Оценка эффективности управления инвестиционным портфелем

s2M – дисперсия доходности рынка.   

 Показатель «бета»  характеризует степень риска  бумаги и показывает, во сколько  раз изменение цены бумаги  превышает изменение рынка в  целом. Если бета больше единицы,  то данную бумагу можно отнести  к инструментам с повышенной  степенью риска, т.к. ее цена  движется в среднем быстрее  рынка. Если бета меньше единицы,  то степень риска этой бумаги  относительно низкая, поскольку  в течение периода глубины  расчета ее цена изменялась  медленнее, чем рынок. Если  бета меньше нуля, то в среднем  движение этой бумаги было  противоположно движению рынка  в течение периода глубины  расчета.[6]

Зависимость доходности ценной бумаги от индекса описывается следующей  формулой:

 

где ri – доходность ценной бумаги i за данный период;

rI – доходность на рыночный  индекс I за этот же период;

iI – коэффициент смещения;

 iI – коэффициент наклона;

eiI – случайная погрешность.

По Шарпу показатель «альфа» (его также называют сдвигом) определяет составляющую доходности бумаги, которая  не зависит от движения рынка.

 

В соответствие с одной  из точек зрения, «альфа» является своего рода мерой недо- или переоценки рынком данной бумаги. Положительная  «альфа» свидетельствует о переоценке рынком данной бумаги. Отрицательная  «альфа» свидетельствует о недооценке рынком данной бумаги. 

Для характеристики конкретной ценной бумаги используются и другие параметры. R-squared (R2), или коэффициент  детерминации, равен квадрату коэффициента корреляции цены бумаги и рынка. R-squared меняется от нуля до единицы и определяет степень согласованности движения рынка и бумаги.

  

 Коэффициент детерминации  представляет собой пропорцию,  в которой изменение доходности  ценной бумаги связано с изменением  доходности рыночного индекса.  Другими словами, он показывает, в какой степени колебания  доходности ценной бумаги можно  отнести за счет колебаний  доходности рыночного индекса. Если этот коэффициент равен единице, то бумага полностью коррелирует с рынком, если равен нулю, то движение рынка и бумаги абсолютно независимы. 

При различных стадиях  рынка (растущий, падающий) для достижения лучшего эффекта можно пользоваться следующими комбинациями коэффициентов:

 

Таблица 1. Комбинации коэффициентов регрессионного анализа 

На западных рынках значения  ,  , R2 регулярно рассчитываются для всех ценных бумаг и публикуются вместе с индексами. Пользуясь этой информацией, инвестор может сформировать собственный портфель ценных бумаг. На российском рынке профессионалы постепенно тоже начинают использовать  -,  -, R2-анализ.

На практике в настоящее  время модель Марковица используется в основном на первом этапе формирования портфеля активов при распределении  инвестируемого капитала по различным  типам активов: акциям, облигациям, недвижимости и т. д. Однофакторная  модель Шарпа используется на втором этапе, когда капитал, инвестируемый  в определенный сегмент рынка  активов, распределяется между отдельными конкретными активами, составляющими выбранный сегмент (т.е. по конкретным акциям, облигациям и т. д.)

 

2.3. Модель САРМ

 

С 1964 г. появляются три работы, открывшие следующий этап в инвестиционной теории, связанный с так называемой моделью оценки капитальных активов, или САРМ (CapitalAssetPriceModel). Работы Шарпа (1964), Линтнера (1965), Моссина (1966) были посвящены, по существу, одному и тому же вопросу: "Допустим, что все инвесторы, обладая одной и той же информацией, одинаково оценивают доходность и риск отдельных акций. Допустим также, что все они формируют свои оптимальные, в смысле теории Марковица, портфели акций исходя из индивидуальной склонности к риску. Как в этом случае сложатся цены на рынке акций? Таким образом, на САРМ можно смотреть как на макроэкономическое обобщение теории Марковица. Основным результатом САРМ явилось установление соотношения между доходностью и риском актива для равновесного рынка.

При этом важным оказывается  тот факт, что при выборе оптимального портфеля инвестор должен учитывать  не "весь" риск, связанный с  активом (риск по Марковицу), а только часть его, называемую систематическим, или недиверсифицируемым риском.

Рисунок 3. Рыночный портфель и безрисковый актив

Эта часть риска актива тесно связана с общим риском рынка в целом и количественно  представляется коэффициентом "бета", введенным Шарпом в его однофакторной  модели. Остальная часть (так называемый несистематический, или диверсифицируемый  риск) устраняется выбором соответствующего (оптимального) портфеля. Характер связи  между доходностью и риском имеет  вид линейной зависимости, и тем  самым обычное практическое правило "большая доходность - значит, большой  риск" получает точное аналитическое  представление.

Обобщающая формулировка модели САРМ выглядит следующим образом:

E(R_п) = R_f +σ_п∙( E(R_m) – R_f)/σ_m

E(R_п) – ожидаемая доходность портфеля

R_f  -  доходность безрискового актива

  σ_п – риск портфеля

E(R_m) – ожидаемая доходность рыночного портфеля

σ_m – риск рыночного портфеля

(Е(R_m)-R_f) – премия за риск инвестирования в рисковый рыночный портфель

 Для отдельного актива  уравнение САРМ будет принимать  следующий вид:

E(R_i) = R_f + cov_im∙( E(R_m) – R_f)/σ²_m

E(R_i) – ожидаемая доходность ценной бумаги

R_f  -  доходность безрискового актива

  сov_im – ковариация доходности ценной бумаги и рынка

E(R_m) – ожидаемая доходность рыночного портфеля

σ²_m – дисперсия рыночного портфеля

(Е(R_m)-R_f) – премия за риск инвестирования в рисковый рыночный портфель

При этом β-коэффициент будет представлен следующим образом:

β= cov_im/σ²_m

Бета-коэффициент акции  является мерой рыночного риска  акции, показывая изменчивость доходности акции к доходности на рынке в среднем (применяется для оценки риска вложений в ценные бумаги). Так, если β < 1, то доходность актива ниже рыночной, актив малорисковый, если β > 1, то доходность актива выше рыночной, риск выше среднерыночного, если β = 1, то доходность актива совпадает с доходностью рыночного портфеля, риск среднерыночный.

За безрисковую ставку дохода на американском и международном  рынках принято брать ценные бумаги, выпущеные американским правительством (T-bills). В некоторых случаях также  принимают ставки по ценным бумагам  Великобритании. С недавних пор идет обсуждение того, является ли любой  доход по проценту безрисковым на самом деле.

В 1977 г. модель САРМ подверглась жесткой критике в работах Ричарда Ролла. Ролл высказал мнение, что САРМ следует отвергнуть, поскольку она в принципе не допускает эмпирической проверки. Несмотря на это, САРМ остается, пожалуй, самой значительной и влиятельной современной финансовой теорией. Практические руководства по финансовому менеджменту в части выбора стратегии долгосрочного инвестирования и по сей день основываются исключительно на САРМ.

 

2.4. Практическое применение модели Марковица

 

В данном разделе на практике рассмотрим применение модели Марковица, для чего создадим условный инвестиционный портфель. Перед началом формирования и оценки портфеля не лишним будет  упомянуть основные допущения портфельной теории:

1) инвестиционный рынок эффективен;

2) в портфель отбираются только рисковые активы;

3) отбор ценных бумаг в портфель основывается на показателях:

- уровень ожидаемого дохода;

- индивидуальный уровень риска;

- характер взаимосвязи доходности ценных бумаг;

4) инвестор рационален;

5) транзакционные издержки и налоги не учитываются.

Итак, представим, что инвестор планирует сформировать портфель из акций трех акционерных обществ: ОАО «Пилот» - рыночная цена 100 руб., ОАО «Летчик» - рыночная цена 110 руб. и ОАО «Испытатель» - рыночная цена 50 руб. По доходности акций аналитиком был составлен следующий прогноз:

Таблица 2. Прогнозные данный доходности акций

Прогноз	Доходность, %	Вероятность прогноза	Доходность, %	Вероятность прогноза	Доходность, %	Вероятность прогноза
	1. ОАО "Пилот"		ОАО "Летчик"		ОАО "Испытатель"
1	17	0,2	25	0,4	10	0,01
2	15	0,3	20	0,1	8	0,45
3	13	0,4	13	0,1	6	0,34
4	10	0,08	8	0,3	2	0,08
5	0	0,02	4	0,1	0	0,12

 

Для того чтобы определить эффективность представленного  портфеля нам необходимо определить ожидаемую доходность по каждой акции и ожидаемый риск по каждому активу, а затем определить аналогичные характеристики полного портфеля.

Ожидаемую доходность конкретного  актива рассчитываем по формуле:

E(R) = ∑ Ri * pi

                     i=1

где Ri – доходность  актива по прогнозу i ;

pi - вероятность i-го значения доходности актива ;

N   - количество возможных значений доходности актива.

Получаем следующие данные:

Е(R )1= 0,2*17+0,3*15+0,4*13+0,08*10+0,02*0= 13,9%

Е(R )2= 0,4*25+0,1*20+0,1*13+0,3*8+0,1*4= 16,1%

Е(R )3= 0,01*10+0,45*8+0,34*6+0,08*2+0,12*0= 5,9%

Ожидаемый риск по каждой акции найдем посредством следующей формулы:

σ = √ d

                                n                                                                                                                                            

где     d = σ ² = ∑ (Ri – E(R))²* pi

                               i=1 

Получаем следующие данные:

- для ОАО «Пилот»: 

σ²=(17-13,9)^2*0,2+(15-13,9)^2*0,3+(13-13,9)^2*0,4+(10-13,9)^2*0,08+(0-13,9)^2*0,02 = 7,69

σ =√7,69 = 2,77

- для ОАО «Летчик»:

σ²=(25-16,1)^2*0,4+(20-16,1)^2*0,1+(13-16,1)^2*0,1+(8-16,1)^2*0,3+(4-16,1)^2*0,1 = 68,49

σ =√68,49 = 8,28

- для ОАО «Испытатель»:

σ²=(10-5,9)^2*0,01+(8-5,9)^2*0,45+(6-5,9)^2*0,34+(2-5,9)^2*0,08+(0-5,9)^2*0,12 = 7,55

σ =√7,55 = 2,75

Сведем полученные данные в таблицу, добавим параметр рыночной стоимости:

Таблица 3. Параметры акций

Акция	Рыночная стоимость, руб.	Ожидаемая доходность, %	Ожидаемый риск, %
1.ОАО "Пилот"	100	13,9	2,77
2.ОАО "Летчик"	110	16,1	8,28
3.ОАО "Испытатель"	50	5,74	2,75

 

На основе имеющихся данных определим доходность портфеля.

Посредством суммирования рыночной стоимости имеющихся активов  определим стоимость портфеля: 100+110+50 = 260 руб.

Далее определим удельный вес каждого актива:

W1 = 100/260 = 0,385

W2 = 110/260 = 0,423

W3 = 50/260 = 0,192

Непосредственно доходность всего портфеля найдем по следующей  формуле:

Rп = ∑ Ri * wi

         i=1

где Ri – доходность i-го актива;

Wi - удельный вес i-го актива в портфеле;

N   - количество активов в портфеле.

Получаем следующие данные:

R портфеля = 0,385*13,9+0,423*16,1+0,192*5,74 = 13,26%