Определение числовых характеристик случайных величин

integer i,j,k

open (1,file='z3.txt');pi=3.14159265

print 3,n

write (1,3)n

3 format (17x,'n='i3/)

do k=1,n

h=1./k

a(k)=0

b(k)=0

do i=1,k

pn=(i-1)*h

pb=i*h

call qg8 (pn,pb,fa,aa)

a(k)=a(k)+aa

call qg8 (pn,pb,fb,bb)

b(k)=b(k)+bb

end do

end do

k=0

call qg8(0.,1.,fa,a0)

print 1

write (1,1)

1 format(6x,'x',8x,'f(x)',5x,'fi(x)')

do j=1,11

fi=a0/2.;x=0.1*(j-1)

do k=1,n

fi=fi+a(k)*cos(2.*pi*k*x)+b(k)*sin(2.*pi*k*x)      

end do

print 2,x,f(x),fi

write (1,2)x,f(x),fi

2 format (5x,f3.1,3x,f10.4,3x,f10.4)

end do

end program zad3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Результаты:

                

   

Задача 4

ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ ПЭ

1.Цель работы

Изучение  методов и алгоритмов, основанных на аппроксимации исследуемых функций, разложениями Фурье, Фурье- Уолша, Фурье-Хаара при проведении испытаний авиаконструкций на прочность.

2. Теория

а) Первой характерной особенностью прочностного эксперимента, в связи  с необратимостью и скоростью  разрушения конструкций, является необходимость  обеспечения высокого быстродействия в процессе сбора, обработки и  представления информации.

б) Второй характерной особенностью прочностного эксперимента является необходимость  хранения больших  обьемов экспериментальной информации. В тоже время с целью предотвращения незапланированного разрушения для оперативного представления данных целесообразно использовать методы и алгоритмы быстрой обработки и представления информации.

При проведении испытаний, представляется целесообразной организация двух потоков  экспериментальной  информации. Один из этих потоков заносится традиционным путем в память ЭВМ и используется после проведения прочностного эксперимента для детального анализа состояния  конструкции. Второй же поток используется для оперативного представления  информации в процессе стендовых  испытаний. При этом его избыточность и время поиска информации должны быть резко сокращены.  Одной из возможностей  резкого сокращения объема и времени обработки информации являются алгоритмы, основанные на аппроксимации данных прочностного эксперимента различными системами базисных функций.

Сущность работы таких  алгоритмов заключается в следующем: измеряемая величина в виде решетчатых функций X на заданном дискретном отрезке определения описывается с помощью аппроксимирующего многочлена с коэффициентами

 

                                                                           (1)

 

При этом система функций  является базисной, и измеряемая величина полностью характеризуется набором спектральных коэффициентов ; где N-количество дискрет решетчатой функции. Число составляющих базисных функций в дискретном ряде:

                                                                                (2)

 

В общем случае может совпадать  с размерностью анализируемой решетчатой функцией. В соответствии с этим ряд (2) для сигналов на ограниченном отрезке определения имеет конечный характер  и решетчатые функции воспроизводятся с его помощью точно. При некотором допущении по точности представления

(x(l_i))_i=1,N определенное количество несуществующих коэффициентов из (С_k)_k=1,N может не учитываться. При восстановлении функции по оставшимся коэффициентам будет сформировано приближенное значение   в заданной точке.

 

                                                                               (3)

 

 

Как известно, разложение функции  возможно осуществить, если система  базисных функций (СБФ) удовлетворяет  следующим требованиям:

1)  базисные функции  должны представляться упорядоченной  системой линейно независимых  функций;

2) СБФ должна быть полной, т.е. обеспечивающей разложение  любой функции из заданного  множества;

3) число линейно независимых  функций в полной системе должно  быть равно количеству дискрет исследуемой решетчатой функции

Таким образом, использование таких  алгоритмов для целей сжатия большого объема экспериментальных данных, получаемых при прочностных испытаниях ЛА, может  решить поставленную задачу за счет перехода из пространства реальных сигналов в  усеченное пространство спектральных коэффициентов.

Для анализа алгоритмов сбора, обработки и представления информации при прочностном эксперименте рассмотрим конструкцию ЛА. Как известно, основным элементом конструкции современных ЛА является клетка, под которой обычно понимают часть конструкции, ограниченную силовыми элементами. При исследовании прочности авиаконструкций  тензодатчик устанавливают по углам клетки во взаимно-препендикулярном направлении, а в центре клетки устанавливают двустороннюю розетку тензодатчиков. В связи с увеличением размеров ЛА растет и количество клеток, а соответственно возрастает количество тензодатчиков, устанавливаемых на конструкции испытываемого планера ЛА. Края клеток образуют расчетные сечения. Число расчетных сечений для современного тяжелого транспортного самолета может достигать двухсот. Под расчетным сечением понимается сечение конструкции ЛА, для которого на этапе проектирования выполняется расчет напряженно-деформированного состояния. В качестве расчетных сечений обычно принимаются основные силовые элементы, воспринимающие внешние нагрузки. К числу их относятся: лонжероны, нервюры, стрингеры, шпангоуты.

В результате прочностного эксперимента (статического, ресурсного) каждой точке  конструкции, в которой установлен тензодатчик, можно приписать множество именованных чисел, характеризующих механические деформации и напряжения, воспринимаемые тензодатчиком. Так может быть получена некоторая пространственная (X(l_i)), ее максимальные значения, в общем случае, будут ограничены сверху значениями разрушающих напряжений, после достижения которых происходит разрушение конструкции по условиям прочности. Таким образом, мы имеем дело с решётчатой функцией, определенной на конечном числе N равноотстоящих точек. В этом состоит первая физическая особенность, учет которой позволяет выбрать направление поиска наиболее подходящей СБФ.

Характерной особенностью ресурсных  испытаний ЛА является постепенное  изменение прочностных характеристик  конструкции. Эти изменения вызываются локальными разрушениями силовых элементов (стрингеров, лонжеронов, нервюр), т.е. элементов, окаймляющих клетки. При разрушении элемента конструкции возникают скачки механических напряжений и, следовательно, между двумя точками функции нарушаются условия Дирихле первого рода. Это явление ограничивает возможность выбора в качестве СБФ систем тригонометрических, комплексных экспоненциальных функций, а так же полиномиальных базисных систем. Для описания пространственной функции в этих условиях  наиболее подходят разложения Уолша и Хаара. Кроме того, использование в алгоритмах обработки данных прочностного эксперимента ортогональных функций Уолша, Хаара дополнительно обуславливается простотой и стройностью математического аппарата рядов Футье-Уолша, Фурье-Хаара.

Под функциями Хаара понимается последовательность функций, обладающая тем свойством, что любая непрерывная  на отрезке (0,l) функция x(l) разлагается в равномерно сходящийся ряд по функциям системы

 

Систему функции Хаара удобно строить группами: группа, имеющая номер m, содержит номер 2^m-1 функций      , j=1,2,.. 2^m-1, m=1,2,3,…,S. Связь между двойной нумерацией (mj) и обычной (k) выражается соотношением

 k=2^m-1+j, при этом первая функция =l остается вне групп. Приведем определенные функции Хаара:

 

Ï

 

Где      ;      при этом предполагается, что

 

,

 

<-на границах области определения, а во всех внутренних точках разрыва:

 

К числу достоинств функции  Хаара как системы базисных функций  относится их ортогональность и  нормированность, а так же выполнимость так называемого свойства локализации. Сущность его состоит в том, что сходимость ряда Фурье-Хаара зависит только от поведения функции x(l) в окрестности данной точки. Свойство локализации функции Хаара позволяет производить оперативную обработку информации о состоянии конструкции, не учитывая влияния возможных разрывов пространственной кривой при разрушении элементов конструкции.

Целесообразность использования  функций Хаара в прочностном  эксперименте основана на гарантии равномерной  аппроксимации для широкого класса функций.

При этом точно передаются средние значения на некоторых мелких отрезках, входящих в интервал определения. При применении функции Уолша операции умножения заменяются операциями алгебраического сложения, при этом элементы прямой и обратной матриц Уолша одинаковы. Разложение в ряд Фурье-Уолша носит ступенчатый характер. Функции Уолша являются линейными комбинациями функций Хаара. Разложение в ряд Фурье по функциям Хаара имеет равномерную сходимость для любой непрерывной функции. Как прямая, так и обратная матрицы, характеризующие систему функций Хаара слабо заполнены, причем степень заполнения матриц уменьшается при повышении порядка функций Хаара. Свойство слабозаполненности позволяет эффективно использовать СБФ Хаара в прочностном эксперименте в тех случаях, когда число точек аргумента больше 8, а так же когда исследуемая функция содержит резкие выбросы. . Таким образом, СБФ Уолша, Хаара обладают рядом особенностей, позволяющих резко сократить время на обработку данных прочностного эксперимента в реальном времени. Учитывая большое число узловых точек, возможность появления точек разрыва(возникшая в процессе испытаний трещина),сложность программ, предназначенных для оперативного представления информации в процессе стендовых испытаний на прочность, на основе поведенного анализа можно сделать вывод о целесообразности использования в качестве систем базисных функций для разложения кривых СБФ Уолша, Хаара

Функции Хаара.

Функции Уолша.

 

Задание к работе:

1. В соответствии с заданными  преподавателем системами базисных  функций и исследуемой функцией  вычислить коэффициенты разложения  согласно формуле:

  для N=16.

2. Восстановить анализируемую  функцию по коэффициентам разложения, используя:

.

3. Отбросить 8 ненулевых  коэффициентов разложения, имеющих  наименьшее значение по абсолютной  величине.

4. Восстановить анализируемую  функцию по оставшимся коэффициентам  разложения, используя:

.

5. Подсчитать абсолютную  погрешность восстановления по  формуле:

.

6. Подсчитать относительную  погрешность восстановления заданной  функции по формуле:

Алгоритм решения задачи:

1. Задается размерность используемых массивов:

X(16) – исходные  данные (ординаты исследуемой функции), таблица 4.

C(16) – получаемые  коэффициенты

XB(16) – восстановленные  по коэффициентам данные

P_абс(16) – абсолютная погрешность

P_отн(16) – относительная погрешность

H(16,16), H1(16,16), H2(16,16) – матрицы Хаара.

W(16,16) – матрица  Уолша

2. Открывается файл данных.
3. Вводятся исходные данные: ординаты исследуемой функции X.
4. Вычисляются коэффициенты Хаара по формуле (1), используя встроенную функцию Фортрана MATMUL.
5. Восстанавливаются ординаты исследуемой функции по коэффициентам разложения Хаара по формуле (2), используя встроенную функцию Фортрана MATMUL.
6. Восстановленные ординаты исследуемой функции, и коэффициенты Хаара выводятся на дисплей и записываются в файл данных, для анализа полученных результатов.
7. После анализа коэффициентов вводится с клавиатуры пороговое значение для оставляемых коэффициентов (EPS).
8. Значение EPS записывается в файл данных.
9. В цикле по l от 1 до 16 коэффициенты по абсолютной величине меньшие и равные EPS обнуляются.
10. Восстанавливаются ординаты исследуемой функции с учетом отброшенных коэффициентов Хаара (формула (3)), используя встроенную функцию "MATMUL".
11. вычисляется абсолютная и относительная погрешность восстановления ординат исследуемой функции, по формулам (9) и (10).
12. Печатается комментарий "Вычисление по Хаару".
13. Обращаемся к подпрограмме печати, используя коэффициенты Хаара (C), ординаты исследуемой функции (X), восстановленные с погрешностью данные (XB), абсолютную и относительную погрешности, количество ординат N=16.
14. Вычисляем коэффициенты

Исходные данные:

 

Номер канала	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8	X9	X10	X11	X12	X13	X14	X15	X16
7	-1110	-1111	-1111	-1110	-1109	-1114	-1219	-1219	-1218	-1224	-1220	-1218	-1222	-1219	-1221	-1221

 

Номер точки	Номер коэффициентов Фурье-Хаара	Значение коэффициентов Фурье-Хаара	X( )	( )
1	C1	-1215,0630	-1146.0000	-1146.0000	0.0000	0.0000
2	C2	5.3125	-1217.0000	-1217.0000	0.0000	0.0000
3	C3	9.7500	-1219.0000	-1218.5000	-.5000	.0436
4	C4	.3750	-1218.0000	-1218.5000	.5000	-.0436
5	C5	18.5000	-1221.0000	-1219.5000	-1.5000	.1309
6	C6	-.5000	-1219.0000	-1219.5000	.5000	-.0436
7	C7	-1.0000	-1219.0000	-1219.5000	.5000	-.0436
8	C8	.2500	-1219.0000	-1219.5000	.5000	-.0436
9	C9	35.5000	-1218.0000	-1217.3750	-.6250	.0545
10	C10	-.5000	-1224.0000	-1223.3750	-.6250	.0545
11	C11	-1.0000	-1220.0000	-1220.3750	.3750	-.0327
12	C12	0.0000	-1218.0000	-1220.3750	2.3750	-.2072
13	C13	3.0000	-1222.0000	-1220.3750	-1.6250	.1418
14	C14	-1.0000	-1219.0000	-1220.3750	1.3750	-.1200
15	C15	-1.5000	-1221.0000	-1220.3750	-.6250	.0545
16	C16	0.0000	-1221.0000	-1220.3750	-.6250	.0545