Анализ электрического состояния линейных и нелинейных электрических цепей постоянного тока

1 Анализ электрического состояния линейных и нелинейных электрических цепей  постоянного тока

1. Расчет линейной электрической цепи

постоянного тока

 

 

Для электрической цепи, изображенной на рисунке 1, выполним следующее:

- определим токи во  всех ветвях методом узлового  напряжения;

- определим ток во  второй ветви методом эквивалентного  генератора;

- составим баланс мощностей  для данной схемы;

- построим потенциальную диаграмму для замкнутого контура, содержащего две ЭДС.

Данные для электрической  цепи, изображенной на рисунке 1, берем  из таблицы 1.

 

   Таблица 1 – данные для задачи № 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E1 ,  В	E2 ,  В	R1 , Ом	R2 , Ом	R3 , Ом	R4 , Ом	R5 , Ом	R6 , Ом	r02 , Ом	r03 , Ом
50	30	35	104	24	41	26	61	3	1

 

Определяем токи во всех ветвях схемы, используя метод узлового напряжения.

Под методом узлового напряжения понимают метод расчета сложных  электрических цепей, в которых  за искомое принимают узловое  напряжение.

Для того чтобы решить задачу методом узлового напряжения объединим  сопротивления R₄ и R₅.

 

 

 

 

Определяем токи во всех ветвях схемы, используя метод  контурных  токов.

Метод контурных токов  основан на использовании только второго закона Кирхгофа. Это позволяет  уменьшить число уравнений в  системе на n-1.

Ветви, принадлежащие двум смежным контурам, называются смежными ветвями. В них действительный ток  равен алгебраической сумме контурных  токов смежных контуров, с учетом их направления.

    При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа в левой части равенства алгебраически суммируем ЭДС источников, входящих в контур-ячейку, в правой части равенства алгебраически суммируем напряжения на сопротивлениях, входящих в этот контур, а также учитываем падение напряжения на сопротивлениях смежной ветви, определяемое по контурному току соседнего контура..

На основании выше изложенного порядок расчета цепи методом контурных токов будет следующим: стрелками указываем выбранные направления контурных токов I_к1 , I_к2 , I_к3 , в контурах-ячейках. Направление обхода контуров принимаем таким же; составляем уравнения и решаем систему уравнений или методом подстановки, или с помощью определителей.

 

    

 

 

 

 

 

 

 

Подставляем в уравнение  численные значения ЭДС и сопротивлений.

 

 

Решаем систему с  помощью определителей. Вычисляем  определитель системы ∆ и частные определители ∆₁ , ∆₂ и ∆₃ .

 

 

Вычисляем контурные токи:

 

                             I_k1 = ∆₁ /∆                                          (4)                                             

 

I_k1 = 836220/1588441 = 0.5 A

 

                               I_k2 = ∆₂ /∆                                      (5)

   

I_k2 = 239050/1588441 = 0.1 A                            

 

                               I_k3 = ∆₃ /∆                                         (6)

 

I_k3 = 239090/1588441 = 0,2 A.

 

Действительные токи ветвей:

                                I₁ = I_k1 = 0.5 A                         

 

                                  I₂ = I_k2 = 0.1 A                         

 

                            I₃ = I_k1 + I_k2                                   (7)        

 

   I₃ = 0.5 + 0.1 = 0.6 A  

 

                           I₄ = I_k1 - I_k3        (8)      

 

                          I₄ = 0.5 - 0.2 = 0.3 A

 

                           I₅ = I_k2 +I _k3                                        (9)      

 

                        I₅ = 0.5 + 0.1 = 0.6 A

 

                           I₆ = I_k3 = 0.2 А                              

 

 

 Определим ток в первой ветви методом эквивалентного генератора.

Метод эквивалентного генератора используется для исследования работы какого-либо участка в сложной  цепи.

Для решения задачи методом эквивалентного генератора разделим электрическую цепь на две  части: потребитель и эквивалентный  генератор.

 

Найдем узловое напряжение между точками а и б:

 

             U_аб =(0Ĥg₁+E₁Ĥg₂+E₂Ĥg₃ )/(g₁+g₂+g₃ )                           (10)

 

          U_аб=(0Ĥ0,017+40Ĥ0,019+30Ĥ0,021)/(0,017+0,019+0,021)=24,39 В.

                           I_хх1Ĥ(R₁+R₃+R₆+r₀₁) = E₁                                           (11)

 

                    I_хх2Ĥ(R₄+R₅ ) =0                                       (12)

                       

 

 

 

Подставляем в  уравнение численные значения ЭДС  и сопротивлений.

 

                                I_хх1Ĥ112 Ĥ= 40

 

                                I_хх2Ĥ97 = 0

 

 

 

 I_хх1 = 0,357 А

 

                                I_хх2 = 0 А

 

Зная I_хх1 и I_хх2 ,величины сопротивлений и ЭДС, в схеме можно определить U_хх как разность потенциалов между клеммами а и б:

 

          U_хх = I_хх1×(R₁+r₀₁)-Е₁ + I_хх2×R₄ + Е₂                                (13)

 

         E_э = U_хх = 0,357×(52+1)-40+0×46+30=8,92 В.

 

Для расчета внутреннего  сопротивления эквивалентного генератора необходимо преобразовать активный двухполюсник в пассивный, при этом ЭДС E₁ и E₂ из схемы  исключается.

    Вычисляем эквивалентное сопротивление относительно зажимов а и б.

Для нахождения эквивалентного сопротивления упростим схему.

 

 

                                 R₄₅ = R₄ĤR₅ /(R₄+R₅)                        (14)

 

                             R₄₅ =36Ĥ61/(36+61)=22,64 Ом

 

                            R₃₆ = R₃+R₆                                  (15)

 

                             R₃₆ =43+16=59 Ом

 

 

                            R₁₃₆ = R₃₆Ĥ(R₁+r₀₁) /(R₃₆+R₁+r₀₁ )      (16)

 

                R₁₃₆= 59Ĥ(52+1)/(59+52+1)=27,92 Ом

 

                            r_экв = R₁₃₆+R₄₅+r₀₂                       (17)

 

            r_экв = 27,92+22,64+2=52,56 Ом.

 

Зная ЭДС и  внутреннее сопротивление  эквивалентного генератора, вычисляем ток в исследуемой  ветви:

                            I₂ = E_э /(r_экв +R₂ )                         (18)

 

       I₂ = 8,92/(52,56+24) = 0,118 А.

 

Составим баланс мощностей для заданной схемы:

 

       E₁ĤI₁ +E₂ĤI₂=I₁²Ĥ(R₁+r₀₁)+I₂²Ĥ(R₂+r₀₂) +I₃²ĤR₃ +I₄²ĤR₄+I₅²ĤR₅+I₆²ĤR₆                (19)

 

      40Ĥ0,297+30Ĥ0,118=0,297 ²Ĥ(52+1)+0,118 ²Ĥ(24+2)+0,415²Ĥ43+

 

      +0,074 ²Ĥ36+0,043 ²Ĥ61+0,415 ²Ĥ16 = 15,42 Вт

 

                             15,42 Вт = 15,42 Вт.

 

   С учетом погрешности расчетов баланс мощностей получился.

   Построим потенциальную диаграмму для любого замкнутого контура, включающего две ЭДС.

   Возьмем контур АБГДА. Зададимся обходом контура по часовой стрелки. Заземлим одну из точек контура, пусть это будет точка А. Потенциал этой точки равен нулю j_А=0 В.Зная величину и направление токов ветвей и ЭДС, а также величины сопротивлений, вычислим потенциалы всех точек контура при переходе от элемента к элементу. Начнем обход от точки А. Диаграмму изобразим на Листе 1 графической части.

 

                                 

                            j_Б = j_А + I₁ ĤR₁                                                       (20)

 

                  j_Б = 0 + 0,297Ĥ52 = 15,44 В

 

                      j_В  = j_Б - E₁ + I₁Ĥ r₀₁                                                  (21)

 

j_В = 15,44 - 40 + 0,297×1 = -24,26 В

 

                        j_Г = j_В - I₄ĤR₄                                                        (22)

 

j_Г = -24,26 - 0,074Ĥ36 = -26,92 В

 

                       j_Д = j_Г - I₂Ĥr₀₂ + Е₂                                                  (23)

 

j_Д = -26,92 - 0,118Ĥ2 + 30=2,84 В

                             j_А = j_Д - I₂ĤR₂                                                      (24)

 

j_А = 2,84 - 0,118×24 = 0 В

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2 Расчет нелинейных  электрических цепей постоянного  тока

 

Построим входную вольтамперную  характеристику (ВАХ) схемы нелинейной электрической цепи постоянного  тока. Определим токи во всех ветвях схемы (рисунок 5) и напряжения на отдельных  элементах, используя полученные ВАХ  элементов цепи. Данные берем из таблицы 2. Задачу решим графическим  методом.

  Таблица 2 – данные для задачи № 2

U, В	R3 , Ом
120	60

 

 

 

 

Для построения ВАХ  линейного элемента зададимся некоторым  значением напряжения и, используя  закон Ома, определим точку ВАХ. Соединив полученную точку с началом  координат получим характеристику I₃=f(U₃ ). Эта характеристика представляет собой прямую линию, так как элемент линеен.

Строим общую  ВАХ цепи с учетом схемы соединения элемента. В

нашей цепи соединение элементов  смешанное.

Графически сворачиваем  цепь.

 

 

 

 

 

 

Чтобы найти токи и напряжения на всех элементах цепи, поступаем  так: по оси напряжений находим значение напряжения равное 120 В (точка “ a ”). Из этой точки восстанавливаем перпендикуляр до пересечения с общей ВАХ I_об =f(U_об), получим точку “ b ”. Из точки “ b ” перпендикуляр на ось тока (точка “ c ”). Отрезок “ oc ” дает нам искомое значение общего тока I_об =1,4 А. Когда опускаем перпендикуляр из точки “ b ” на ось тока, то пересекаем ВАХ I₃=f(U₃) и I₁₂=f(U₁₂) в точках “ f ” и “ d ” соответственно. Опуская перпендикуляры из этих точек на ось напряжения, получим напряжения на каждом участке цепи: U₁₂=76 В и U₃=44 В, но U₁₂=U₁=U₂ , т. к. нелинейные элементы соединены параллельно. Чтобы найти токи I₁ и I₂ при U₁₂=79 В, опустим перпендикуляр из точки “ d ” на ось напряжений до пересечения с ВАХ I₁=f(U₁ ) и I₂=f(U₂ ). Опустив из этих точек перпендикуляры на ось токов, получим I₂=0,95 и I₁=0,45. В результате имеем следующие значения токов и напряжений на всех элементах цепи: I₁=0,45 A I₂=0,95; I₃=1,4 A; U₁=76 B; U₂=76 B; U₃=44 B.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 Анализ электрического  состояния 

цепей переменного  тока: однофазных, трехфазных

2.1 Расчет однофазных  линейных 

электрических цепей  переменного тока

 

Для электрической  цепи изображенной на рисунке 6, данные которой берем из таблицы 3, выполним следующее:

- начертим схему  замещения электрической цепи, рассчитаем  реактивные сопротивления элементов  цепи;

- определим действующие  значения токов во всех ветвях  схемы;

- запишем уравнение  мгновенного значения тока и  источника;

- составим баланс  активных и реактивных мощностей;

- построим векторную  диаграмму токов, совмещенную  с топографической векторной  диаграммой напряжения.

Задачу решим символическим  методом.

 Таблица 3 – данные для задачи № 3

 

 

 

 

 

 

 

 

Uм , В	yU	R1 , Ом	R2 , Ом	L1 , мГн	L2 , мГн	C1 , мкФ	C2 , мкФ
54	60°	20	15	63,6	31,8	338	318