения U_CE соединив точки “ a ” и “ e ” получим вектор входного напряжения  U_аe=38×e ^j×60°. Обход остальных контуров аналогичен. Выбираем масштабы токов и напряжений: M_I =0,3 А/см, M_U =4 В/см.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.2 Расчет трехфазных  электрических цепей переменного  тока

 

В соответствии с  данными таблицы 4 начертим схему  соединения сопротивлений в трехфазной цепи (рисунок 8) и определим:

- фазные и линейные  токи, ток в нулевом проводе;

- активную, реактивную  и полную мощность каждой фазы  и всей цепи;

- угол сдвига  фаз между током и напряжением  в каждой фазе;

- начертим векторную  диаграмму трехфазной цепи в  масштабе (Лист 3).

 

Таблица 4 – данные для задачи № 4

 

 

 

 

 

 

 

UЛ , В	RА , Ом	RB , Ом	RC , Ом	XLA , Ом	XLC , Ом	XCB , Ом
600	305	128	158	329	581	272

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определим сопротивления  каждой фазы:

 

                           Z_A =                                 (54)

 

Z_A=

=448,6 Ом

                             Z_B =                               (55)                     

 

                            Z_B= =300,6 Ом

 

                         Z_C =                              (56)

 

 Z_C=

=602,1 Ом

 

     Определим фазное напряжение:

 

                          U_Ф=U_л /                    (57)

 

                         U_Ф=600/ =346,8 В

 

     Определим фазные токи:

 

                           I_Ф=U_Ф/Z_Ф                             (58)

 

     При соединении звездой фазные и линейные токи равны.

 

I_A=346,8/448,6=0,773 A

 

I_B=346,8/300,6=1,154 A

 

I_C=346,8/602,1=0,576 A

 

    Определим углы сдвига фаз между током и напряжением в каждой фазе:

 

                          j_ф=arcsin(X_Ф/Z_Ф)       (59)

 

          j_AB=arcsin(329/448,6)=47°

       j_BC=arcsin(-272/300,6)=-65°

 

    j_CA=arcsin(581/602,1)=75°

 

 

 

           Определяем фазные мощности:

 

                     P_Ф=U_Ф×I_Ф×cosj_Ф                          (60)

 

P_A=346,8×0,773×0,68=182,3 Вт

 

                     P_B=346,8×1,154×0,43=172,1 Вт

 

                     P_C=346,8×0,576×0,26=51,9 Вт

 

                     Q_Ф=U_Ф×I_Ф×sin×j_Ф                            (61)

 

  Q_A=346,8×0,773×0,73=195,7 вар

 

   Q_B=346,8×1,154×(-0,9)=-360,2 вар

 

                    Q_C=346,8×0,576×0,96=191,8 вар

 

    Определяем мощности всей трехфазной цепи:

 

                          P=P_A+P_B+P_C                              (62)

 

 P=182,3+172,1+51,9=406,3 Вт

 

                         Q=Q_A+Q_B+Q_C                               (63)

 

   Q=195,7+(-360,2)+191,8=27,3 вар

 

                     S=                     (64)

                    S= =407,2 В∙А

 

 

 

Построим векторную  диаграмму трехфазной цепи, выбрав масштаб M_I =0,2 А/см. Векторы фазных напряжений строим друг относительно друга под углом 120^°. Векторы фазных токов откладываем относительно фазных напряжений под углом j_ф .

Найдём ток  в нейтральном проводе:

                                I_N=I_A+I_B+I_C                                   (65)

 

                               I_N=1,9 A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 Исследование  переходных процессов в 

электрических цепях

 

Для электрической  цепи изображенной на рисунке 11, выполним следующее:

- определим практическую  длительность переходного процесса;

- определим ток  в цепи;

- определим энергию  электрического поля при 5t;

- построим графики  u_C =f(t) и i=f(t).

Данные для  электрической цепи, изображенной на рисунке 11, берем из таблицы 5.

 

 Таблица 5 – данные для задачи № 5

 

R, Ом	RР ,Ом	U, В	C, мкФ
100	100	50	300

 

 

Быстрота разряда конденсатора зависит от параметров цепи и характеризуется  постоянной времени разряда конденсатора.